高考理数　函数与方程

2.6函数与方程,高考理数(课标专用),考点一函数零点个数及所在区间的判断1.(2017课标,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-B.C.D.1,A组统一命题课标卷题组,五年高考,答案C由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0有解,令t=x-1,则上式可化为t2-1+a(et+e-t)=0,即a=.令h(t)=,易得h(t)为偶函数,又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点的横坐标为0,所以a=,故选C.,2.(2018课标,15,5分)函数f(x)=cos在0,的零点个数为.,答案3,解析本题考查函数与方程.令f(x)=0,得cos=0,解得x=+(kZ).当k=0时,x=;当k=1时,x=;当k=2时,x=,又x0,所以满足要求的零点有3个.,考点二由函数零点求参数的取值范围(2018课标,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+),答案C本题主要考查函数的零点及函数的图象.g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)=与h(x)=-x-a的图象存在2个交点,如图,当x=0时,h(0)=-a,由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点,需要-a1,即a-1.故选C.,方法总结已知函数零点的个数求参数范围的方法已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.,考点一函数零点个数及所在区间的判断1.(2014北京,6,5分)已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+),B组自主命题省(区、市)卷题组,答案C易知f(x)是单调递减函数.f(1)=6-log21=60,f(2)=3-log22=20,f(3)=2-log230,f(4)=-log24=-20,选项中包含f(x)零点的区间是(2,4).,2.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间0,1)上,f(x)=其中集合D=,则方程f(x)-lgx=0的解的个数是.,答案8,解析解法一:由于f(x)0,1),则只需考虑1x10的情况,在此范围内,xQ且xZ时,设x=,p,qN*,p2且p,q互质,若lgxQ,则由lgx0,1),可设lgx=,m,nN*,m2且m,n互质,因此1=,则10n=,此时等号左边为整数,等号右边为非整数,矛盾.因此lgxQ,因此lgx不可能与每个周期内xD对应的部分相等,只需考虑lgx与每个周期内xD对应的部分的交点.画出函数草图,图中交点除(1,0)外,其他交点的横坐标均为无理数,且x=1处(lgx)=1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8.,解法二:先证明结论:1k-,其中p,qN*且p,q互质,k,nN*.假设1=k-,则10q=.左边是整数,而右边不是整数,矛盾.则1k-,则原方程即f(x)-lg(x+k)=0,其中kN*,x0,1),该方程即k=10f(x)-x.当xD时,该方程有唯一解x=0,此时k=1,由于函数y=10 x-x在(0,1)上单调递增,因此,当xD时,k=2,3,4,5,6,7,8均满足该方程有唯一解.综上所述,方程的解的个数为8.,考点二由函数零点求参数的取值范围1.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是()A.B.C.(1,2)D.(2,+),答案Bf(x)=如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA=.要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知,k0,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.,答案(4,8),解析本题主要考查函数零点的应用.设g(x)=f(x)-ax=方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况:情况一:,解题策略解决方程的根的问题时,通常转化为函数的零点问题,进而转化为函数图象的交点问题;解决函数图象的交点问题时,常用数形结合的方法,以“形”助“数”,直观简捷.,5.(2018浙江,15,6分)已知R,函数f(x)=当=2时,不等式f(x)0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则的取值范围是.,答案(1,4);(1,3(4,+),解析本小题考查分段函数,解不等式组,函数的零点,分类讨论思想和数形结合思想.当=2时,不等式f(x)4.两个零点为1,4,由图可知,此时13.综上,的取值范围为(1,3(4,+).,思路分析(1)f(x)0或此时要特别注意分段函数在每一段上的解析式是不同的,要把各段上的不等式的解集取并集.(2)函数零点个数的判定一般要作出函数图象,此时要特别注意两段的分界点是否能取到.,6.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.,答案(-,0)(1,+),解析当a0时,若x(a,+),则f(x)=x2,当b(0,a2)时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1=-,x2=.当0a1时,f(x)的图象如图所示,考点一函数零点个数及所在区间的判断1.(2013重庆,6,5分)若a2;a=0,b=2;a=1,b=2.,答案,解析设f(x)=x3+ax+b.当a=-3,b=-3时,f(x)=x3-3x-3,f(x)=3x2-3,令f(x)0,得x1或x2时,f(x)=x3-3x+b,易知f(x)的极大值为f(-1)=2+b0,极小值为f(1)=b-20,x-时,f(x)-,故方程f(x)=0有且仅有一个实根,故正确.当a=0,b=2时,f(x)=x3+2,显然方程f(x)=0有且仅有一个实根,故正确.当a=1,b=2时,f(x)=x3+x+2,f(x)=3x2+10,则f(x)在(-,+)上为增函数,易知f(x)的值域为R,故f(x)=0有且仅有一个实根,故正确.综上,正确条件的编号有.,考点二由函数零点求参数的取值范围(2015北京,14,5分)设函数f(x)=若a=1,则f(x)的最小值为;若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.,答案-12,+),解析当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示:,考点一函数零点个数及所在区间的判断1.(2018河南濮阳一模,4)函数f(x)=ln2x-1的零点所在区间为()A.(2,3)B.(3,4)C.(0,1)D.(1,2),三年模拟,A组20162018年高考模拟基础题组,答案D由f(x)=ln2x-1,得函数是增函数,并且是连续函数,f(1)=ln2-10,根据函数零点存在性定理可得,函数f(x)的零点位于区间(1,2)上,故选D.,2.(2018安徽安庆二模,9)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=且f(x+1)=f(x-1),若g(x)=3-log2x,则函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+)内的零点个数为()A.3B.2C.1D.0,答案B由f(x+1)=f(x-1),知f(x)的周期是2,画出函数f(x)和g(x)的部分图象,如图所示,由图象可知f(x)与g(x)的图象有2个交点,故F(x)有2个零点.故选B.,3.(2018河南安阳一模,12)已知函数f(x)=(e为自然对数的底数),则函数F(x)=f(f(x)-f(x)-1的零点个数为()A.8B.6C.4D.3,答案B令f(x)=t,则由F(x)=0得f(t)=t+1.作出y=f(x)的函数图象如图所示:,思路分析F(x)的零点个数即为F(x)=0的解的个数,换元,令f(x)=t,将方程化为关于t的方程,画函数图象,数形结合得关于t的方程的解的个数及解的范围,再由f(x)=t确定所求零点个数.,4.(2016河南郑州第一次质量检测,5)已知函数f(x)=-cosx,则f(x)在0,2上的零点个数为()A.1B.2C.3D.4,答案C作出g(x)=与h(x)=cosx的图象(图略),可以看出函数g(x)与h(x)在0,2上的图象的交点个数为3,所以函数f(x)在0,2上的零点个数为3,故选C.,考点二由函数零点求参数的取值范围1.(2018安徽黄山一模,12)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且f(x)是偶函数,当x0,1时,f(x)=x2.令g(x)=f(x)-kx-k,若在区间-1,3内,函数g(x)=0有4个不相等实根,则实数k的取值范围是()A.(0,+)B.C.D.,2.(2018河南洛阳二模,12)已知函数f(x)=g(x)=kx-1,若方程f(x)-g(x)=0在x(-2,2)内有三个实根,则实数k的取值范围为()A.(1,ln2)B.C.D.(1,ln2),答案D显然,x=0不是方程f(x)-g(x)=0的根,则f(x)-g(x)=0即为k=,可设k=(x)=由x0时,(x)=+lnx的导数为(x)=-+=,在x1时,(x)0,(x)递增;在0x1时,(x)0,(x)递减.可得(x)在x=1处取得最小值1.作出(x)在(-2,2)上的图象得,在1kln2+或k2或x0,函数g(x)单调递增,当0x2时,g(x)0,函数g(x)单调递减,当x=2时,函数有极小值,为g(2)=,且当x0时,g(x)(0,+),函数f(x)=-kx(e为自然对数的底数)有且只有一个零点,y=k与g(x)=的图象只有一个交点,结合图象可得,0k0,由题意知要满足g(x)在区间-2018,2018上有4032个零点,只需m(x)与n(x)的图象在0,4上有两个交点,则可得eae3,故选B.,二、填空题(每题