考研数学历年真题1987-1997年数学二

- 1 - 19971997 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试( (数学二数学二) ) 一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) （1）已知 ax xa xxosx xf x 处连续，则，在 ， ， 0 0 0 2 _. （2）设则, 1 1 ln 2 x x y 0 x y_. （3） xx dx 4 _. （4）设 0 2 84xx dx _. （5）已知向量组)2, 5 , 4, 0(,0 ,0 , 21 , 12 , 1 32,1 ），（），（t的秩为 2，则t=_. 二、选择题二、选择题 1.设 nxx xeex与时， tan , 0是同阶无穷小，则n为（） （A）1（B）2（C）3（D）4 (2)设在区间 , a b上( )0,( )0,( )0.f xfxfx 记 123 1 ( ),( )(), ( )( )(), 2 b a Sf x dx Sf b ba Sf af bba 则（） (A) 123 SSS(B) 231 SSS (C) 312 SSS(D) 213 SSS (3)已知函数 xfy 对一切x满足 则若,00,13 00 2 xxfexfxxf x x （） (A) 的极大值是xfxf 0 (B) 的极小值是xfxf 0 (C)）的拐点（是，xfyxfx)( 00 (D) 的拐点也不是曲线的极值，不是xfyxfxxfxf)(, 000 (4)设 2 sin ( )esin, x t x F xtdt 则( )F x（） (A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数 （5）.设 为则, 0, 0, , 0, 2 0,2 2 xfg xx xx xf xx xx xg （） （A） 0,2 0,2 2 xx xx （B） 0,2 0,2 2 xx xx - 2 - （C） 0,2 0,2 2 xx xx （D） 0,2 0,2 2 xx xx 三、（本题共三、（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分）分） （1）求极限. sin 114 lim 2 2 xx xxx x （2）设 52 arctan 2t etyy tx xyy由所确定，求. dx dy （3）计算.) 1(tan 22 dxxe x （4）求微分方程0223 222 dyxyxdxyxyx的通解。 （5）已知 xxxxxxx eexeyexeyexey 2 32 2 1 ,是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。 （6）已知EEABAA其中，且, 1 1 1 0 1 1 0 0 1 2 是三阶单位矩阵，求矩阵.B 四、（本题满分四、（本题满分 8 分）分） 取何值时，方程组 1554 2 12 321 321 321 xxx xxx xxx 无解，有惟一解或由无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。 五、（本题满分五、（本题满分 8 分）分） 设曲线L的极坐方程为 LrMrr为,上的任一点，LM为， 02 0 上一定点，若极径LOMOM与曲线、 0 所 围成的曲边扇形面积值等于MML, 0 上两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。 六、（本题满分六、（本题满分 8 分）分） 设函数 xf在闭区间0,1上连续，在开区间（0,1）内大于零，并满足 ，为常数ax a xfxf x 2 2 3 又曲线 0, 1yxxfy与所围成的图形S的面积值为 2，求函数 xfy ，并问a为何值时，图形xS绕轴旋转一周所得 的旋转体的体积最小。 七、（本题满分七、（本题满分 8 分）分） 已知函数 xf连续，且 xxdtxtfx x xf x 并讨论求，设,2lim 1 00 的连续性 八、（本题满分八、（本题满分 8 分）分） 就k的不同取值情况，确定方程kxxsin 2 在开区间），（ 2 , 0 内根的个数，并证明你的结论。 - 3 - 19961996 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试( (数学二数学二) ) 一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) （1）设 0 x 3 2 2 y,)(则 x exy_. （2） dxxx 2 1 1 2 1）（_. （3）微分方程的052 yyy通解为_. （4） ) 1 1ln(sin) 3 1ln(sinlim xx x x _. （5）由曲线22, 1 yx x xy及所围图形的面积S_. 二、选择题二、选择题 1.设 22 ) 1(0 xbxaxex x 是比时，高阶的无穷小，则（） （A）1, 2 1 ba（B）1, 1ba （C）1, 2 1 ba（D）1, 1ba (2)设函数 xf在区间），（内有定义，若当),(x时，恒有 0, 2 xxxf则必是 xf的（） (A)间断点(B)连续而不可导的点 (C)可导的点，且0)0( f (D)可导的点，且 00 f (3)设)(xf处处可导，则（） (A) xfxf xx lim,lim必有当(B) xfxf xx lim,lim必有当 (C) xfxf xx lim,lim必有当(D) xfxf xx lim,lim必有当 (4)在区间0cos 2 1 4 1 xxx）内，方程，（） (A)无实根(B)有且仅有一个实根 (C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根 （5）.设),()()()(,)(),(xgymmxfxgbaxgxf，由曲线为常数上连续，且在区间bxaxxfy及),(所围平 面图形绕直线my 旋转体体积为（） （A） b a dxxgxfxgxfm)()()()(2（B） b a dxxgxfxgxfm)()()()(2 （C） b a dxxgxfxgxfm)()()()(（D） b a dxxgxfxgxfm)()()()( 三、（本题共三、（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分）分） - 4 - （1）计算.1 21 0 2 dxe n x （2）求. sin1 x dx （3）设 ,)( ,)( 22 0 2 tfy duufx t 其中)(uf具有二阶导数，且., 0)( 2 2 dx yd uf求 （4）求函数0 1 1 )( x x x xf在点处带拉格朗日型余项n阶泰勒展开式。 （5）求微分方程 2 xyy 的通解。 （6）设有一正椭圆柱体，其地面的长、短轴分别为ba 22 、，用过此柱体底面的短轴与底面成）角（ 2 0 的平面 截此柱体，得以锲形体（如图），求此锲形体的体积.V 四、（本题满分四、（本题满分 8 分）分） 计算不定积分. )1 ( arctan 22 dx xx x 五、（本题满分五、（本题满分 8 分）分） 设函数 . 2 ,1 , 1 ,1612 , ,21 )( 3 2 x xx x x x x xf （1）写出)(xf的反函数)(xg的表达式； （2）)(xg是否由间断点、不可导点，若有，指出这些点。 - 5 - 六、（本题满分六、（本题满分 8 分）分） 设函数)(xyy 由方程1222 223 xxyyy所确定，试求)(xyy 的驻点，并判别它是否为极值点。 七、（本题满分七、（本题满分 8 分）分） 设)(xf在区间,ba上具有二阶导数，且, 0)()(, 0)()(bfafbfaf试证明： 存在. 0)(0)(, ffbaba及），使（）和（ 八、（本题满分八、（本题满分 8 分）分） 设)(xf为连续函数， （1）求初值问题为正的常数；其中的解axy y xfayy x ),( 0 ),( 0 （2）若).1 ()(0)()( ax e a k xyxkkxf 时，有，证明：当为常数 - 6 - 19951995 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试( (数学二数学二) ) 一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) （1）设 y x xy则, 1 sin)cos( 22 _. （2）微分方程的通解为xyy2 _. （3）曲线2 1 3 2 ty tx 处的切线方程为_. （4） ) 2 2 1 1 (lim 222 nnn n L nnnn n _. （5）由曲线 2 2x exy 的渐近方程为_. 二、选择题二、选择题 1.设)()(xfxxf）内有定义，）在（和为连续函数，且)(, 0)(xxf有间断点，则（） （A）必有间断点)(xf（B）必有间断点 2 )(x （C）必有间断点)(xf（D）必有间断点 ）（ )(xf x (2)曲线xxxxy与)2)(1(轴所围图形的面积可表示为（） (A) 2 0 )2)(1(dxxxx(B) 2 1 1 0 )2)(1()2)(1(dxxxxdxxxx (C) 2 1 1 0 )2)(1()2)(1(dxxxxdxxxx(D) 2 0 )2)(1(dxxxx (3)设)(xf在），（内可导，且对任意则时，都有当),()(, 212121 xfxfxxxx（） (A)0)(, x fx对任意(B)0)(,xfx对任意 (C)单调增加函数)( xf (D)单调增加函数)( xf (4)设函数) 1 ()0()0() 1 ()0() 1 (, 0)( 1 , 0)(ffffffxfxf 或、则上在的大小顺序是（） (A)0() 1 ()0() 1 (ffff(B)0()0() 1 () 1 (ffff (C)0() 1 ()0() 1 (ffff(D)0() 1 ()0() 1 (ffff （5）.设处可导，则必有在若使）（可导，0)(|),sin|1)()(xxFxxfxFxf（） （A）0)0(f（B）0)0( f （C）0)0()0( ff（D）0)0()0( ff - 7 - 三、（本题共三、（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分）分） （1）求. )cos1 ( 1 lim 0 xx xosx x （2）设函数)(xyy 由方程 yyf exe )( 确定，其中f具有二阶导数，且.1 2 2 dx yd f，求 （3）设 .)(),(, 2 ln) 1( 2 2 2 dxxxf x x xf求且 （4）设 , 0, 0 , 0, 1 arctan )( 2 x x x x xf试讨论)(x f 在0x处的连续性。 （5）求摆线.20 sin cos1 ）的弧长一拱（ t tty tx （6）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度, 00 vv t 已知阻力与速度成正比（比例常数为 1），问t为多少时此 质点的速度为 3 0 v ？并求到此时刻该质点所经过的路程。 四、（本题满分四、（本题满分 8 分）分） 求函数dtetxf t x 2 0 )2()(的最大值和最小值。 五、（本题满分五、（本题满分 8 分）分） 设xyxpyxey x )(是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件0 21 nx y的特解。 - 8 - 六、（本题满分六、（本题满分 8 分）分） 如图，设曲线L的方程为MPMTyxfy, 0),(又且 分别为该曲线在点）（ 00, y xM处的切线和法线，已知线段 MP的长度为)(),( 1 0000 0 2 3 2 0 xyyxyy y y 其中 ）（ 试推导出点），（P的坐标表达式。 七、（本题满分七、（本题满分 8 分）分） 设 00 .)(, sin )(dxxfdt t t xf x 计算 八、（本题满分八、（本题满分 8 分）分） 设.)(,)(, 1 )( lim 0 xxfxf x xf x 证明且 - 9 - 19941994 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试( (数学二数学二) ) 一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) （1）若 a xa x x ex xf ax ）上连续，则，在（ 0, , 0, 12sin )( 2 _. （2）设函数)(xyy 由参数方程 2 2 23 ),1 (1 dx yd tty tntx 所确定，则_. （3） x dttf dx d 3cos 0 )(_. （4） dxex x23 _. （5）微分方程0)4( 2 dyxxydx的通解为_. 二、选择题二、选择题 1.设2 )()1ln( lim 2 2 0 x bxaxx x 则（） （A） 2 5 , 1ba（B）2, 0ba （C） 2 5 , 0ba（D）2, 1ba (2)设处的在点则1)(, 1, 1, 3 2 )( 2 3 xxf xx xx xf（） (A)左、右导数都存在(B)左导数存在，但右导数不存在 (C)左导数不存在，但右导数存在(D) )左、右导数都不存在 (3)设)(xfy 是满足微分方程在则的解，且)(, 0)(0 0 sin xfxfeyy x （） (A)的某个领域内单调增加 0 x(B)的某个领域内单调减少 0 x (C)出取得极小值 0 x(D)处取得极大值 0 x (4)曲线 )2)(1( 1 arctan 2 2 1 xx xx ey x 的渐近线有（） (A)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条 （5）.设 2 2 432 2 2 2 2 434 2 ,)cossin(,)cos(sin,cos 1 sin dxxxxPdxxxNxdx x x M则有（） （A）MPN（B）NPM （C）PMN（D）NMP - 10 - 三、（本题共三、（本题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 25 分）分） （1）设.1),( 2 2 dx yd fyxfy，求阶导数不等于具有二阶导数，且其一其中 （2）计算.)1 ( 1 0 2 3 4 dxxx （3）计算). 2 4 (tanlim n n n （4）计算. sin22sin xx dx （5）如图，设曲线方程为 2 1 2 xy，梯形OABC的面积为D，曲边梯形OABC的面积为 1 D，为A的坐标为 . 2 3 , 00 , 1 D D aa证明），（ 四、（本题满分四、（本题满分 9 分）分） 设0x当时，方程1 1 2 x kx有且仅有一个解，求k的取值范围 五、（本题满分五、（本题满分 9 分）分） 设, 4 2 3 x x y （1）求函数的增减区间及极值； （2）求函数图像的凹凸区间及拐点； - 11 - （3）求其渐近线； （4）作出其图形。 六、（本题满分六、（本题满分 9 分）分） 求微分方程xyaysin 2 的通解，其中常数. 0a 七、（本题满分七、（本题满分 9 分）分） 设 0 1 0 .)()(10 1 , 0)(dxxfdxxfxf时，当上连续且递减，证明：在 八、（本题满分八、（本题满分 8 分）分） 求曲线3| 1|3 2 yxxy线轴围成的封闭图形绕直与旋转所得的旋转体体积。 - 12 - 19931993 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试( (数学二数学二) ) 一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) （1） xx x lnlim 0 _. （2）函数)(xyy 由方程 dx dy xyeyx x 所确定，则0)sin( 222 _. （3）设)(),0() 1 2()( 1 xFxdt t xF x 则函数的单调减少区间是_. （4） dx x x cos tan _. （5）已知曲线），过点（ 2 1 0)(xfy，且其上任一点）（yx,处的切线斜率为)(),1 ( 2 xfxxin则_. 二、选择题二、选择题 1.当是时，变量 xx x 1 sin 1 0 2 则（） （A）无穷小（B）无穷大 （C）有界的，但不是无穷小（D）有界的，但不是无穷大 (2)设)(1 , 1, 2 , 1, 1 | 1| )( 2 xfx x x x x xf处函数则在点 （） (A)不连续(B)连续，但不可导 (C)可导，但导数不连续(D) )可导，且导数连续 (3)已知）为（则）（设xFxdttfxF x xx xf x , )20()( , 21 , 1 , 10 , )( 1 2 （） (A) 21 , 10 , 3 1 3 xx xx (B) 21 , 10 , 3 1 3 1 3 xx xx (C) 21 , 1 10 , 3 1 3 xx xx (D) 21 , 1 10 , 3 1 3 1 3 xx xx (4)设常数），在（函数0ln)(, 0k e x xxfk内零点个数为（） (A)3(B)2(C)1(D)0 （5）.设）内，在（则）内，在（0)(, 0)(, 0)(0),()( xfxfxfxfxf则有（） （A）0)(, 0)( xfxf（B）0)(, 0)( xfxf （C）0)(, 0)( xfxf（D）0)(, 0)( xfxf 三、（本题共三、（本题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 25 分）分） - 13 - （1）设.),(sin 2 2 2 dx yd fxfy具有二阶导数，求其中 （2）求).100(lim 2 xxx x （3）求. 2cos1 4 0 dx x x （4）求 . 1 0 3dx x x （5）求微分方程0)cos2(1 2 dxxxydyx）（满足初始条件求.0 0 的特解 x y 四、（本题满分四、（本题满分 9 分）分） 设二阶常数系数线性微分方程求 x eyyay 的一个特解为求,)1 ( 2xx exey试确定常数，并 求该方程的通解。 五、（本题满分五、（本题满分 9 分）分） 设平面图形A由求体积。旋转一周所得旋转体的绕直线所确定，求图形与22 22 xAxyxyx 六、（本题满分六、（本题满分 9 分）分） 作半径为求r的球外切正圆锥，问此圆锥的高求h为何值时，其体积求V最小，并求出该最小值。 七、（本题满分七、（本题满分 6 分）分） 设., 0 xaa axaeax ）证明（常数 八、（本题满分八、（本题满分 8 分）分） 设求. )(max, 2 )(, 0)0(, 0)( 0 2 0 xfM Ma dxxffaxf ax a 其中证明：上连续，且在 - 14 - 19921992 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试( (数学二数学二) ) 一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) （1）设 0 3 00 ),1( ,)( t t dx dy ff efy tfx ，则）（可导，且其中 _. （2）函数 2 , 0cos2 在xxy上的最大值为_. （3）设 xe x x x cos 11 lim 2 0 _. （4） 1 ) 1(xx dx _. （5）由曲线 x xey 与直线exy 所围成的图形的面积S_. 二、选择题二、选择题 1.当的是时， 2 sin0 xxxx则（） （A）低阶无穷小（B）高阶无穷小 （C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小 (2)设则, 0, 0, )( 2 2 xxx xx xf（） (A) 0, 0, )( 2 2 xxx xx xf ）（ (B) 0, 0 )( 2 2 xx xxx xf ），（ (C) 0, 0, )( 2 2 xxx xx xf(D) ) 0, 0 )( 2 2 xx xxx xf ， (3)当的极限时，函数 1 1 2 1 1 1 x e x x x（） (A)等于 2(B)等于 0(C)等(D)不存在但不为 (4)设 2 0 2 ,)()( x xFdttfxFxf）等于（则）（连续，内零点个数为（） (A)( 4 xf(B)( 42 xfx(C)(2 4 xxf(D)(2 2 xxf （5）.若有一个原函数为则的导函数是)(,sin)(xfxxf则有（） （A）xsin1（B）xsin1（C）xcos1（D）xcos1 三、（本题共三、（本题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 25 分）分） （1）求.) 6 3 (lim 2 1 x x x x - 15 - （2）设函数.1)( 0 2 2 的值所确定，求由方程 x y y dx d xeyxyy （3）求. 1 2 3 dx x x （4）求.sin1 0 dxx （5）求微分方程.02) 3 的通解（xdydxxy 四、（本题满分四、（本题满分 9 分）分） 设 3 1 2 .)2(, 0, 0,1 )(dxxf xe xx xf x 求 五、（本题满分五、（本题满分 9 分）分） 求微分方程.23的通解 x xeyyy 六、（本题满分六、（本题满分 9 分）分） 计算曲线. 2 1 0)1ln( 2 的一段孤的长度上相应于xxy 七、（本题满分七、（本题满分 6 分）分） 求曲线最小。所围成的平面图形面积及直线使该曲线与切线的一条切线2, 0,xxllxy 八、（本题满分八、（本题满分 8 分）分） 已知.)()()(, 0)0(, 0)( 212121 成立恒有和试证：对任意的二正数xfxfxxfxxfxf - 16 - 19911991 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试( (数学二数学二) ) 一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) （1）设 dyy x 则),31ln(_. （2）曲线 2 x ey 的上凸间是_. （3）设 dx x x 1 2 ln _. （4）质点以速度)sin( 2 tt米每秒作直线运动，则从时刻 2 1 t秒到 2 t秒内质点所经过的路程等于_米. （5） x x x ex e 1 1 0 1 lim_. 二、选择题二、选择题 1.若曲线是常数，则）处相切，其中，在点（和baxyybaxxy,1112 32 （） （A）2, 0ba（B）3, 1ba （C）1, 3ba（D）1, 1ba (2)设函数 x xdttfxF xx xx xf 0 2 , 20 ,)( , 21 ,2 10 , )(则）（记 ， （） (A) 21 , 3 2 3 1 10 , 3 2 3 x x x x x xF）（(B) 21 , 2 2 6 7 10 , 3 2 3 x x x x x xF）（ (C) 21 , 2 2 3 10 , 3 22 3 x x x x x x xF）（(D) ) 21 , 2 2 10 , 3 2 3 x x x x x xF）（ (3)设函数的极大点，则是函数）内有定义，在（)(0)( 0 xfxxf（） (A)的驻点必是)( 0 xfx(B)的极小点必是)( 0 xfx (C)的极小点必是)( 0 xfx(D)()( 0 xfxfx都有对一切 (4)曲线 2 2 1 1 x x e e y （） (A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 - 17 - （5）.如图，x轴上有一线密度为常数，长度为l的细杆，有一质量为m的质点到杆右端的距离为a，已知引力系数 为k，则质点和细杆之间引力的大小为（） （A） 0 1 2 )( dx xa km （B） l dx xa km 0 2 )( （C） 0 2 2 )( 2 l dx xa km （D） 2 0 2 )( 2 l dx xa km 三、（本题共三、（本题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 25 分）分） （1）设., sin cos 2 2 dx yd tty ttx 求 （2）计算. )1 ( 4 1 xx dx （3）求. ) 1( sin lim 2 0 x x ex xx （4）求.sin 2 xdxx （5）求微分方程.1) 1 (的特解满足yxeyyx x 四、（本题满分四、（本题满分 9 分）分） 利用导数证明：当 x1 时，有不等式. 1ln )1ln( 成立 x x x x 五、（本题满分五、（本题满分 9 分）分） 求微分方程.cos 的通解xxyy - 18 - 六、（本题满分六、（本题满分 9 分）分） 曲线.)2(1体的体积轴旋转一周所成的旋转此平面图形绕轴围成一平面图形，求和）（yxxxy 七、（本题满分七、（本题满分 9 分）分） 如图，DA和分别是曲线 xx eyey 2 和上的点，DCAB和均垂直x轴，且 .112:的面积最大的横坐标，使梯形和，求点，：ABCDCBABDCAB 八、（本题满分八、（本题满分 8 分）分） 设函数 3 .)(), 0,)(,sin)()()(dxxfxxxfxxfxfxf计算且）内满足，在（ - 19 - 19901990 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试( (数学二数学二) ) 一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) （1）曲线 ty tx 3 3 sin cos 上对应于点 6 t点处的法线方程是_. （2）设y x ey x 则, 1 sin. 1 tan _. （3） dxxx 1 0 1_. （4）下列两个积分的大小关系是： 1 2 3 dxe x _. 1 2 3 dxex （5）设函数 )(, 1| , 0 1| , 1 )(xff x x xf则函数_. 二、选择题二、选择题 1.已知是常数，则其中babax x x x , 0 1 lim 2 （） （A）1, 1ba（B）1, 1ba （C）1, 1ba（D）1, 1ba (2)设函数等于）上连续，则，在（ dxxfdxf)()(（） (A)(xf(B)dxxf)( (C)Cxf)(D) )dxxf) ( (3)已知函数)(xf具有任意阶导数，且 2 )()(xfxf，则当n为大于 2 的正整数时，)(xf的n阶导数)(xf n）（ （） (A) 1 )( ! n xfn(B) 1 )( n xfn(C) n xf 2 )(D) n xfn 2 )( ! (4)设)(xf是连续函数，且）等于（，则）（xFdttfxF x e x )(（） (A)()(xfefe xx (B)()(xfefe xx (C)()(xfefe xx (D)()(xfefe xx （5）.设的是则出可导，在其中）（)(0, 0)0(, 0)0(0)(, 0),0( 0, )( xFxffxxf xf x x xf xF （） （A）连续点（B）第一类间断点 - 20 - （C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定 三、（本题共三、（本题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 25 分）分） （1）已知., 9)(lima ax ax x x 求常数 （2）求由方程.)()ln()(2dyxyyyxyxxy的微分所确定的函数 （3）求曲线.)0( 1 1 2 的拐点 x x y （4）计算. )1 ( ln 2dx x x （5）求微分方程0)ln(lndxxyxdyx满足条件.1的特解 ex y 四、（本题满分四、（本题满分 9 分）分） 在椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小（其中 0, 0ba）. 五、（本题满分五、（本题满分 9 分）分） 证明：当. 2 1 arctan, 0 x xx有不等式 六、（本题满分六、（本题满分 9 分）分） 设). 1 ()(, 0, 1 ln )( 1 x fxfxdt t t xf x 求其中 七、（本题满分七、（本题满分 9 分）分） 过点）（ 0 , 1P作抛物线2xy的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形，求此平面图绕x轴旋转一 周所围成旋转体的体积。 八、（本题满分八、（本题满分 8 分）分） 求微分方程 ax eyyy 44之通解，其中a为实数. - 21 - 1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) (1)xx x 2cotlim 0 = _. (2) 0 sintdtt=_. (3)曲线 x dttty 0 0 , 021在点处的切线方程是_. (4)0(),()2)(1()(fnxxxxxf则设=_. (5) 1 0 ,2xfdttfxxfxf则是连续函数，且设=_. (6) bax x x bx xbxa xf与处连续，则常数在设0 0, sin 0, 2 应满足的关系是_. (7)dyyxy则设,tan_. 二、计算题（每小题二、计算题（每小题 4 分，满分分，满分 20 分分.） (1)已知.,arcsinyey x 求 (2). ln2 xx dx 求 (3).)cossin2(lim 1 0 x x xx 求 (4) . ,arctan ,1ln 2 22 dx yd dx dy ty tx 及求已知 (5) 2 0 1 0 2 .2, 102, 2 1 2dxxfxdxxfff求及已知 三三、 选择题选择题(每小题每小题 3 分分,满分满分 18 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号把所选项前的字母填在题后的括号 内内) (1) x xyx 1 sin0 时，曲线设（） (A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线 (C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2)0432053 352 cbxaxxba，则方程若（） (A)无实根(B)有唯一实根(C)有三个不同实根(D)有五个不同实根 (3)曲线xxxy与) 22 (cos 轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为（） (A) 2 (B)(C) 2 2 (D) 2 - 22 - (4)设两函数 axxgxf都在及处取得极大值，则函数 处在axxgxfxF（） (A)必取极大值(B)必取极小值(C)不可能取极值(D)是否取极值不能确定 (5)微分方程1 x eyy的一个特解应具有形式（式中ba,为常数）（） (A)baex(B)baxex(C)bxaex(D)bxaxex (6)设axxf在)(的某个领域内有定义，则 axxf在处可导的一个冲分条件是（） (A)存在)() 1 (limaf h afh h (B)存在 h hafhaf h )()( lim 0 (C)存在 h hafhaf h 2 )()( lim 0 (D)存在 h hafaf h )()( lim 0 四四、(本题本题满分满分 6 分分) 求微分方程 .0101 2 的解满足yxeyxyx x 五五、(本题本题满分满分 7 分分) 设 x dttftxxxf 0 sin，其中f为连续函数，求 .xf 六六、(本题满分本题满分 7 分分) 证明方程 0 02cos1ln，在区间dxx e x x 内有且仅有两个不同实根. 七七、（本题满分、（本题满分 11 分）分） 对函数填写下表：, 1 2 x x y 单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值 凹 区间 凸 区间 拐点 渐近线 八八、（本题满分、（本题满分 10 分）分） 设抛物线cbxaxy 2 过原点，当, 010yx时，又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积为 3 1 ，试确定cba,使此图形绕x选择一周而成的旋转体的体积V最小. - 23 - 1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷 一、一、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分) (1)求幂级数 1 (3) 3 n n n x n 的收敛域. (2)设 2 ( )e , ( )1 x f xfxx 且( )0 x,求( )x及其定义域. (3)设为曲面 222 1xyz的外侧,计算曲面积分 333 .Ix dydzy dzdxz dxdy 二、填空题二、填空题(本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 12 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) (1)若 2 1 ( )lim (1), tx x f tt x 则( )f t= _. (2)设( )f x连续且 3 1 0 ( ), x f t dtx 则(7)f=_. (3)设周期为 2 的周期函数,它在区间( 1,1上定义为( )f x 2 2 x 10 01 x x ,则的傅里叶()Fourier级数在1x 处收 敛于_. (4)设4阶矩阵 234234 , ,A B 其中 234 , , 均为4维列向量,且已知行列式4,1,AB则 行列式AB= _. 三、选择题三、选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项前的字母把所选项前的字母 填在题后的括号内填在题后的括号内) (1)设( )f x可导且 0 1 (), 2 fx则0 x 时,( )f x在 0 x处的微分dy是（） (A)与x等价的无穷小(B)与x同阶的无穷小 (C)比x低阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小 (2)设( )yf x是方程240yyy的一个解且 00 ()0,()0,f xfx则函数( )f x在点 0 x处（） (A)取得极大值(B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少 (3)设空间区域 22222222 12 :,0,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyz则:（） - 24 - (A) 12 4xdvdv (B) 12 4ydvydv (C) 12 4zdvzdv (D) 12 4xyzdvxyzdv (4)设幂级数 1 (1)n n n ax 在1x 处收敛,则此级数在2x 处（） (A)条件收敛(B)绝对收敛 (C)发散(D)收敛性不能确定 (5)n维向量组 12 ,(3) s sn 线性无关的充要条件是（） (A)存在一组不全为零的数 12 , s k kk使 1122 0 ss kkk (B) 12 , s 中任意两个向量均线性无关 (C) 12 , s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D) 12 , s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 四、四、(本题满分本题满分 6 分分) （1）设( )( ), xy uyfxg yx 其中函数f、g具有二阶连续导数,求 22 2 . uu xy xx y （2）计算 . 2 sin 2 sin 24 2 2 1 dy y x dxdy y x dx x x x （3） 求椭球面 213 222 zxyx 上某点