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三个正数的算术-几何平均不等式,荆门市龙泉中学张娜,类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a，b，c，可能有,类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a，b，c，可能有，那么，当且仅当a=b=c时，等号成立,(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3,x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2),由于a3+b3+c3-3abc,=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc,=(a+b)3+c3-3a2-3ab2-3abc,=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c),=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),=(a+b+c)(a-b)2-(b-c)2+(c-a)20,所以a3+b3+c33abc,当且仅当a=b=c时，等号成立。,定理如果，那么当且仅当a=b=c时，等号成立,n个正数的算术几何平均不等式：,推论:,（）若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值,（）若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值,例求函数的最小值,下列解法是否正确？为什么？,例求函数的最小值下面解法是否正确？为什么？,解法：由知，则当且仅当,解法2：由知，则,例求函数的最小值,例求函数的最小值,解法：由知则,一正二定三相等,变式：,8,例2如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？,a,x,解：设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则,当且仅当即当时，不等式取等号，此时取最大值即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的时，盒子的容积最大,思考题：已知：长方体的全面积为定值，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值,解：设长方体的体积为V，长、宽、高分别是a，b，c，则V=abc，S=2ab+2bc+2ac,1.三个正数的算术几何平均不等式如果，那么当且仅当a=b=c时，等号成立,小结：,2.应用：求最值
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