轧制原理--本构方程

1,弹塑性力学(课程复习小结),李同林,2,一、弹塑性力学及其学科分类,二、弹塑性力学的研究对象,三、弹塑性力学的基本思路与研究方法,四、弹塑性力学的基本任务,五、弹塑性力学基本假设,六、弹塑性力学发展概况,七、现代力学的发展及其特点,九、张量概念及其基本运算,八、弹塑性力学基本理论及基本解法,3,一、学科分类弹塑性力学,1、学科分类,按运动与否分：静力学：研究力系或物体的平衡问题，不涉及物体运动状态的改变；如飞机停在地面或巡航。,4,按研究对象分：,一般力学：研究对象是刚体。研究力及其与运动的关系。分支学科有理论力学，分析力学等。,固体力学：研究对象是可变形固体。研究材料变形、流动和断裂时的力学响应。其分支学科有：材料力学、结构力学、弹性力学、塑性力学、弹塑性力学、断裂力学、流变学、疲劳等。,流体力学：研究对象是气体或液体。涉及到：水力学、空气动力学等学科。,5,6,2、弹塑性力学,弹塑性力学是固体力学的一个重要分支学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度变化等因素的影响而发生的应力、应变和位移及其分布规律的一门科学，是研究固体在受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门科学。,7,二、弹塑性力学的研究对象,在研究对象上，材料力学的研究对象是固体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。,造成两者间这种差异的根本原因是什么呢？,弹塑性力学研究对象也是固体，是不受几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术问题需求的物体。,8,三、弹塑性力学的基本思路与研究方法,1、弹塑性力学分析问题的基本思路,弹塑性力学与材料力学同属固体力学的分支学科，它们在分析问题解决问题的基本思路上都是一致的，但在研究问题的基本方法上各不相同。其基本思路如下：,9,(1)受力分析及静力平衡条件(力的分析),对一点单元体的受力进行分析。若物体受力作用，处于平衡状态，则应当满足的条件是什么？（静力平衡条件）,(2)变形分析及几何相容条件(几何分析),材料是连续的，物体在受力变形后仍应是连续的。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠”。则材料变形时，对一点单元体的变形进行分析，应满足的条件是什么？（几何相容条件）,10,2、弹塑性力学研究问题的基本方法,材料力学研究问题的基本方法：,a、研究方法较简单粗糙；b、涉及数学理论较简单；c、材料力学的工程解答一般为近似解。,11,弹塑性力学研究问题的基本方法,1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严密性和普遍适用性为特点；2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的；3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度量。,12,3、工程力学一般研究方法,工程力学解决问题的一般研究方法类似于一般科学研究的普遍方法，可归纳为：,13,四、弹塑性力学的基本任务,可归纳为以下几点：1建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的基本方程和理论；2给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，以及对初等理论可靠性与精确度的度量；3确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力，提高经济效益；4为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。,14,五、弹塑性力学的基本假设,（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的全部空间，不留下任何空隙。,（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。,1、物理假设:,（3）力学模型的简化假设：（A）完全弹性假设；（B）弹塑性假设。,15,2、几何假设小变形条件,（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；,从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。,（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二次以上的高阶微量；,假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而且应变(包括线应变与角应变)均远远小于1。根据这一假定：,16,六、弹塑性力学发展概况,1678年英国科学家虎克(R.Hooke)提出了固体材料的弹性变形与所受外力成正比虎克定律。,19世纪20年代，法国科学家纳维叶(C.L.M.H.Navier)、柯西(A.L.Cauchy)和圣文南(A.J.C.B.SaintVenant)等建立了弹性力学的理论基础。,17,法国科学家库伦(C.A.Corlomb1773年）、屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、圣文南和莱(M.Levy)波兰力学家胡勃(M.T.Houber1904年）、米塞斯(R.vonMises1913年）、普朗特(L.Prandtl1924)罗伊斯(A.Reuss1930)、享奇（H.Hencky)、纳戴(A.L.Nadai)、伊留申(A.A.)阐明了应力、应变的概念和理论；弹性力学和弹塑性力学的基本理论框架得以确立。,18,七、现代力学的发展及其特点,材料与对象：金属、土木石等新型复合材料、高分子材料、结构陶瓷、功能材料。,1、现代力学的发展,19,设计准则：静强度、断裂控制设计、抗疲劳设计、刚度设计损伤容限设计、结构优化设计、耐久性设计和可靠性设计等。,20,引进新的科学技术成果，内容更加丰富：新材料复合材料、聚合物等；新概念失效、寿命等；新理论损伤、混沌等；新方法数值方法、工程力学建模方法。,21,2现代力学的特点,与计算机应用相结合，与其他基础或技术学科相互结合与渗透。,22,智能结构：90年代开始，力学与材料、控制（包括传感与激励）、计算机相结合，研究发展面向21世纪的、具有“活”的功能的智能结构。,23,八、弹塑性力学的基本理论与解法,弹塑性力学和材料力学都是固体力学的分支学科，所求解的大多数问题都是超静定问题。因此，在分析问题研究问题时的最基本思路是相同的，即对于一个静不定问题的求解，一般都要经过三个方面的分析，这三个方面分别为：（1）静力平衡条件分析；（2）几何变形协调条件分析；（3）物理条件分析。从而获得三类基本方程，联立求解，再满足具体问题的边界条件，即可使静不定问题得到解决。这三方面的方程汇集于下：,弹塑性力学的基本理论框架,24,(1)平衡（或运动方程）：,(2)、几何方程：,(3)本构方程（物性方程）（A）在弹性变形阶段，,（B）在弹塑性变形阶段，屈服函数,增量理论（流动理论）：,则有：,全量理论（形变理论）：,25,（i）Prandtl-Reuss理论,（b）等向强化材料,增量理论（流动理论）：,（ii）Levy-Mises,（a）理想刚塑性材料,（b）等向强化材料,。,26,全量理论（形变理论）：,以为代表（强化材料）,总之，当物体发生变形时，不论弹性变形或塑性变形问题，共有3个平衡微分方程，6个几何方程和6个本构方程，共计15个独立方程（统称泛定方程）。而问题共计有：、15个基本未知函数。因此，在给定边界条件时，问题是可以求解的。弹塑性静力学的这种问题在数学上称为求解边值问题。,27,任何一个固体力学参量在具体受力物体内一般都是体内各点（x,y,z）的函数，它们满足的方程(泛定方程)相同。然而由于物体几何尺寸的不同，载荷大小与分布的不同，必然导致物体内各点应力、应变与位移的大小和变化规律是千变万化的，也就是说，单靠这些泛定方程是不足以解决具体问题的。从力学观点上来说，所有满足泛定方程的应力、应变和位移，也应该同时满足物体(表面)与外界作用的条件，也即应力边界条件和位移边界条件；,28,(4)边界条件（A）应力边界条件：,（B）位移边界条件：,根据具体问题边界条件类型的不同，常把边值问题分为三类。,29,第一类边值问题：给定物体的体力和面力，求在平衡状态下的应力场和位移场，即所谓边界应力已知的问题。第二类边值问题：给定物体的体力和物体表面各点位移的约束情况，求在平衡状态下的应力场和物体内部的位移场，即所谓边界位移已知的问题。第三类边值问题：在物体表面上，一部分给定面力，其余部分给定位移(或在部分表面上给定外力和位移关系)的条件下求解上述问题，即所谓混合边值问题。,30,弹塑性力学的基本解法:,1位移法：用位移作为基本未知量，来求解边值问题的方法，称为位移法。2应力法：用应力作为基本未知量来问题，叫应力法。3混合法：对第三类边值问题则宜以各点的一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量混合求解。这种方法叫混合法。,在求解弹塑性边值问题时，有三种不同的解题方法，即：,31,上述位移法、应力法和混合法统称为直接解法。尽管这些方法的建立在理论上有着重大意义，但在实际解题过程中却很少原原本本地按上述步骤去做，原因还是在于数学上的困难和复杂性。在弹塑性力学解题方法中经常采用如下方法：,（1）逆解法：设位移或应力的函数式是已知的，然后代入上述有关方程中求得应变和应力或应变和位移，并且要求满足边界条件。（2）半逆解法：也称凑合解法。所谓半逆解法就是在未知量中，先根据问题的特点假设一部分应力或位移为已知，然后在基本方程和边界条件中，求解另一部分，这样便得到了全部未知量。,32,、应力的概念:受力物体内某点某截面上内力的分布集度,3.应力、应力状态、应力理论,33,必须指明两点：1.是哪一点的应力；2.是该点哪个微截面的应力。,34,、应力状态的概念：受力物体内某点处所取无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表明了该点的应力状态,应力的表示及符号规则,35,.应力张量,数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是一个对称的二阶张量，简称为应力张量。,据剪应力互等定理,应力张量应是一个对称的二阶张量。,36,.应力分量转换方程,37,、平面应力状态,38,注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的差异。,39,.主应力应力主方向应力张量不变量,主平面：一点应力状态剪应力等于零的截面称为主平面主应力：主平面上的正应力称为该点的主应力主方向：主平面的法线方向即为主方向主单元体：由主平面截取的单元体称为主单元体,理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。,40,则知:,41,42,、最大（最小）剪应力为：,最大（最小）剪应力作用截面上，一般正应力不为零，即：,43,.空间应力圆,一点应力状态,用解析法研究,用几何法研究,解析理论,莫尔应力圆,44,.应力张量的分解,45,通常对于金属材料有：,岩土材料球应力张量作用，一般也会出现塑性体变，从而出现奇异屈服面。,46,.平衡（或运动）微分方程,47,平衡微分方程：,48,.静力边界条件,一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上任意一点的应力分量和面力分量必定满足这组方程。,面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之取负。,49,当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量与相应的面力分量直接对应相等。,关于平面问题的应力边界条件（xoy平面）：,50,例题：试列出图示梁的应力边界条件解。,51,下边界：,左边界：据圣文南原理和平衡的原理得：,52,4、位移、应变、应变状态、应变理论,研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究变形位移。,、位移分量和相对位移分量,53,通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数，参照oxyz坐标即为：,位移函数应是位置坐标的单值连续函数。,位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形的剧烈程度，还需要研究物体内各点的相对位移。,54,、应变的概念、几何方程,应变的概念：,55,线应变,、涉及受力物体内某一点；、涉及该点的某一方向；、是一个无量纲的物理量。,角应变,、涉及受力物体内某一点；、涉及过该点的某两相垂直方向；、是一个有单位，无量纲的物量。,56,应变的符号规则：,表征某点某方向伸长变形的线应变取正，反之取负；表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角应变取正，反之取负。,应变状态.应变张量,受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，反映和表征了该点的变形程度，称之为应变状态。一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示，称为应变张量，用表示，即：,57,58,几何方程：,该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的关系，称为几何方程，也称为柯西(Augustin-LouisCauchy)几何关系。其缩写式为：,59,应变状态与应力状态都是二阶对称张量，因此在数学上两者所遵循的坐标变换法则是相同的。,60,、应变张量的分解,应变张量也可分解为应变球张量和应变偏张量即：,61,、变形连续性条件,由几何方程可知，六个独立的应变分量是表征一点应变状态的，彼此间是不能相互独立的。因此，六个独立的应变分量应满足一定的条件。,62,其数学意义：要求要求位移函数在其定义域内为单值连续函数，其方程就是位移函数的全微分条件。其物理意义：就是要保证不违反连续性假设，构成物体的介质在变形前后是连续的，并且物体内每一点的位移必定是确定的，即同一点不会产生两个或两个以上的位移。这就是说，相邻点发生微小位移后，仍为相邻点，否则物体在变形后将出现间隙或重叠现象。,63,变形连续性条件反映了真实情况下物体内各点应变之间的协调关系。,关于平面问题，变形连续性条件简化为：,对于多连域问题，物体变形除满足相容条件（必要条件）外，还要补充条件（充分条件）。,64,5、弹性变形、塑性变形、本构方程,表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时应力与应变，以及应力率与应变率之间关系的物性方程，称为本构方程（关系）。,大量实验证实，固体受力变形时，应力与应变间的关系是相辅相成的。,固体材料在一定条件下，应力与应变之间各自有着确定的关系，这一关系反映着固体材料的客观力学特性。,65,固体材料弹性变形具以下特点：,弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得以完全恢复；无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态，在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系；对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。因此，应力与应变是一一对应的关系。,66,固体材料塑性变形具以下特点：,塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必定要耗散能量（称耗散能或形变功）。在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的规律不同，应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径（或加载历史）。在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区，有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化。依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。,67,6、弹性应变能函数,弹性体的实功原理：若对于静荷载作用下产生弹性变形过程中不计能量耗散，则据功能原理：产生此变形的外力在加载过程中所作的功将以一种能量的形式被积累在物体内，此能量称为弹性应变能，或称弹性变形能。并且物体的弹性应变能在数值上等于外力功。这就是实功原理，也称变形能原理。若弹性应变能用U表示，外力功用We表示，则有：,68,九、张量概念及其基本运算,1、张量概念,张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的重要数学工具。,张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。,任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是不以人们的意志为转移的。,分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。,69,所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。,在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。,在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。,绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需三个分量来确定。,若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表示成：,70,现令n为这些物理量的阶次，并统一称这些物理量为张量。,二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间可由坐标变换关系式来解决定义。,当n=0时，零阶张量，M=1，标量；当n=1时，一阶张量，M=3，矢量；、当取n时，n阶张量，M=3n。,71,在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区别该张量的所有分量。,不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的阶次。,重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再不求和。,2.下标记号法,本教程张量下标符号的变程，仅限于三维空间，即变程为3。,72,3.求和约定,关于哑标号应理解为取其变程N内所有数值，然后再求和，这就叫做求和约定。例如：,73,74,关于求和标号，即哑标有：,求和标号可任意变换字母表示。,求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。,在运算中，括号内的求和标号应