巧用三角函数线解题

巧妙地用三角函数线求解江西省南康中学刘光训邮政编码： 341400摘要数学家认为“三角学实际上是三角形的解析几何学，它是整个解析几何学的基础，也是用解析系统研究几何学的基础工具”，三角函数线是任意角的三角函数的几何表现，可以利用单位圆中的三角函数线直观地表现三角函数值的符号和大小，从任意角的旋转过程到三角函数值的变化深刻理解用单位圆求解三角不等式的方法本质，培养数形结合的意识。 三角函数线的主要作用是求函数的定义域、求不等式、证明简单的三角不等式等求解三角函数的主题经常使用数形耦合的思想方法，而三角函数线是三角函数“形”的重要表示形式，单位圆耦合三角函数线是研究三角函数的重要工具，适当利用往往能迅速解决问题，在此介绍几个方面的应用希望读者。o.oxa.a乙组联赛1y-1一、利用三角函数线求解三角不等式。示例1 :已知解：如图所示，解题步骤如下(1)设为平面直角坐标系(2)创建单位圆(3)表示终点落入坐标轴四个正弦函数值含有(4)的值，即在图中OA找到终端边，OB找到终端边。 (点a、b是直线和单位圆两个交点)(5)从正弦函数的单调性中发现取值的方法，即图中的阴影部分。(6)写下用r求出的值的范围-1乙组联赛a.ao.oyx【注释】为了求解三角函数的不等式，将三角函数线与三角函数的单调性相结合，一般求出内部的取值范围，基于周期性写出由r求出的范围。示例2:是已知的并且确定的值范围。解：由得接下来的解题步骤与例1相似OA结束，OB结束1由于边缘，即终止边缘，可能的值的范围为图中的阴影部分，即【注释】(1)取角范围跨越轴的正半轴时，通常以负角表示范围。 (2)用三角函数线的方法解决这样的问题比较优势。二、利用三角函数线证明三角不等式。xo.oya.a众所周知，单位圆中角的正弦绝对值和馀弦绝对值之和在1以上。即证明不等式成立。证明：设为平面直角坐标系和单位圆。(1)角末端落入坐标轴时以轴为轴，交叉单位为a如图所示，显然pa.ao.o乙组联赛xy(2)当角的终点不是坐标轴，所以也可以设置为此，曾经把交叉单位定为a，定为aAB轴为b，如图所示的双曲馀弦值。在三角形OAB中，|BA| |OB|OA|=1所以成立。综上所述三、利用三角函数线比较大小例1 :已知，寻求证据。 如果在单位圆中建立正弦线、正切线、弧段，利用几何直观图建立面积不等式，可以得出比较容易的结论。分析：这超越了不等式，很少直接利用代数方法证明：如图所示，终点交叉单位为p，圆以过p为PM轴为m，过轴和单位圆的交点a表示单位圆的切线AT，交点的终点为连接到t、AP后，将出现以下情况MP=，AT=。2222222卡卡卡卡卡卡卡卡653，222222222222卡卡卡卡卡卡卡653【注解】这个问题巧妙地利用三角函数线和三角形、扇形的面积式证明了结论，值得讨论，“当时有”这个结论也是三角函数的判断中经常使用的结论。pxmyo.oa.at.t例2 :的大小关系为()a :b :c :d :分析：如图所示2220请选择“d”。从以上几个