20橙啦数学基础阶阶段测试高数线代解析-2019 6 14

20 橙啦橙啦数学数学基础阶阶段基础阶阶段测试（测试（高数高数+线代线代） 参考解析参考解析 本试卷满分 150 分，考试时间 180 分钟，命题人：边一 （答案未必是最优解法，以直播讲授为准） 一一、选择题选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上. 1. 【答案】 （D） 【解析】 2 ( )()( )o xo xo x，故 D 错误. 2、 【答案】 （A） 【解析】因为( )0,fx则( )f x严格单调增加；因为( )0,fx则( )f x是凹函数，又 0 x ，画 2 ( )f xx的图形 结合图形分析，就可以明显得出结论：0dyy. 3、 【答案】 （C） 【解析】一般提到的全微分存在的一个充分条件是：设函数( , )f x y在点 00 ,xy 处存在全 微分，但题设的. . . .ABC D中没有一个能推出上述充分条件，所以改用全微分的定义检查之. 全微分的定义是：设( , )f x y在点 00 ,xy 的某领域内有定义，且( , )f x y在点 00 ,xy 处的 全增量可以写成 0000 ,fxx yyfxyA xB yo ，其中,A B为与 , xy 无关的常数， 2 xy ， 0 lim0 o ，则称( , )f x y在点 00 ,xy 处 可微，A xB y 称为( , )f x y在点 00 ,xy 处的全微分，对照此定义，就可解决本题. 选项.A相当于已知( , )f x y在点(0,0)处连续；选项.B相当于已知两个一阶偏导数 0,0 x f，0,0 y f存在，因此.A.B均不能保证( , )f x y在点(0,0)处可微. 选项.D相当 于已知两个一阶偏导数0,0 x f，0,0 y f存在，但不能推导出两个一阶偏导函数 , x fx y ，, y fx y 在点(0,0)处连续，因此也不能保证( , )f x y在点(0,0)处可微. 由.C 22( , )(0,0) ( , )(0,0) lim0 x y f x yf xy ，推知 22 ( , )(0,0)00( ),f x yfxyxyo 其中 22 xy， 00 ( ) limlim0 o .对照全微分定义，相当于 00 0,0,0,0.xyxxyy AB 可见( , )f x y在(0,0)点可微，故选择(C). 4、 【答案】 （B） 【解析】交换积分次序,使得只有外面这道积分限中才有t，其他地方不出现t 由由 tt y dxxfdytF 1 )()(知： 1 yxt yt ，交换积分次序 1 1 xt yx ，得 tt y dxxfdytF 1 )()(= txt dxxxfdxdyxf 111 ) 1)()( 于是，) 1)()(ttftF，从而有)2()2(fF，故应选(B). 5（数一、三做数一、三做） 、 【答案】C 【解析】 （A）由根值判别法可得收敛。 (B) 33 1 22 1111 ln(1) n n u nn nn 收敛，所以（B）收敛。 （C） 222 ( 1)1( 1)1 lnlnln nn nnn nnn ，因为 22 ( 1)1 , lnln n nn nn 分别是收敛和发散，所以 2 ( 1)1 ln n n n 发散，故选（C)。 （D) ! , n n n u n 1 1 limlim1 1 n n nn n un e un ，所以收敛。 5（数二做数二做） 、 【答案】 （A） 【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出3,2,1abc 。故选 A。 6、 【答案】(D) 【解析】可直接展开计算,亦可使用拉普拉斯展开定理。 7.【答案答案】(A) 【解析解析】 由 112131112131 * 122232122232 132333132333 T AAAaaa AAAAaaaA AAAaaa ，(矩阵相等，则对应元素都相等)有 3 , 2 , 1,jiAa ijij ，其中 ij A为 ij a的代数余子式， 又 由 *T AAAAA E， 矩 阵 乘 积 的 行 列 式 等 于 行 列 式 的 乘 积 ， A A EA A ，故 3 A A EAA A ，故 23 TT AAAAAAAA EA 23 0AAA或1A 而 111112121313 Aa Aa Aa A 222 111213 aaa 2 11 30a， 于 是1A， 即 2 111111 1 31, 3 aaa 是正数，故. 3 3 11 a故正确选项为(A). 8 【答案】【答案】C 【解析】【解析】由于 1341 134 011 11 ,0110 11 c ccc ，可知 134 , 线性相关。故 选（C） 。 二二、填空题填空题：914 小题，每题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上. 9、 【答案】 2 xy 【解析】 2 2 2 arctan 1 limlim1. 1 xx x yx k xxx 2 1arctan 1 lim 1arctan 1 limlim 2 2 2 2 3 x x x xx x x xyb x xx 故渐近线为. 2 yx 10、 【答案】4( 21) 【解析】注意 2 ( )( )( ),f xf xf x不要轻易丢掉绝对值符号；绝对值函数的积分实 际上是分段函数的积分. 由二倍角公式sin2sincos 22 ,则有 2 22 1 sinsincos2sincossincos 222222 . 所以 2 000 1 sinsincossincos 2222 xxxx xdxdxdx 2 0 2 cossinsincos 2222 xxxx dxdx 2 0 2 2 sincos2cossin 2222 xxxx 4( 21). 11、 【答案】51 【解析】 由题设， ( )dx dx ( ,( , ) d f x f x x dx 12 ( ,( , )( ,( , )( , )f x f x xfx f x xf x x 1212 ( ,( , )( ,( , )( , )( , )f x f x xfx f x xfx xfx x 这里 1 f f x ， 2 f f y ， 所以 1 ( ) x dx dx 1212 1 ( ,( , )( ,( , )( , )( , ) x f x f x xfx f x xfx xfx x 1212 (1,1)(1,1)(1,1)(1,1)ffff 2323 17 又(1,1)1,f( )( ,( , )xf x f x x， 所以(1)(1,(1,1)ff(1,1)1(1,1)ff 1, 所以 32 11 ( ) ( )3( ) xx ddx xx dxdx 2 1 ( ) 3(1) x dx dx 1 ( ) (1)1,173 1 17 x dx dx 51 12（数一、三做数一、三做） 、 【答案】1,5 【解析】幂级数 0 (2)n n n ax 的收敛区间以2x 为中心，因为该级数在0 x 处收敛， 在4x 处发散，所以其收敛半径为 2，收敛域为( 4,0，即222x 时级数收敛， 亦即 0 n n n a t 的收敛半径为 2，收敛域为( 2,2. 则 0 (3)n n n ax 的收敛半径为 2，由 232x 得15x，即幂级数 0 (3)n n n ax 的收敛域为(1,5 1212（数二做（数二做） 、 【答案】【答案】 2 (0) 3 f 【解析【解析】 ： 由于0t ，故 222 2 22 000 ( )2( ) tt xyt fxydxdydf r rdrrf r dr ， 从而 222 22 0 33 00 2( ) 1 limlim t tt xyt rf r dr fxydxdy tt 2 00 2 ( )2( )(0)2 limlim(0) 3303 tt tf tf tf f tt 13、 【答案答案】2 【解析解析】 由 123 , 线性无关，可知矩阵 123 , 可逆，故 123123 ,r AAAr Ar A 再由 2r A 得 123 ,2r AAA 14、 【答案【答案】 ：1,1,21,1,1, TT kkR 【解析【解析】 ：设该线性方程组的系数矩阵为A.原方程组有两个不同的解，可知系数矩阵不满 秩，也即 3r A .通过观察不难发现，A中存在非零的 2 阶子式，可知 2r A ，故 2r A . 因 此 导 出 组0Ax 的 基 础 解 系 中 含 有 1 个 向 量 ， 由 线 性 方 程 组 解 的 性 质 可 知 2,2,31,1,11,1,2 TTT 是0Ax 的解，也就是0Ax 的基础解系. 故原方程组的通解为1,1,21,1,1, TT kkR. 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上.解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【解析】 2 1 2 1 0 ln 1 ln 1 limlim ln 1 ln 1 x uu x u u x x e e e e = 2 2 u 2e 1 e lim e 1 e u u u u 2 2 2 1 lim0 1 uu uu u ee ee ， 0 lim x a xa .又 2 1 2 1 0 ln 1 ln 1 limlim ln 1 ln 1 x uu x u u x x e e e e = 2 2 1 lim2 1 uu u u ee e ， 0 lim 0 x a x .故2a ，2a 时极限存在，并且 2 1 0 ln 1 lim 2 ln 1 x x x e a x e 16（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【解析】 ：当0 x 时，做变量代换uxt得 0 ( ) ( ) x f u du x x 当0 x 时， 1 0 (0)(0)(0)fdtf 。由于( )f x连续，且 0 ( ) lim x f x A x ，可知(0)0f。 故 0 ( ) ,0 ( ) 0,0 x f u du x x x x 则当0 x 时， 0 2 ( )( ) ( ) x xf xf u du x x ； 当0 x 时， 0 2 000 ( ) ( )(0)( ) (0)limlimlim 22 x xxx f u du xf xA xxx 。 故 0 2 ( )( ) ,0 ( ) ,0 2 x xf xf u du x x x A x 下面再讨论 ( ) x 在0 x 处的连续性： 由于 00 22 0000 ( )( )( ) ( ) lim( )limlimlim(0) 22 xx xxxx xf xf u duf u du f xAA xA xxx 可知 ( ) x 在0 x 处连续 17（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【证证】在区间 ( ) , f a a a k 上对( )f x应用拉格朗日中值定理，有 ( )( )( ) ( )( ), f af af a faf afa a kkk ， 由于( )0,( )0,f afxk 所以 ( )( ) ( )0 f af a faf ak kk . 由零点定理知 ( ) , f a a a k ，使( )0f.再由( )0fx 知，( )f x在 ( ) , f a a a k 上是单调增加的，故方程 ( ) ( )0, f a f xa a k 在内有唯一的实根. 18（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【解析【解析】 ：由题设可得 0 ( )1( ) x x f x dxef x 两端求导，得( )( ) x f xefx,即 ( )( ) x fxf xe 由一阶线性方程求解公式，得 ( )( ) ( )( ) P x dxP x dx f xeQ x edxC xxx eee dxC 1 2 xx Cee 由(0)=0f，得所求函数为 1 ( )() 2 xx f xee 19（本小题满分（本小题满分 11 分）分） 【解析】假设圆的半径为 x，正方形边长为 y，正三角形边长为 z，则有 2432,0,0,0 xyzxyz 令 222 3 , ,=2432 4 f x y zxyzxyz 222 3 , ,=2432 4 220 240 3 30 2 24320 f x y zxyzxyz f x x f y y f z z xyz 求解上述方程得到，驻点为 1 1,2,2 3 +4+3 3 最小面积为， 2 22 min 1232 31 = 4+4+3 3+4+3 3+4+3 3+4+3 3 S 。 20（本（本小小题满分题满分 11 分）分） 【解析】 1 22 ()2 DDDD Ix xy dxdyx dxdyxydxdyx dxdy ， 其中 222 1 ( , )2,0Dx y xyyxx， 则 2 2 1 12 22 0 2 ()22 45 x x DD Ix xy dxdyx dxdydxx dy 。 21（本（本小小题满分题满分 10 分）分） 【解析】 （1）解法 1： 232 32222 223 12110333 2211330 12101333 aaaaaaa Aaaaaaaa aaaaaaa 0a. 解法 2： 3 0,A 则0,A 即 10 110, 01 a a a 解得0.a （2）由 22 XXAAXAXAE得， 222 ()(),()()X EAAX EAEEA X EAE即 当0a 时， 010 101 010 A ，则 2 101 000 101 A ， 2 11 0001 111 ,010 01 11 02 EAEA ，所以 2 ,EA EA可逆， 又 121 211201 ()111 ,()010 110100 EAEA 121 312 X() ()111 211 EAEA . 22（本（本小小题满分题满分 11 分）分） 【解析】 （1）对于方程组 1 Ax，由增广矩阵作初等行变换，有 11111111 11110211 04220000 ， 得方程组通解 123 ,1 2xt xt xt ，即 T 2 ( ,1 2 )ttt，其中t为任意常数， 由于 2 220 220 440 A ，对 2 1 A x，由增广矩阵作初等行变换，有 22012201 22010000 44020000 ， 得方程组通解 123 1 , 2 xu xu xv ，即 T 3 1 , , 2 u u v ，其中, u v为任意常数. （2） 【方法一】因为行列式