高考理数　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示

5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示,高考理数(课标专用),考点一平面向量的概念及线性运算1.(2018课标,6,5分)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A.-B.-C.+D.+,A组统一命题课标卷题组,五年高考,答案A本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义.E是AD的中点,=-,=+=-+,又D为BC的中点,=(+),因此=-(+)+=-,故选A.,题型归纳平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)考查向量加法或减法的几何意义.(2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;求首尾相连的向量的和用三角形法则.(3)与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知条件中的式子比较,求得参数.(4)与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.,2.(2015课标,7,5分,0.725)设D为ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-+B.=-C.=+D.=-,答案A=+=+=+=+(-)=-+.故选A.,方法指导利用向量加法和减法的三角形法则将进行转化,最终将用与表示出来.,3.(2014课标,15,5分,0.688)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为.,答案90,解析由=(+)可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以BAC=90,所以与的夹角为90.,思路分析根据=(+)知O为BC的中点,进而得BC为圆O的直径,然后利用直径所对圆周角为直角即可得到结果.,解后反思在解决与共起点的向量加法有关的问题时,注意平行四边形法则的运用,熟记“+=2D为BC的中点”是解决此类问题的关键.,考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2016课标,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8,答案D由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)b,43-2(m-2)=0,m=8.故选D.,思路分析求出a+b的坐标,然后利用两向量垂直的充要条件列出关于m的方程,进而解得m值.,易错警示要正确区分两向量垂直与平行的坐标表示,常因错误选用而导致失分.,2.(2018课标,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=.,答案,解析本题考查向量的坐标运算.由已知得2a+b=(4,2).又c=(1,),c(2a+b),所以4-2=0,解得=.,3.(2015课标,13,5分,0.724)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.,答案,解析向量a+b与向量a+2b平行,存在实数k使得a+b=k(a+2b),即(-k)a+(1-2k)b=0,a,b不平行,k=,=.故答案为.,思路分析由向量a+b与a+2b平行知存在实数k使得a+b=k(a+2b),整理得(-k)a+(1-2k)b=0,再利用平面向量基本定理列方程组,由此可得出值.,考点一平面向量的概念及线性运算(2015北京,13,5分)在ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=,y=.,B组自主命题省(区、市)卷题组,答案;-,解析由=2知M为AC上靠近C的三等分点,由=知N为BC的中点,作出草图如下:则有=(+),所以=-=(+)-=-,又因为=x+y,所以x=,y=-.,考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3),答案B设a=k1e1+k2e2,A选项,(3,2)=(k2,2k2),无解.B选项,(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),解之得故B中的e1,e2可把a表示出来.同理,C、D选项同A选项,无解.,2.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则|+|的最大值为()A.6B.7C.8D.9,答案B解法一:由圆周角定理及ABBC,知AC为圆的直径.故+=2=(-4,0)(O为坐标原点).设B(cos,sin),=(cos-2,sin),+=(cos-6,sin),|+|=7,当且仅当cos=-1时取等号,此时B(-1,0),故|+|的最大值为7.故选B.解法二:同解法一得+=2(O为坐标原点),又=+,|+|=|3+|3|+|=32+1=7,当且仅当与同向时取等号,此时B点坐标为(-1,0),故|+|max=7.故选B.,3.(2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),则|=.,答案,解析a+b=0,即a=-b,|a|=|b|.|a|=1,|b|=,|=.,4.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为.,答案-3,解析由a=(2,1),b=(1,-2),可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),由已知可得解得从而m-n=-3.,5.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若+=0,求|;(2)设=m+n(m,nR),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.,解析(1)解法一:+=0,又+=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),解得x=2,y=2,即=(2,2),故|=2.解法二:+=0,则(-)+(-)+(-)=0,=(+)=(2,2),|=2.,(2)=m+n,(x,y)=(m+2n,2m+n),两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.,评析本题考查了向量线性坐标运算,简单的线性规划等知识;考查运算求解,数形结合、转化与化归的思想.,考点平面向量基本定理及坐标运算(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量,的模分别为1,1,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45.若=m+n(m,nR),则m+n=.,C组教师专用题组,解析本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的夹角及其应用等知识.解法一:tan=7,0,cos=,sin=,与的夹角为,=,=m+n,|=|=1,|=,=,又与的夹角为45,=,又cosAOB=cos(45+)=coscos45-sinsin45=-=-,=|cosAOB=-,将其代入得m-n=,-m+n=1,答案3,两式相加得m+n=,所以m+n=3.解法二:过C作CMOB,CNOA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N,则=m,=n,由正弦定理得=,|=,由解法一知,sin=,cos=,|=,|=,又=m+n=+,|=|=1,m=,n=,m+n=3.,考点一平面向量的概念及线性运算1.(2018湖北孝感二模,8)设D、E、F分别为ABC三边BC、CA、AB的中点,则+2+3=()A.B.C.D.,三年模拟,A组20162018年高考模拟基础题组,答案D因为D、E、F分别为ABC三边BC、CA、AB的中点,所以+2+3=(+)+2(+)+3(+)=+=+=+=,故选D.,答案B设点E为BC的中点,连接AE,可知O在AE上,由=+=+=(+)+(-)=-,故x=,y=-,x+y=.故选B.,答案A由题意得,-=-=,所以A正确;+=+=,所以B错误;-=-=,所以C错误;+=+,=-,若+=,则=0,不合题意,所以D错误.故选A.,4.(2017河南中原名校4月联考,7)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=+(,为实数),则2+2=()A.B.C.1D.,答案A=+=+=+(+)=-,所以=,=-,故2+2=,故选A.,考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2018河北衡水中学2月调研,5)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点M,若=2,=3,=-(,R),则-=()A.-B.1C.D.-3,答案A=-=-(+)=(-)-=2(-)-3,因为E、M、F三点共线,所以2(-)+(-3)=1,即2-5=1,-=-,故选A.,2.(2017河北衡水中学三调考试,6)在ABC中,=,若P是直线BN上的一点,且满足=m+,则实数m的值为()A.-4B.-1C.1D.4,答案B根据题意设=n(nR),则=+=+n=+n(-)=+n=(1-n)+,又=m+,解得故选B.,3.(2016广东茂名二模,9)已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1)且ab,若x,y均为正数,则+的最小值是()A.24B.8C.D.,答案Bab,-2x-3(y-1)=0,即2x+3y=3,又x,y0,+=(2x+3y)=8,当且仅当2x=3y=时,等号成立.+的最小值是8.故选B.,4.(2018湖南湘东五校4月联考,15)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=+,则实数+=.,答案,解析如图,=+=+=+,=+=+,由得=-,=-,=+=+=-+-=+,=+,=,=,+=.,B组20162018年高考模拟综合题组(时间:20分钟分值:40分),一、选择题(每题5分,共20分)1.(2018河北五个一名校联考,5)在ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则(+)等于()A.-B.-C.D.,答案A如图,M是BC的中点,且=2,=+,(+)=-,AM=1且=2,|=,(+)=-,故选A.,导师点睛由M是BC的中点,=2可知点P是ABC的重心.,一题多解由题意知,AM为ABC边BC上的中线,+=2,又由=2,知|=|=,|=|=,(+)=2=2|cos=-2=-,故选A.,答案D=+=+(-)=m+,设=(01),则=+=+(-)=(1-)+,因为=,所以=(1-)+,则解得故选D.,思路分析由B、P、N三点共线可设=,得出用、表示的两种表达式,进而由平面向量基本定理构造出关于、m的方程组,从而求m的值.,解题关键选择合适的基底,利用平面向量基本定理构造方程组是求解本题的关键.,答案A连接AR,由P为CR的中点可得=b+,由R为BQ的中点可得=a+,由Q为AP的中点可得=,所以=b+,整理可得=a+b,所以m=,n=,故选A.,思路分析利用P为CR的中点可得=b+,利用R为BQ的中点可得=a+,利用Q为AP的中点可得=,进而可得关于、a、b的等式,经整理可得的表达式,由此即可得m与n的值.,一题多解根据已知条件得,=-=-=(ma+nb)-a=a+b,=-=-+=-b+a=a+b,=a+b,=-a+b.+=,=a+b,a+b=a+b,解得故选A.,4.(2016河北石家庄一模,11)A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合),若=+(,R),则+的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+)C.(1,D.(-1,0),答案B设=m,则m1,因为=+,所以m=+,即=+,又知A,B,D三点共线,所以+=1,即+=m,所以+1,故选B.,思路分析由C、O、D共线可设=m,从而得m1,=+,利用A、B、D共线可得+=1,即+=m,从而由m的取值范围得+的取值范围.,二、填空题(每题5分,共20分)5.(2018清华大学自主招生3月能力测试,13)O为ABC内一点,且+2=0,则OBC和ABC的面积比=.,答案,解析如图所示,设AB的中点为M,连接OM,则+=2,+2=2+2=0,即+=0,点O为线段MC的中点,则SOBC=SMBC=SABC,所以=.,解题关键设AB中点为M,得出点O为线段MC的中点是解题的关键.,知识拓展若O为ABC内一点,满足m+n+k=0,则SAOBSBOCSAOCSABC=kmn(m+n+k).,6.(2018福建福州二模,16)如图,在平面四边形ABCD中,ABC=90,DCA=2BAC,若=x+y(x,yR),则x-y的值为.,答案-1,解析如图,延长DC,AB交于点E,因为DCA=2BAC,所以BAC=CEA.又ABC=90,所以=-.因为=x+y,所以=-x+y.因为C,D,E三点共线,所以-x+y=1,即x-y=-1.,思路分析根据ABC=90,DCA=2BAC,可延长DC,AB交于点E,把转化为-,再利用C、D、E三点共线求解.,解题关键作出适当的辅助线,将问题转化为三点共线的问题进行求解.,规律总结已知=x+y,若A,B,C三点共线,则x+y=1;反之亦成立.,7.(2017湘中名校3月联考,14)已知在ABC中,AB=AC=6,BAC=120,D是BC边上靠近点B的四等分点,F是AC边的中点,若点G是ABC的重心,则=.,答案-,思路分析以,为一组基底,对和进行分解,进而利用向量的数量积运算进行求解.,名师点拨在平面向量的运算中,要根据已知条件选好基底,使得变形有方向,从而避免盲目转化.,8.(2017河北百校联盟4月联考,14)已知在ABC中,点D满足2+=0,过点D的直线l与直线AB,AC分别交于点M,N,=,=.若0,0,则+的最小值为.,答