矩阵分析第3章习题答案

第三章1、 已知是n阶正定Hermite矩阵，在n维线性空间中向量定义内积为（1） 证明在上述定义下，是酉空间；（2） 写出中的Canchy-Schwarz不等式。2、 已知，求的标准正交基。提示：即求方程的基础解系再正交化单位化。3、 已知试求酉矩阵，使得是上三角矩阵。提示：参见教材上的例子4、 试证：在上的任何一个正交投影矩阵是半正定的Hermite矩阵。5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵，使为对角矩阵，已知，6、 试求正交矩阵，使为对角矩阵，已知，7、 试求矩阵，使（或），已知，8、 设n阶酉矩阵的特征根不等于，试证：矩阵满秩，且是Hermite矩阵。反之，若是Hermite矩阵，则满秩，且是酉矩阵。 证明：若，观察知为的特征值，矛盾，所以矩阵满秩。，要，只要故由知为H的特征值。由Hermite矩阵只能有实数特征值可得，即满秩。9、 若分别是实对称和实反对称矩阵，且，试证：是酉矩阵。证明：10、 设均是实对称矩阵，试证：与正交相似的充要条件是与的特征值相同。证明：相似矩阵有相同的特征值。与正交相似与的特征值相同。若与的特征值相同，又均是实对称矩阵。所以存在正交阵Q，P使其中为正交阵。11、 设均是Hermite矩阵，试证：与酉相似的充要条件是与的特征值相同。证明：同上一题。12、 设均是正规矩阵，试证：与酉相似的充要条件是与的特征值相同。同上13、 设A是Hermite矩阵，且，则存在酉矩阵，使得14、 设A是Hermite矩阵，且，则存在酉矩阵，使得。15、 设A为正定Hermite矩阵，B为反Hermite矩阵，试证：与的特征值实部为0。证：A为正定Hermite矩阵，为满秩的。，是反Hermite矩阵，反Hermite矩阵的特征值实部为0,所以的特征值实部为0。16、 设均是Hermite矩阵，且A正定，试证：与的特征值都是实数。证明：同上题。，是Hermite矩阵，Hermite矩阵的特征值为实数,所以的特征值是实数。17、 设A为半正定Hermite矩阵，且，试证：。证明：A的特征值为，矩阵的行列式等于特征值之积。特征值为，18、 设A为半正定Hermite矩阵，B是正定Hermite矩阵，试证：。证明：，为满秩的。为半正定Hermite矩阵，由上题，19、 设A为正定Hermite矩阵，且，则。证明：存在，。又，20、 试证：（1）两个半正定Hermite矩阵之和是半正定的；（2）半正定Hermite矩阵与正定Hermite矩阵之和是正定的。提示：考查21、 设A是正定Hermite矩阵，B是反Hermite矩阵，试证：AB是可逆矩阵。提示：A为正定Hermite矩阵，为满秩的。是反Hermite矩阵，特征值实部为0,，所以22、 设A，B是n阶正规矩阵，试证：A与B相似的充要条件是A与B酉相似。证明：充分性，酉相似相似。 必要性，A，B是n阶正规矩阵，又A与B相似, 与的特征值相同,可设，23、 设，试证：总存在，使得是正定Hermite矩阵，是负定Hermite矩阵。提示：A的特征值为，则的特征值为24、 设A是正定Hermite矩阵，且A还是酉矩阵，则。提示：25、 设A、B均为正规矩阵。且，则与均为正规矩阵。提示：用定理，可以同时酉对角化。 26、 设，试证：是酉矩阵。提示：27、 设A为n阶正规矩阵，为A的特征值，试证：的特征值为。提示：，所以的特征值为28、 设，试证：（1）和都是半正定的Hermite矩阵；（2）和的非零特征值相同。提示：（1） （2），特征值的重数也相同，参见P19129、 设A是正规矩阵，试证：（1）若（为自然数），则；（2）若，则；（3）若，则。30、 设，求证以下三条件等价：（1）为正规矩阵（2）（3）解：（1）（2）由。（2）（3）,由（2）（1）,由31、设，则A