高考理数　函数的基本性质

2.2函数的基本性质,高考理数(课标专用),考点一函数的单调性1.(2017课标,5,5分)函数f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是()A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3,A组统一命题课标卷题组,五年高考,答案D本题考查抽象函数的单调性、奇偶性以及利用函数性质求解不等式,考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.解法一(特值法):取f(x)=-x,其满足在(-,+)单调递减,为奇函数,且f(1)=-1,即满足题设的所有条件,因为f(x-2)=2-x,所以有-12-x1,解得1x3,故选D.解法二(性质法):因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1.于是-1f(x-2)1等价于f(1)f(x-2)f(-1).又f(x)在(-,+)单调递减,所以-1x-21,即1x3.所以x的取值范围是1,3.,2.(2014课标,15,5分,0.409)已知偶函数f(x)在0,+)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)0,则x的取值范围是.,答案(-1,3),解析f(2)=0,f(x-1)0,f(x-1)f(2),又f(x)是偶函数,f(|x-1|)f(2),又f(x)在0,+)上单调递减,|x-1|2,-2x-12,-1f(2),结合f(x)为偶函数得f(|x-1|)f(2),再利用单调性得|x-1|0得x2.令u=x2-4,易知u=x2-4在(-,-2)上为减函数,在(2,+)上为增函数,y=lou为减函数,故f(x)的单调递增区间为(-,-2).,3.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(-),则a的取值范围是.,答案,解析由题意知函数f(x)在(0,+)上单调递减.因为f(2|a-1|)f(-),f(-)=f(),所以f(2|a-1|)f(),所以2|a-1|,解之得a时,由f=f可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1),f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D.,4.(2017天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bacD.bf(0)=0,当x1x20时,f(x1)f(x2)0,x1f(x1)x2f(x2),g(x)在(0,+)上单调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,a=g(-log25.1)=g(log25.1).2log25.13,120.82,由g(x)在(0,+)上单调递增,得g(20.8)g(log25.1)g(3),bac,故选C.,解题关键本题的解题关键是得出g(x)的奇偶性和单调性.将自变量转化到同一单调区间得出大小是比较函数值大小的常用方法.,5.(2014安徽,6,5分)设函数f(x)(xR)满足f(x+)=f(x)+sinx.当0x时,f(x)=0,则f=()A.B.C.0D.-,答案Af(x+2)=f(x+)+sin(x+)=f(x)+sinx-sinx=f(x),f(x)的周期T=2,又当0x时,f(x)=0,f=0,f=f+sin=0,f=,f=f=f=.故选A.,6.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)=4x,则f+f(1)=.,答案-2,解析f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=-f(-x),又f(x)的周期为2,f(x+2)=f(x),f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,f(1)=0.又f=f=-f=-=-2.f+f(1)=-2.,考点一函数的单调性1.(2011课标,2,5分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+)单调递增的函数是()A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|,C组教师专用题组,答案By=x3是奇函数,y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+)上都是减函数,故选B.,错因分析不能正确判断函数在(0,+)上的单调性是致错的主要原因.评析本题考查函数的奇偶性和单调性的判定,属容易题.,2.(2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是()A.y=B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log0.5(x+1),答案Ay=(x-1)2仅在1,+)上为增函数,排除B;y=2-x=为减函数,排除C;因为y=log0.5t为减函数,t=x+1为增函数,所以y=log0.5(x+1)为减函数,排除D;y=和t=x+1均为增函数,所以y=为增函数,故选A.,3.(2013安徽,4,5分)“a0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+)内单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,答案C充分性:当a0时,f(x)=|(ax-1)x|=-ax2+x为图象开口向上的二次函数,且图象的对称轴为直线x=,故f(x)在(0,+)上为增函数;当a=0时,f(x)=x,为增函数.必要性:f(0)=0,当a0时,f=0,若f(x)在(0,+)上为增函数,则0且a1),若f(0)0,可得-3x1,故函数的定义域为x|-3x1.根据f(0)=loga30,可得00时,f(x)=x2+x+1,f(x)=2x+10,故f(x)在(0,+)上递增,符合题意;对于B,函数f(x)是奇函数,不符合题意;对于C,由x+10,解得x-1,定义域不关于原点对称,故函数f(x)不是偶函数,不符合题意;对于D,函数f(x)在(0,+)上不单调递增,不符合题意.故选A.,3.(2018河南郑州一模,11)若函数y=在x|1|x|4,xR上的最大值为M,最小值为m,则M-m=()A.B.2C.D.,答案A可令|x|=t,则1t4,y=-,易知y=-在1,4上递增,其最小值为1-1=0;最大值为2-=,则m=0,M=,则M-m=,故选A.,4.(2017山东济宁二模,7)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对任意x1,x2(0,+),都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)f(b)f(c)B.f(b)f(a)f(c)C.f(c)f(a)f(b)D.f(c)f(b)f(a),答案C由题意易知f(x)在(0,+)上是减函数,又|a|=ln1,b=(ln)2|a|,0f(|a|)f(b).又由题意知f(a)=f(|a|),f(c)f(a)f(b).故选C.,考点二函数的奇偶性与周期性1.(2018湖北荆州一模,3)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()A.y=exB.y=tanxC.y=x3-xD.y=ln,答案D函数y=ex不是奇函数,不满足题意;函数y=tanx是奇函数,但在整个定义域内不是增函数,不满足题意;函数y=x3-x是奇函数,当x时,y=3x2-10,为减函数,不满足题意;函数y=ln是奇函数,在定义域(-2,2)内,函数t=-1-为增函数,函数y=lnt也为增函数,故函数y=ln在定义域内为增函数,满足题意.故选D.,2.(2018湖南祁阳二模,7)已知偶函数f,当x时,f(x)=+sinx,设a=f(1),b=f(2),c=f(3),则()A.abcB.bcaC.cbaD.cab,答案D当x时,y=sinx单调递增,y=也为增函数,函数f(x)=+sinx也为增函数.函数f为偶函数,f=f,f(x)的图象关于x=对称,f(2)=f(-2),f(3)=f(-3),0-31-2,f(-3)f(1)f(-2),即c0时单调递增,且f(1)=0,若f(x-1)0,则x的取值范围为()A.x|02B.x|x2C.x|x3D.x|x1,B组20162018年高考模拟综合题组(时间:25分钟分值:40分),答案A奇函数f(x)在(0,+)上单调递增,且f(1)=0,函数f(x)在(-,0)上单调递增,且f(-1)=0,则-11时,f(x)0;x0即-11,解得02,故选A.,思路分析先确定函数f(x)在(-,0)上单调递增,且f(-1)=0,再将不等式等价变形,即可得到结论.,导师点睛奇函数在对称区间上的单调性相同.,2.(2018河南郑州一模,10)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.7182),且在区间e,2e上是减函数,令a=,b=,c=,则f(a),f(b),f(c)的大小关系(用不等号连接)为()A.f(b)f(a)f(c)B.f(b)f(c)f(a)C.f(a)f(b)f(c)D.f(a)f(c)f(b),答案Af(x)是R上的奇函数,满足f(x+2e)=-f(x),f(x+2e)=f(-x),函数f(x)的图象关于直线x=e对称,f(x)在区间e,2e上为减函数,f(x)在区间0,e上为增函数,又易知0cabe,f(c)f(a)f(b),故选A.,思路分析由f(x)是R上的奇函数及f(x+2e)=-f(x),可得f(x+2e)=f(-x),从而可知f(x)的图象关于x=e对称,由f(x)在e,2e上的单调性可得f(x)在0,e上的单调性,结合a,b,c的大小关系及所在范围,可得到f(a)、f(b)、f(c)的大小关系.,方法归纳利用函数单调性比较函数值大小时应将自变量转化到同一单调区间上.,3.(2018山西太原一模,7)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=4x2+2,设g(x)=f(x)-2x2,若g(x)的最大值和最小值分别为M和m,则M+m=()A.1B.2C.3D.4,答案B由g(x)=f(x)-2x2,得g(-x)=f(-x)-2x2,两式相加,可得g(-x)+g(x)=2,故g(x)的图象关于(0,1)对称,其最高点、最低点也关于(0,1)对称,所以M+N=2,故选B.,4.(2018广东佛山一模,7)已知f(x)=2x+为奇函数,g(x)=bx-log2(4x+1)为偶函数,则f(ab)=()A.B.C.-D.-,答案D由f(x)=2x+为奇函数,得f(-x)+f(x)=0,即+=0,可得a=-1;由g(x)=bx-log2(4x+1)为偶函数,得g(x)=g(-x),即bx-log2(4x+1)=b(-x)-log2(4-x+1),可得b=1,则ab=-1,f(ab)=f(-1)=2-1-=-,故选D.,思路分析由f(x)为奇函数,得f(-x)+f(x)=0,解得a的值,再由g(x)为偶函数,得g(x)=g(-x),解得b的值,即可得ab的值,将ab的值代入函数f(x)的解析式,计算可得答案.,一题多解由f(x)为定义域为R的奇函数得f(0)=0,a=-1,经检验符合题意.又由g(x)为偶函数可知g(1)=g(-1),可得b=1,经检验符合题意,ab=-1.f(ab)=f(-1)=2-1-=-,故选D.,5.(2018安徽蚌埠二模,11)已知单调函数f(x),对任意的xR都有ff(x)-2x=6,则f(2)=()A.2B.4C.6D.8,答案C设t=f(x)-2x,则f(t)=6,且f(x)=2x+t,令x=t,则f(t)=2t+t=6,f(x)是单调函数,f(2)=22+2=6,t=2,即f(x)=2x+2,则f(2)=4+2=6,故选C.,思路分析设t=f(x)-2x,根据条件求出函数f(x)的解析式,令x=2,代入求解即可.,导师点睛换元法是解决此类题目的通用方法.,6.(2018山东济宁一模,10)已知函数f(x)是(-,+)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x0,1时,f(x)=2x-1.则f(2017)+f(2018)的值为()A.-2B.-1C.0D.1,答案D函数f(x)是(-,+)上的奇函数,f(-x)=-f(x),由f(x)的图象关于x=1对称,得f(1+x)=f(1-x),f(x)=f(2-x)=-f(-x),f(4-x)=-f(2-x)=f(-x),f(x)的周期T=4.当x0,1时,f(x)=2x-1.f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=2-1+1-1=1.故选D.,方法点拨利用函数性质求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内,然后代入函数解析式求值.,规律总结若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有:(1)f(x+a)=-f(x)(a0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;(2)f(x+a)=(a0,f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;(3)f(x+a)=-(a0,f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.,7.(2017安徽池州模拟,12)已知函数的定义域为R,且满足下列三个条件:对任意的x1,x24,8,当x10;f(x+4)=-f(x);y=f(x+4)是偶函数;若a=f