曲线的曲率PPT课件

第七节,第三章,曲线的曲率一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答,1,.,一、主要内容,x0,0,AM,B,yf(x),bx,Oa,y,(一)弧微分1.弧的概念设yf(x)在(a,b)内有连续导数,其图形为AB,有向弧段M0M的值s.,x,M,设曲线的正向为x增大的方向.若M0为选定的基点,M是有向弧段上任意一点，则可定义,2,.,显然,s是个代数量,且是x的单调增函数s(x).,弧的定义,规定为：,0,有向弧段MM的值s(简称弧s),s0,s的大小等于弧M0M的长度,当弧M0M的方向与曲线的正方向一致时,相反时,s0.,x0,M0,A,B,yf(x),bx,Oa,y,x,M,3,.,2.弧s(x)的微分,2,(,.,2,MM2,2,(x),(x)2(y)2,limx0,又s(x)单增,s,x0x,s(x)lim,x,M,M,y,lim,1,(x),2,MM(x),sMM2MM2x,)2,A,B,yf(x),y,x,s,2,2,(x),MM2,MM,MM2,1(y)2,x,1(y)2,limx0,设弧s=M0M=s(x),0,Oaxxxxbx,M0,4,.,ds1(y)2dx,(dx)2(dy)2.,M,dydx,T,或ds几何意义:dsMT,ds,dxcos;,sin.,dyds,xxdx,x,O,y,M,5,.,yy(t),xx(t),注1若曲线由参数方程表示:,则通过计算可得ds,()2()2d.,若曲线由极坐标方程表示:(),2,则弧微分公式为dsx(t)2y(t)2dt.,6,.,s,K,点M处的曲率:,KlimMM,(二)平面曲线曲率的概念曲率的定义,d.,s0sds,Klim,在光滑弧上自点M开始取弧段MM,其长为s,对应切线转角为,定义弧段s上的平均曲率,显然,直线上任意点处的曲率为0.,7,.,ds,设曲线yf(x)二阶可导,设为切线的倾角,dx.,y,d(arctany)dx,.,3(1y2)2,y,Kd,1y2又ds1y2dx,故曲率计算公式为,则有tany,故arctany,从而,(三)曲率的计算公式,8,.,注,2若曲线由参数方程yy(t),xx(t)给出,K,3若曲线方程为x(y),则,(1x2)2,x,K3.,3(x2y2)2,Kxyxy.,则通过,计算可得,1o当y1时,有曲率近似计算公式Ky.,9,.,(四)曲率圆与曲率半径,y,O,D(,),R,TM(x,y)x,C,K,DMR1,设M为曲线C上任一点,在点M处作曲线的切线和法线,在曲线的凹向一侧法线上取点D使,把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.,10,.,在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1)有公切线;(2)凹向一致;,RK,.,1,设曲线方程为yf(x),且y0,曲线上点M处的曲率半径为3,(1y2)2,y,y,O,(3)曲率相同.D(,),R,TM(x,y)x,C,11,.,(x)2(y)2R2,(M(x,y)在曲率圆上),(DMMT),y,y,x,的坐标公式.设点M处的曲率圆方程为()2()2R2,其中,满足方程组,下面求曲线上点M处的曲率中心D(,),y,O,D(,),R,TM(x,y)x,C,12,.,y(1y2)y,x,.,y,1y2,y,当点M(x,y)沿曲线C:yf(x)移动时,相应的曲率中心的轨迹G称为曲线C的渐屈线,曲线C称为曲线G的渐伸线.,由此可得曲率中心公式,y,O,D(,),R,TM(x,y)x,C,13,.,二、典型例题,sR,s0s,.R,Klim1,可见:圆的弯曲程度处处相同;圆的半径越小,圆弯曲得愈厉害.,s,M,M,R,例1求半径为R的圆上任意点处的曲率.解如图所示,14,.,解,y2axb,y2a,2a,显然,当xb时,K最大.,)为抛物线的顶点,4a,bb24ac,又Q(2a,抛物线在顶点处的曲率最大.,例2抛物线yax2bxc上哪一点的曲率最大?,y,3.,2a,(1y2)21(2axb)22,K3,15,.,例3,求yax3上任一点的曲率半径.,解y3ax2,y6ax,y,RK,231(1y)2,(x0),6ax,(19a2x4)32,x0,在该曲线的拐点(0,0)处，limR.,O,x,y,yax3,16,.,例4问：火车轨道由直轨转入弯道时，为什么不立即接上圆弧轨道？答：直轨AB的曲率：k直0,曲率半径：R直.而圆弧的曲率半径：R圆R0(常数).,由于向心力：,F向心力,所以若在拐弯点B,R,mv2,接上圆弧，则向心力F向心力在B点不连续，从而产生剧烈震动.为了行驶平稳，往往在直道和弯道,之间接入一段缓冲段,使曲率连续地由零过渡到1.,R0,17,.,通常用三次抛物线y1x3，x0,x0作为,并且当l很小(l1)时RR,R,x,O,R,A(x0,y0),C(x0,0),l,在终端A的曲率近似为1.,6Rl缓冲段OA，其中l为OA的长度.验证缓冲段OA在始端O的曲率为零,y,18,.,证如图,x的负半轴表示直道，,OA是缓冲段,AB是圆弧轨道.,（,（,lx0.在缓冲段上,6Rl,y1x3,x,y,O,R,00,A(x,y),0,C(x,0),l,B,Kyx,Rl,R,实际要求x0,l,Rl,2Rl2R1,Qy1x2l0,y1x,O,故缓冲始点的曲率K0,缓冲终点的曲率KAKxl1.,R,l1,19,.,解,x,1cost,a(1cost)2,yysint,y1d(y)1,代入曲率中心公式,得a(tsint),a(cost1).,a,xdty,O,M,x,Oa(sin),a(1cos).(仍为摆线),令t,2a,可得,例5求摆线ya(1cost)的渐屈线方程.,xa(tsint),20,.,三、同步练习,1.求双曲线xy1的曲率半径R,并分析何处R最小?,ybsint,2.求椭圆xacost,(0ba,0t2),上点的曲率最大值与最小值.,3.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面以达到要求的光洁度,问选择多大的砂轮比较合适?,21,.,解,y1,y2,则x2x3,R,3(1y2)2,y,3,4)2,1,x,(1,2,1,12,x2,a2b22ab,x33(x2)22,2为最小值.,显然Rx1,1,y,1,O,x,四、同步练习解答,1.求双曲线xy1的曲率半径R,并分析何处R最小?,22,.,解,故曲率为,ab,xasint,xacost,ybcost,ybsint,3(x2y2)2,Kxyxy,3(a2sin2tb2cos2t)23.,ab,b2(a2b2)sin2t2,ybsint,2.求椭圆xacost,(0ba,0t2),上点的曲率最大值与最小值.,23,.,这说明椭圆在点(a,0)处曲率最大.,因此当t0或时,f(t)取最小值,从而K取最大值,K最大(小),f(t)b2(a2b2)sin2t最小(大),b2,Kmaxa,ab,K,类似地,当t或3时,22,a2,K取最小值Kminb,3b2(a2b2)sin2t2yb,即椭圆在点(0,b)处曲率最小.a,Oaxb,24,.,解,ybsint,设椭圆方程为xacost,(0x2,ba),K,1,R,a,b2,.,b,