高考理数　等比数列

6.3等比数列,高考理数(课标专用),A组统一命题课标卷题组1.(2017课标,3,5分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏,五年高考,答案B本题主要考查数学文化及等比数列基本量的计算.由题意可知,由上到下灯的盏数a1,a2,a3,a7构成以2为公比的等比数列,S7=381,a1=3.故选B.,2.(2015课标,4,5分,0.834)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84,答案B设an的公比为q,由a1=3,a1+a3+a5=21得1+q2+q4=7,解得q2=2(负值舍去).a3+a5+a7=a1q2+a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=212=42.,思路分析用a1,q表示a3,a5,代入已知等式求出q2值,进而利用a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2得结果.,3.(2016课标,15,5分)设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.,答案64,解析设an的公比为q,于是解得a1=8,q=,an=24-n,a1a2an=23+2+1+(4-n)=26=64.a1a2an的最大值为64.,思路分析用a1,q表示a2,a3,a4,列方程组解得a1,q,进而求出an=24-n,从而表示出a1a2a3an,由此即可求出最大值.,解题关键求出an,并会求-n2+n的最大值是解题关键.,4.(2018课标,17,12分)等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.,解析本题考查等比数列的概念及其运算.(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188.此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.,思路分析(1)根据已知建立关于q的方程求得q并检验代入等比数列的通项公式(2)利用等比数列前n项和公式与已知建立等量关系即可求解.,易错警示解方程时,对根的检验求解等比数列的公比时,要结合题意进行讨论、取值,避免错解.,解后反思等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略(1)求通项.求出等比数列的两个基本量a1和q后,通项便可求出.(2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.(3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解.(4)求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.,5.(2016课标,17,12分)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求.,解析(1)由题意得a1=S1=1+a1,故1,a1=,a10.(2分)由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以=.因此an是首项为,公比为的等比数列,于是an=.(6分)(2)由(1)得Sn=1-.由S5=得1-=,即=.解得=-1.(12分),方法指导(1)利用an+1=Sn+1-Sn可得到an+1与an的关系式,要证数列an是等比数列,关键是得出an+1与an之比为常数,其中说明an0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论列方程即可求出.,考点一等比数列的概念及运算1.(2018北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()A.fB.fC.fD.f,B组自主命题省(区、市)卷题组,答案D本题主要考查等比数列的概念和通项公式及等比数列的实际应用.由题意知,十三个单音的频率构成首项为f,公比为的等比数列,设该等比数列为an,则a8=a1q7,即a8=f,故选D.,易错警示本题是以数学文化为背景的应用问题,有以下几点容易造成失分:读不懂题意,不能正确转化为数学问题.对要用到的公式记忆错误.在求解过程中计算错误.,2.(2014重庆,2,5分)对任意等比数列an,下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列,答案D不妨设公比为q,则=q4,a1a9=q8,a2a6=q6,当q1时,A、B均不正确;又=q6,a2a8=q8,同理,C不正确;由=q10,a3a9=q10,知D正确.,3.(2017北京,10,5分)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=.,答案1,解析本题考查等差数列、等比数列的基础知识,考查运算求解能力.设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.a1=b1=-1,a4=b4=8,a2=2,b2=2.=1.,4.(2017江苏,9,5分)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=.,答案32,解析本题考查等比数列及等比数列的前n项和.设等比数列an的公比为q.当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意,q1,由题设可得解得a8=a1q7=27=32.,5.(2015湖南,14,5分)设Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=.,答案3n-1,解析设等比数列an的公比为q(q0),依题意得a2=a1q=q,a3=a1q2=q2,S1=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+q2.又3S1,2S2,S3成等差数列,所以4S2=3S1+S3,即4(1+q)=3+1+q+q2,所以q=3(q=0舍去).所以an=a1qn-1=3n-1.,6.(2014安徽,12,5分)数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.,答案1,解析设an的公差为d,则a3+3=a1+1+2d+2,a5+5=a1+1+4d+4,由题意可得(a3+3)2=(a1+1)(a5+5).(a1+1)+2(d+1)2=(a1+1)(a1+1)+4(d+1),(a1+1)2+4(d+1)(a1+1)+2(d+1)2=(a1+1)2+4(a1+1)(d+1),d=-1,a3+3=a1+1,公比q=1.,7.(2015山东,18,12分)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.(1)求an的通项公式;(2)若数列bn满足anbn=log3an,求bn的前n项和Tn.,解析(1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n1时,2Sn-1=3n-1+3,此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,即an=3n-1,所以an=(2)因为anbn=log3an,所以b1=,当n1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n.所以T1=b1=;当n1时,=+-(n-1)31-n=-,所以Tn=-(n1).经检验,n=1时也适合.综上可得Tn=-(nN*).,Tn=b1+b2+b3+bn=+13-1+23-2+(n-1)31-n,所以3Tn=1+130+23-1+(n-1)32-n,两式相减,得2Tn=+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n,8.(2016四川,19,12分)已知数列an的首项为1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,nN*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列an的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=,证明:e1+e2+en.,考点二等比数列的性质1.(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a11,则()A.a1a3,a2a4D.a1a3,a2a4,答案B本小题考查等比数列的概念和性质,利用导数求函数的单调性和最值,不等式的性质和分类讨论思想.设f(x)=lnx-x(x0),则f(x)=-1=,令f(x)0,得01,f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+)上为减函数,f(x)f(1)=-1,即有lnxx-1.从而a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)a1+a2+a3-1,a41,公比q0,矛盾.若q0,ln(a1+a2+a3)lna10,也矛盾.-10,a1a3.,同理,=q2a2.选B.,思路分析(1)由题中的选项可知要判断01.(2)由条件可知要利用不等式lnxx-1(x0),得a40,而a20,利用-1q0得结论.,2.(2016天津,5,5分)设an是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件,答案C若对任意的正整数n,a2n-1+a2n0,所以a20,所以q=0.若q0,可取q=-1,a1=1,则a1+a2=1-1=0,不满足对任意的正整数n,a2n-1+a2n0.所以“q0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n-2d,d0).假设存在a1,d,使得a1,依次构成等比数列,则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,化简得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1.将t2=t+1代入(*)式,得t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-.显然t=-不是方程t2=t+1的解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在a1,d,使得a1,依次构成等比数列.,并令t=,则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k).将上述两个等式两边取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t),且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t).化简得2kln(1+2t)-ln(1+t)=n2ln(1+t)-ln(1+2t),且3kln(1+3t)-ln(1+t)=n3ln(1+t)-ln(1+3t).再将这两式相除,化简得ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t)(*).令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)ln(1+t),则g(t)=.,(3)假设存在a1,d及正整数n,k,使得,依次构成等比数列,则(a1+2d)n+2k=(a1+d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k).分别在两个等式的两边同除以及,令2(t)=1(t),则2(t)=0.由g(0)=(0)=1(0)=2(0)=0,2(t)0,知2(t),1(t),(t),g(t)在和(0,+)上均单调.故g(t)只有唯一零点t=0,即方程(*)只有唯一解t=0,故假设不成立.所以不存在a1,d及正整数n,k,使得,依次构成等比数列.评析本题考查等差数列的定义、等比数列的运算和综合应用,考查演绎推理、直接证明、间接证明等逻辑思维能力.,令(t)=(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t),则(t)=6(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)ln(1+t).令1(t)=(t),则1(t)=63ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t).,6.(2013天津,19,14分)已知首项为的等比数列an不是递减数列,其前n项和为Sn(nN*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设Tn=Sn-(nN*),求数列Tn的最大项的值与最小项的值.,解析(1)设等比数列an的公比为q,因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是q2=.又an不是递减数列且a1=,所以q=-.故等比数列an的通项公式为an=(-1)n-1.,(2)由(1)得Sn=1-=当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以1Sn-S2-=-=-.,综上,对于nN*,总有-Sn-.所以数列Tn最大项的值为,最小项的值为-.评析本题主要考查等差数列的概念,等比数列的概念、通项公式、前n项和公式等基础知识.考查分类讨论的思想,考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.,考点二等比数列的性质1.(2014大纲全国,10,5分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lgan的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3,答案C由题意知a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10,数列lgan的前8项和等于lga1+lga2+lga8=lg(a1a2a8)=lg(a4a5)4=4lg(a4a5)=4lg10=4.故选C.,2.(2013福建,9,5分)已知等比数列an的公比为q,记bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m(m,nN*),则以下结论一定正确的是()A.数列bn为等差数列,公差为qmB.数列bn为等比数列,公比为q2mC.数列cn为等比数列,公比为D.数列cn为等比数列,公比为,答案Cbn=am(n-1)+1(1+q+q2+qm-1),=qm,故数列bn为等比数列,公比为qm,选项A、B均错误;cn=q1+2+(m-1),=(qm)m=,故数列cn为等比数列,公比为,D错误,故选C.,3.(2013陕西,17,12分)设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式;(2)设q1,证明数列an+1不是等比数列.,考点一等比数列的概念及运算1.(2018广东珠海模拟,4)Sn是正项等比数列an的前n项和,a3=18,S3=26,则a1=()A.2B.3C.1D.6,A组20162018年高考模拟基础题组,三年模拟,答案A设等比数列an的公比为q,因a3=18,S3=26,则有a3+=26,即18+=26,可解得:q=3或q=-,又由数列an为正项等比数列,得q=3,则a1=2,故选A.,2.(2018山东淄博一模,6)已知an是等比数列,若a1=1,a6=8a3,数列的前n项和为Tn,则T5=()A.B.31C.D.7,答案A设等比数列an的公比为q,a1=1,a6=8a3,q3=8,解得q=2.an=2n-1.=.数列是首项为1,公比为的等比数列.则T5=.故选A.,3.(2018福建厦门模拟,8)设等比数列an的前n项和为Sn,若Sn=2n+1+,则=()A.-2B.-1C.1D.2,答案A解法一:当n=1时,a1=S1=4+.当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1+)-(2n+)=2n,此时=2.因为an是等比数列,所以=2,即=2,解得=-2.故选A.解法二:依题意,a1=S1=4+,a2=S2-S1=4,a3=S3-S2=8,因为an是等比数列,所以=a1a3,所以8(4+)=42,解得=-2.故选A.解法三:Sn=2n+1+=22n+,易知q1,因为an是等比数列,所以Sn=-qn,据此可得=-2.故选A.,4.(2018湖南长沙一模,9)设首项为1,公比为的等比数列an的前n项和为Sn,则()A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an,答案D因为a1=1,公比q=,所以an=,Sn=31-=3-2=3-2an,故选D.,5.(2018山东实验中学诊断测试,7)中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是()A.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且a=B.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且c=C.a,b,c依次成公比为的等比数列,且a=D.a,b,c依次成公比为的等比数列,且c=,答案D由题意可知b=a,c=b,=,=.a、b、c成等比数列且公比为.1斗=10升,5斗=50升,a+b+c=50,又易知a=4c,b=2c,4c+2c+c=50,7c=50,c=,故选D.,6.(2017福建漳州八校2月联考,3)等比数列an的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则等于()A.-3B.5C.-31D.33,答案D设等比数列an的公比为q,则由已知得q1.S3=2,S6=18,=,得q3=8,q=2.=1+q5=33,故选D.,7.(2018河南信阳模拟,17)已知数列an满足a1=1,an+1=2an+(为常数).(1)试探究数列an+是不是等比数列,并求an;(2)当=1时,求数列n(an+)的前n项和Tn.,解析(1)因为an+1=2an+,所以an+1+=2(an+).又a1=1,所以当=-1时,a1+=0,数列an+不是等比数列,此时an+=an-1=0,即an=1;当-1时,a1+0,所以an+0,所以数列an+是以1+为首项,2为公比的等比数列,此时an+=(1+)2n-1,即an=(1+)2n-1-.(2)由(1)知an=2n-1,所以n(an+1)=n2n,Tn=2+222+323+n2n,2Tn=22+223+324+n2n+1,-得:-Tn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-2-n2n+1=(1-n)2n+1-2.所以Tn=(n-1)2n+1+2.,8.(2018福建福安一中试题,17)已知等比数列an的各项均为正数,且a2=4,a3+a4=24.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn的前n项和Sn=n2+n+2n+1-2(nN*),求证:数列an-bn是等差数列.,解析(1)设等比数列an的公比为q,依题意知q0.由已知得两式相除得q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去),所以a1=2,所以数列an的通项公式为an=a1qn-1=2n.(2)证明:由已知得,当n=1时,b1=4;当n2时,bn=Sn-Sn-1=n2+n+2n+1-(n-1)2-(n-1)-2n=2n+2n,又b1=4符合上式,bn=2n+2n(nN*).设cn=an-bn,则cn=-2n,当n2时,cn-cn-1=-2,cn即an-bn是等差数列.,考点二等比数列的性质1.(2018湖南湘潭三模,9)已知等比数列an的前n项积为Tn,若a1=-24,a4=-,则当Tn取最大值时,n的值为()A.2B.3C.4D.6,答案C等比数列an的前n项积为Tn,由a1=-24,a4=-,可得q3=,解得q=,Tn=a1a2a3an=(-24)nq1+2+(n-1)=(-24)n,当Tn取最大值时,可得n为偶数,当n=2时,T2=242=192;当n=4时,T4=244=;当n=6时,T6=246=,则T66,且n为偶数时,Tn1,=3.,1.(2018河南开封一模,5)已知等比数列an的前n项和为Sn,且9S3=S6,a2=1,则a1=()A.B.C.D.2,B组20162018年高考模拟综合题组(时间:25分钟分值:45分)一、选择题(每题5分,共20分),答案A由题意知等比数列an的公比q1,9S3=S6,a2=1,=,a1q=1,q=2,a1=.故选A.,名师点拨列方程(组)求基本量.,方法指导在等比数列基本量的计算中,对于高次方的计算,常用作商的方法或是整体消元法求解.,2.(2018山东菏泽一模,8)在等比数列an中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,则的值为()A.2B.-C.D.-或,答案D设等比数列an的公比为q,由a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,可得a2a16=2,即有q16=2,则有=2,