飞行器流动仿真讲稿第2章-流体力学控制方程组

2013年6月,飞行器流动仿真,ComputationalFluidDynamicsTheBasicswithApplications,第2章流体力学控制方程组,第2.1节控制方程组的积分形式第2.2节控制方程组的微分形式第2.3节控制方程组的非守恒形式第2.4节守恒形式控制方程组的矩阵表达第2.5节Euler方程组第2.6节流体力学控制方程组的封闭与物理边界条件第2.7节不同形式控制方程组的区别与选用,第2章流体力学控制方程组,确定流体系统的三个量：质量、动量、能量；一个系统在所有时间的整个过程中，其质量、动量和能量都是守恒的，这三个定律已完全定义了系统的全部行为，而不需要任何其它的力学定律；基本假设：惯性直角坐标系内黏性可压缩牛顿流体三维非定常的流动；对流场中的控制体运用物理守恒定律（通过雷诺输运定理）可以得到控制流体流动的控制方程组Navier-Stokes方程组（有时单指动量方程），简称N-S方程组；如果不考虑流体的黏性，则称控制方程组为Euler方程组（有时单指动量方程）。,第2.1节控制方程组的积分形式,物理守恒定律：对确定的控制体，流体的质量、动量和能量都是守恒的；积分形式控制方程组是物理守恒定律在数学上的直接表达。,第2章流体力学控制方程组,一、连续方程质量守恒定律,连续方程对流体性质没有任何限制，适用于任何流体。,控制体内质量随时间的变化,当地变化率,穿越控制体表面（控制面）的净的质量通量,迁移变化率,第2.1节控制方程组的积分形式,二、动量方程动量守恒定律,控制体内动量随时间的变化,当地变化率,穿越控制体表面（控制面）的净的动量通量,迁移变化率,质量力,压强合力,黏性应力,表面力,第2.1节控制方程组的积分形式,二、动量方程动量守恒定律,动量方程的具体形式取决于黏性应力的表达式；对牛顿流体，黏性应力有三个正应力和六个对称的切应力,斯托克斯假设,分子黏性系数,第二黏性系数,第2.1节控制方程组的积分形式,三、能量方程热力学第一定律,控制体内总能量随时间的变化,当地变化率,穿越控制体表面（控制面）的净的总能量通量,迁移变化率,热传导热量,体积加热,压强功率,黏性应力功率,质量力功率,第2.1节控制方程组的积分形式,三、能量方程热力学第一定律,总能量,内能,除热传导外其它热源（如辐射、化学反应等）单位时间内传给流体的热量,普朗特数,热传导系数,试验确定的热扩散系数,第2.1节控制方程组的积分形式,第2章流体力学控制方程组,第2.2节控制方程组的微分形式,控制体大小、形状和空间位置均不随时间变化时间偏导数可以放在积分号内；对不存在间断（激波、接触间断、涡街或滑移线）的流动，利用散度定理将面积积分改写成体积积分得到全部用体积积分表示的控制方程组；全部用体积积分表示的控制方程组对任意控制体都成立方程两端被积函数必然相等的可得微分形式的控制方程组。,一、连续方程,第2.2节控制方程组的微分形式,展开,连续方程适用于任何流体。,二、动量方程,x方向：,y方向：,z方向：,第2.2节控制方程组的微分形式,二、动量方程,x方向：,y方向：,z方向：,第2.2节控制方程组的微分形式,代入黏性应力表达式，有,三、能量方程,右端散度项展开,第2.2节控制方程组的微分形式,三、能量方程,代入黏性应力表达式方程更复杂；可以改写成用内能e表示的形式,黏性项是流体克服黏性消耗的机械能不可逆地转化成热量耗散，是耗散项不可逆热源。,第2.2节控制方程组的微分形式,第2.3节控制方程组的非守恒形式,积分形式的控制方程组是以数学形式表达的物理守恒定律，本身就是守恒的；以上给出的微分形式的控制方程组都是直接从积分形式控制方程组推导出来的称为守恒形式控制方程组；直观上理解，所谓守恒形式控制方程组是指其变量均出现在偏微分符号之内；将守恒形式控制方程组各项展开，通过化简（包括使用连续方程）可得到非守恒形式控制方程组。,第2章流体力学控制方程组,一、连续方程,第2.3节控制方程组的非守恒形式,展开连续方程，写成,密度物质导数,时间全导数（时间变化率）,当地导数（当地变化率）,=,迁移导数（迁移变化率）,+,教材p28第2.3节,二、动量方程,与守恒形式动量方程相比，非守恒形式与其区别仅为方程左端不同运用连续方程的结果。,第2.3节控制方程组的非守恒形式,三、能量方程,第2.3节控制方程组的非守恒形式,三、能量方程,与守恒形式相比，非守恒形式仅方程左端不同运用连续方程的结果。,内能形式,第2.3节控制方程组的非守恒形式,第2.4节守恒形式控制方程组的矩阵表达,将守恒形式的控制方程组写成矩阵的形式，可以方便CFD的求解。,一、积分形式,将积分形式控制方程组包含的方程组合，有,式中，U为流动变量，F、G和H为通量，J为源项；和S分别为控制体积和控制面积；,第2章流体力学控制方程组,第2.4节守恒形式控制方程组的矩阵表达,一、积分形式,第2.4节守恒形式控制方程组的矩阵表达,二、微分形式,将微分形式控制方程组包含的方程组合，有,第2.4节守恒形式控制方程组的矩阵表达,第2.5节Euler方程组,欧拉方程组是描述无黏流的最高级或最完整的方程组，忽略了耗散、黏性输运、质量扩散以及热传导，其解是N-S方程组当黏性系数趋于零时的极限；欧拉方程组描述了N-S方程组的对流性质。在高雷诺数下，N-S方程组由对流控制，这也是大多数工程与自然界中的流动情形；将控制方程组中的黏性项和热传导项去掉，就可以得到Euler方程组。,第2章流体力学控制方程组,一、守恒形式,第2.5节Euler方程组,矩阵形式,第2.5节Euler方程组,二、非守恒形式,第2.5节Euler方程组,第2.6节流体力学控制方程组的封闭与物理边界条件,观察以上方程组可以发现，未知量共有七个，即、u、v、w、e、p和T；方程组只有五个方程方程组不封闭；,一、方程组的封闭,第2章流体力学控制方程组,第2.6节流体力学控制方程组的封闭与物理边界条件,一、方程组的封闭,必须补充热状态方程和量热状态方程使方程组封闭,热状态方程,量热状态方程,理想气体,关于流体性质和k的定义,通常随温度变化,Sutherland公式,一、方程组的封闭,关于热源（电的、机械的、或化学的）的定义；对于湍流流动，使用雷诺平均方程组计算时，还需要补充湍流模型；对于含化学反应的流动，应补充反应机理与化学反应方程以及组分方程；对两相和多相流动，应补充固相和液相的运动方程以及相间作用。,第2.6节流体力学控制方程组的封闭与物理边界条件,二、物理边界条件,流动之所以千变万化，是因为边界条件（有时也包括初始条件）不同，而控制流体不同流动的方程组都是相同的；获得流体与物体之间的相互作用是CFD的主要目的之一最重要的物理边界条件是物体壁面（固壁）上的条件；其他边界，如管流进出口边界、绕流问题的周围边界等都是由计算需要划定的，在这些边界上需要根据具体的流动问题给出合适的边界条件。,第2.6节流体力学控制方程组的封闭与物理边界条件,二、物理边界条件,黏性流体为无滑移边界条件，即物面上的速度,1.黏性流的固壁条件,物面上的温度可以有三种形式。,最简单的情况是给定物面温度Tw，则物面条件为,与物面直接接触的流体的温度,第2.6节流体力学控制方程组的封闭与物理边界条件,1.黏性流的固壁条件,给定流体与物面之间热流密度。根据傅里叶导热定律，在物面上有,物面法向,物面温度以梯度形式给出,求解材料内导热,求解流动,材料导热计算与流场计算耦合,流-固耦合问题,第2.6节流体力学控制方程组的封闭与物理边界条件,1.黏性流的固壁条件,绝热壁面：流体与物面之间没有热量传递，即,物面上的传热达到平衡,固壁温度Taw称为绝热壁面温度,流场解的一部分,物面上的压强和密度：,流场解的一部分,第2.6节流体力学控制方程组的封闭与物理边界条件,2.无黏流的固壁条件,无渗透物面上唯一的边界条件是要求流体的流动速度必须与物面相切，称为滑移边界条件，即,物面上的密度、压强、温度等流动参数则是解的一部分。,二、物理边界条件,第2.6节流体力学控制方程组的封闭与物理边界条件,第2.7节不同形式控制方程组的区别与选用,积分形式是物理守恒定律应用于流体流动时的数学表示，是最基本的控制方程组；积分方程组不要求流动参数连续，对包含激波等间断的流动仍然适用。当确信流场中有激波时，最好使用积分形式的控制方程组；使用积分形式的控制方程组计算时，采用有限体积离散方法。,一、积分与微分形式控制方程组,第2章流体力学控制方程组,第2.7节不同形式控制方程组的区别与选用,二、流动变量选择与守恒形式控制方程组的意义,观察守恒和非守恒形式控制方程组，可以发现两者使用的流动变量有区别；守恒形式控制方程组使用守恒变量，即（2-94）式定义定义的U，包括：,守恒变量,密度,x动量,y动量,z动量,总能量,二、流动变量选择与守恒形式控制方程组的意义,非守恒形式控制方程组使用原始变量,原始变量,密度,x速度,y速度,z速度,压强,原始变量更自然方便，在实验中可以直接测量或控制。在计算中，用这样的变量赋边界条件较直接和方便。,非守恒控制方程组是从守恒控制方程组严格推导出来的，两者在数学上完全等价理论流体力学从未注意过，区分两者的差别完全是从CFD开始的；,第2.7节不同形式控制方程组的区别与选用,二、流动变量选择与守恒形式控制方程组的意义,CFD之所以要区分控制方程组形式的守恒与否，是因为两者在数值计算中不等价，并且守恒方程组对计算而言具有特别的意义：,守恒方程组是物理守恒定律的自然表达，在数学上清晰表明了守恒变量的守恒性质，并在数值离散时仍能保持这种守恒性质。而非守恒方程组不是物理守恒定律的直接表达，无法得到守恒离散离散后不能严格守恒，只有当离散点无穷多时才趋向于守恒；,第2.7节不同形式控制方程组的区别与选用,二、流动变量选择与守恒形式控制方程组的意义,正是这种差别，在计算包含激波等间断的流场时，守恒方程通常能自动捕捉到光滑、稳定的激波激波捕捉法；而非守恒方程捕捉到的激波上游、下游或上下游都有振荡（抖动），激波也可能出现在错误的位置上，甚至计算不稳定。原因是，跨过激波时守恒变量连续，而原始变量则存在着间断（参见教材p63-p64以静止激波为例给出的解释）。解决的方法