第二章+控制系统的数学模型课件

自动控制系统的基本要求的理解：1、稳定性2、准确性3、快速性,温故知新,第二章系统的数学模型MathematicalModelsofsystems,主要内容物理系统的常微分方程描述物理系统的线性近似Laplace变换线性系统的传递函数系统的框图模型描述与信号流图模型描述Matlab系统仿真实例分析和设计,教学目标深刻理解物理系统的动态行为及其常微分方程描述能够通过Taylor展开实现系统的线性近似掌握Laplace变换并用之获取传递函数熟悉系统框图模型与信号流图模型及在控制系统分析中的作用充分认识建模在系统分析与设计中的重要作用,参阅教材：第2章,背景与问题的提出,自动控制系统是一种严格定量的动态运行的信息系统。,定量：要求用数学方法描述系统及系统中各环节变量间的内在关系及其变化规律，即数学模型。,动态：控制系统总是在平衡态（也称静态）、打破平衡态、再到平衡态往复运行，动态运行是绝对的。自动控制的本质就是设法让系统以最佳的方式、最快的速度、最好的精度运行到平衡态。因此描述系统行为的方程通常是微分方程。,本章需要解决的主要问题是：如何建立物理系统的数学模型？如何获取具体的控制系统的数学模型？数学模型有哪些不同的形式？,确定系统及其各元件；作出必要的假设并推导数学模型；写出描述该模型的微分方程；解方程求出需要的输出变量；检查得到的解和作出的假设。,研究系统动态特性的一般步骤：,机理分析法列写微分方程的一般步骤：,根据元件在控制系统中的作用，确定其输入和输出变量；分析元件机理，列写机理方程；消去中间变量，得到输入量与输出量之间的微分方程；标准形式。,建模方法：机理分析法实验法（系统辨识法）,数学模型的形式：,时间域：微分方程(连续系统)差分方程（离散系统）状态方程（多变量系统）复数域：传递函数（或脉冲传递函数（离散）结构图、信号流图（图形形式）频率域：频率特性（或描述函数（非线性）,数学模型的建立过程,建立数学模型的目的：分析系统的性能由数学模型求取系统性能的途径如下：,通过型变量（through-variable）和跨越型变量（acrossvariable）。,物理系统两个基本定律：能量守恒和物质不灭（物质流的连续性）是建立物理系统数学模型的基础。,对不同的物理系统而言，根据基本定律，利用通过型变量和跨越型变量之间的关系建立系统的数学模型。,在不考虑弹簧质量时,力矩T为通过型变量,角速度差为跨越型变量,Part2.1物理系统的微分方程,Part2.1物理系统的微分方程,例1列写R-L-C串联电路的微分方程,解：设输入ur，输出uc,KVL：,标准形式：,例2列写弹簧阻尼器系统的微分方程,解：设输入xi，输出xo取辅助点A和B，在不计重力时，力平衡方程,消去中间变量xm，,整理得标准形式：,Part2.1物理系统的微分方程,方程1：电枢回路电压KVL：,例3电枢控制式直流电动机,解：实质是把输入电能转换为机械能,方程2：电机轴上转矩平衡：,消去中间变量得标准形式：,Part2.1物理系统的微分方程,从例13得出结论：1）微分方程的系数取决于系统的结构参数2）阶次等于独立储能元件的个数3）物理系统的相似性：不同物理性质元件组成系统，可以具有相同的数学模型，即：数学模型摆脱了物理原型，可以描述这些系统的共同运动规律。,例1和3的微分方程整理后，整理后得到运动方程式：,Part2.1物理系统的微分方程,一、物理系统的固有非线性,物理系统运动行为具有固有的非线性，其运动方程必然为非线性方程。,弹簧的弹力f与位移y的关系是非线性的。,Part2.2物理系统的线性近似,二、线性近似的必要性和合理性,非线性系统分析设计的困境：计算复杂、理论不成熟。,工程上绝大部分自动控制系统在物理系统的某个平衡点附近小范围工作，为线性近似提供合理性基础。,弹簧总是在弹性范围内的某一点附近工作。,Part2.2物理系统的线性近似,三、线性系统的基本特征,线性系统满足叠加性和齐次性,四、线性近似的方法,对物理系统的非线性特性方程在平衡点（工作点）附近进行Taylor展开。,Part2.2物理系统的线性近似,1、单变量函数泰勒级数法：,函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开为：,略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：,注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。注：y=f(x0)称为系统的静态方程,Part2.2物理系统的线性近似-泰勒级数法,2、多变量函数泰勒级数法：,泰勒级数展开：,Part2.2物理系统的线性近似-泰勒级数法,例2-4试把非线性方程z=xy在区域5x7、10y12上线性化。求用线性化方程来计算当x=5，y=10时z值所产生的误差。,解：1）研究的区域为：5x7、10y12，2）故选择工作点：3）在工作点泰勒级数展开，并忽略其高阶项，则：有：z-z0=K1(x-x0)+K2(y-y0)，其中：,x0=6，y0=11，,z0=611=66,Part2.2物理系统的线性近似-泰勒级数法,故线性化的方程：z-z0=11(x-x0)+6(y-y0)z=11x+6y-664）求当x=5,y=10时的误差：z的精确值为：由线性化方程求得的z值为：z=11x+6y-66=55+60-66=49，误差为：,z=xy=510=50，,Part2.2物理系统的线性近似-泰勒级数法,Part2.3Laplacce变换及其反变换,拉氏变换的定义拉氏变换的计算拉氏变换的主要运算定理拉氏反变换利用拉氏变换求解微分方程,参阅教材，结合“信号与系统”课程自学与复习,设函数f(t)满足：1）f(t)实函数；2）当t0时，f(t)=0；3）当t0时，f(t)的积分在s的某一域内收敛,Part2.3.1拉氏变换的定义,拉氏反变换：,指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数,Part2.3.2拉氏变换的计算,线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理,Part2.3.3拉氏变换的主要运算定理,原函数的高阶导数像函数中s的高次代数式,多重微分（请记住）,当初始条件：时，则：,Part2.3.3拉氏变换的主要运算定理,终值定理,若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)的终值为：,Part2.3.3拉氏变换的主要运算定理,初值定理,若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)的初值为：,条件：分母多项式能分解成因式,Part2.3.4拉氏反变换方法,1、反演公式：,2、查表法（分解部分分式法）,解.,查表法得：,Part2.3.4拉氏反变换方法,部分分式：Matlab命令：r,p,k=residue(num,den),将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程；,解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；,应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。,如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。,Part2.3.5线性定常微分方程的求解,微分方程求解方法：,Matlab软件求解微分方程解析解的命令dsolve()（1）求通解的命令格式：dsolve(微分方程，自变量)（2）求特解的命令格式：dsolve(微分方程,初始条件,自变量)注：微分方程在输入时，一阶导数y应输入Dy，y”应输入D2y等，D应大写。,Matlab拉式变换命令laplace(),Matlab反拉式变换命令ilaplace(),Part2.3.5线性定常微分方程的求解,例：求解线性定常微分方程：初始条件：,解：1）方程两边拉氏变换：代入初始条件：2）部分分式展开：3）拉氏反变换：,Part2.3.5线性定常微分方程的求解,部分分式展开：,Part2.3.5线性定常微分方程的求解,Matlab软件求解微分方程解析解的命令dsolve(),例：求解线性定常微分方程：初始条件：,运动模态：微分方程通解由特征根决定，函数e-3t和e-2t是模态,Part2.3.5线性定常微分方程的求解,Matlab拉式变换命令laplace(),Matlab反拉式变换命令ilaplace(),Part2.3.5线性定常微分方程的求解,时域数学模型的理解：1、数学模型2、微分方程的标准形式3、解常系数微分方程的方法,温故知新,微分方程：是在时间域描述系统动态性能的数学模型,传递函数：是在复数域描述系统动态性能的数学模型。不仅可以表征系统的动态性能指标，而且可以用来研究系统的参数变化对系统性能的影响。,Part2.4线性系统的传递函数,线性系统的传递函数（transferfunction）：系统输出变量的Laplace变换与输入变量的Laplace变换之比，其中所有初始条件均假定为零。适用范围：定常线性系统，具有一个时变参数的系统。传递函数的意义：系统行为特性的一个输入输出描述；不包含系统内部结构及其内部行为特性的任何信息。,Part2.4.1线性系统传递函数的定义,微分方程一般形式：,拉氏变换：,传递函数：,1）有理分式的形式：,其中：分母D(s)称为系统特征多项式，D(s)=0称为系统的特征方程，其根称为特征根或极点；分母的阶次也即系统的阶次，对于实际系统来说，mn。,2）时间常数形式：尾一多项式，用于时域和频域分析,其中：K称为增益，称为时间常数是积分个数,Part2.4.2传递函数的表示,3）零极点形式：首一多项式，用于根轨迹分析,其中：zi(i=1,2,m)，称为传递函数的零点；,pj(j=1,2,n)，称为传递函数的极点，也是系统的特征根；,K*，称为系统的根轨迹增益。,系统零点极点决定了系统的特性，以及零极点分布图,Part2.4.2传递函数的表示,将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。零点用“o”表示极点用“”表示,零极点分布图:,例如：,Matlab命令：零极点分布图num=12;den=1586;pzmap(num,den),Part2.4.2传递函数的表示,Part2.4.2传递函数的表示,传递函数模型：命令sys=tf(num,den)零极点模型：命令sys=zpk(z,p,k)零极点模型转换成传递函数模型：num,den=zp2tf(z,p,k)传递函数模型转换成零极点模型：z,p,k=tf2zp(num,den),只取决于系统结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息；,只适合于单输入单输出线性定常系统系统的描述；,传递函数是s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质，mn且所有系数为实数；,传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)；,传递函数与微分方程具有相通性，如果将置换则,G(s)与s平面上的零极点分布图相对应。,Part2.4.3传递函数的性质,Part2.4.4传递函数的求取,1、根据定义：,2、由微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得,4、根据结构图化简,5、根据信号流图用梅森公式,3、由脉冲响应进行拉氏变换得：,例1求R-L-C串联电路的传递函数,解：,对微分方程进行零初始条件的拉氏变换：,Part2.4.4传递函数的求取,整理得传递函数：,列写出传递函数：,例2.低通滤波电路,这是一个低通滤波放大器，也称为一阶惯性环节（系统）。,Part2.4.4传递函数的求取,例3：已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：试求：（1）系统的传递函数；（2）系统的增益；（3）系统的特征根及相应的模态；（4）画出对应的零极点图；（5）求系统的单位脉冲响应；（6）求系统微分方程；（7）当c(0)=-1,c(0)=0;r(t)=1(t)时，求系统的响应。,Part2.4.4传递函数的求取,解：（1）求传递函数G(s),（2）求系统的增益K，把传递函数写成尾一形式：,Part2.4.4传递函数的求取,（3）求系统的特征根及相应的模态：,（4）画出对应的零极点分布图：,（5）求系统的单位脉冲响应g(t)：,Part2.4.4传递函数的求取,（6）求系统的微分方程：,（7）当c(0)=-1,c(0)=0;r(t)=1(t)时，求系统的响应：,Part2.4.4传递函数的求取,部分分式分解：,（7）当c(0)=-1,c(0)=0;r(t)=1(t)时，求系统的响应：,拉式反变换：,传递函数的局限性：（1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；（2）适合于描述单输入/单输出系统；（3）只能用于表示线性定常系统。,Part2.4.4传递函数的求取,请记住各典型环节的传递函数：,Part2.4.5典型环节及其传递函数,1、放大环节/比例环节（P）：,特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化,实例：运算放大器、电位器、杠杆机构、弹簧、齿轮减速器等,实验模拟：比例环节,单位阶跃响应,Part2.4.5典型环节及其传递函数,比例（P）-阶跃响应曲线,T环节的时间常数,2、惯性环节：,特点：输出量延缓地反应输入量的变化规律,实验模拟：惯性环节,单位阶跃响应,Part2.4.5典型环节及其传递函数,惯性环节-阶跃响应曲线,3、积分环节（I）：,特点：理想积分环节其输出量是输入量在时间上的积分,实例：电容，积分运算放大器,实验模拟：积分环节,单位阶跃响应,Part2.4.5典型环节及其传递函数,积分（I）-阶跃响应曲线,4、微分环节（D）：,特点：理想微分环节其输出量是输入量对时间的微分,理想微分的物理模型：,实际微分的物理模型：,可看作微分环节与惯性环节串联，当T2非常小时，可近似看作理想微分环节,Part2.4.5典型环节及其传递函数,运动方程式：,传递函数：,阻尼比,其中：T振荡时间常数,5、振荡环节：,特点：是二阶系统的特例，含有两个储能元件，在运动过程中能量相互交换，使环节的输出带有振荡的特性,实例：机械平移系统RLC串联网络,Part2.4.5典型环节及其传递函数,运动方程式：,传递函数：,T环节的时间常数，环节的阻尼比,6、二阶微分环节：,实例：RLC并联网络,7、延滞环节：,Part2.4.5典型环节及其传递函数,比例积分环节（PI）：,实验模拟：比例积分环节,Part2.4.5典型环节及其传递函数,比例积分（PI）-阶跃响应曲线,节点u：又电流相等：,比例微分环节（PD）：,实验模拟：比例微分环节,Part2.4.5典型环节及其传递函数,比例微分环节（PD）：,比例微分（PD）-阶跃响应曲线,节点u：又电流相等：,比例积分微分（PID）,实验模拟：比例微分环节,Part2.4.5典型环节及其传递函数,比例积分微分（PID）-阶跃响应曲线,复数域数学模型的理解：1、传递函数的定义2、传递函数的性质3、典型环节的传递函数:比例、积分、微分惯性、一阶微分振荡、二阶微分,温故知新,控制系统着眼于对特定变量的控制，建立变量间的数学关系是控制系统分析设计的基础。,微分方程和传递函数正是表示一个系统或环节变量间关系的。但是，对复杂系统（由多个环节组成）或要了解系统内部不同变量间关系时，直接列写微分方程或求取传递函数困难较大。有必要借助系统框图模型。,控制系统框图模型是一种表示系统变量间相互关系的图形，由有向线段、方框、传递函数、信号引出和综合点等元素组成。,Part2.5控制系统的框图模型,Part2.5.1系统框图模型的定义、组成,1、信号线带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。,2、引出点/测量点表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一位置引出的信号，其性质、大小完全一样。,3、方框(环节)方框表示对信号进行数学变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。,4、比较点（综合点）表示对两个以上信号进行加减运算。用符号“”（“”）及相应的信号箭头表示。箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号,Part2.5.1系统框图模型的定义、组成,控制系统框图模型（简称框图，也称结构图）既表示了变量间的传递关系和传递函数，也表示了系统中信号的流向和连接关系。,Part2.5.1系统框图模型的定义、组成,建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输入/输出）；,对微分方程取拉氏变换，绘制各部件的方框图；,按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。,Part2.5.2系统结构图的绘制,1、依据系统微分方程组绘制,2、工作原理图方框图结构图,例1：绘制右图无源网络的结构图,解：设电阻R1两端的电压为u1,+u1-,1、依据系统微分方程组绘制,例1：绘制右图无源网络的结构图,例1：绘制右图无源网络的结构图,将上面的各环节（元件）的部分综合有：,注：系统的结构图不唯一,例1：绘制右图无源网络的结构图,Part2.5.3系统结构图的化简,两个系统的串联：命令sys=series(sys1,sys2),两个系统的并联：命令sys=parallel(sys1,sys2),Part2.5.3系统结构图的化简,反馈通道传递函数：,前向通道传递函数：,反馈比较点：,消去B(s)和E(s)得：,闭环传递函数：,两个系统的反馈连接：命令sys=feedback(sys1,sys2,sign),Part2.5.3系统结构图的化简,基于比较点的简化,基于引出点的简化,注意：尽量向同类移动，且不要交换位置。,向同类移动,G1,例2化简求传递函数：,引出点后移例3,a,b,请你写出结果,行吗？,比较点后移例3,比较点前移、引出点后移,1）作用分解,2）比较点后移,练习：,）一个负反馈，一个正反馈化简；）前的比较点后移并与后的比较点合并；,结构图的简化理解：环节串联的简化？并联的简化？反馈连接，闭环传递函数？比较点的移动：比较点前移？引出点后移？引出点的移动：比较点后移？引出点前移？,温故知新,要点介绍,1、掌握信号流图的定义和组成；2、熟练掌握利用梅逊公式求系统传递函数的方法；,Part2.6控制系统的信号流图,框图模型可以直观、完整地表示控制系统受控变量与中间变量、输入变量之间的关系，但对关联性复杂的系统而言，框图化简是一项繁琐甚至是难以完成的任务。,Mason提出另一种表示变量间相互关系的图形模型：信号流图（signal-flowgraph）,信号流图定义,信号流图是由节点（node）及连接节点的有向线段构成的，表示一组线性关系的图形。其组成元素有：节点-信号（变量），支路-信号传递关系的有向线段。,Part2.6控制系统的信号流图模型,Part2.6.1信号流图的组成,1.几个重要的术语,支路,连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器，信号在支路上沿箭头单向传递。,通路,沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。,节点,表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。,输入节点,只有输出的节点，代表系统的输入变量,输出节点,只有输入的节点，代表系统的输出变量,混合节点,既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可变为输出节点。,前向通路,从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。,回路,起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用Lk表示。,不接触回路,相互间没有任何公共节点的回路,Part2.6.1信号流图的组成,2.信号流图的运算,加法（并联）,乘法（串联）,分配法（消去混合节点）,自回路简化,1、根据微分方程绘制信号流图，不计初始条件。,Part2.6.2信号流图的绘制,1、根据微分方程绘制信号流图，不计初始条件。,注意：初始条件当作独立的输入变量对待，变量相减的情况将负号表示到支路增益上,初始条件,初始条件,1、根据微分方程绘制信号流图，不计初始条件。,信号流图与结构图有类似的布局，等效对应关系如下所示：,2、根据结构图绘制信号流图,注意：方框中的传递函数转化为支路增益；结构图中比较点之前没有引出点时，只需在比较点后设置一个节点便可；比较点之前有引出点时，就需在比较点和引出点各设置一个节点，表示两个变量。,例：试绘制下图所示系统结构图对应的信号流图,123456,解：1）选取节点如图所示；,2）支路中的传递函数即为支路增益；,3）注意符号并整理得到系统信号流图如下：,123456,式中：T系统总传递函数；n前向通路总数；Pk第k条前向通路的传递函数（通路增益）；流图特征式；,梅逊公式：,所有单独回路的传递函数之和,-每两个互不接触回路传递函数乘积之和,-每三个互不接触回路传递函数乘积之和,-与第k条前向通路对应的余因子式，等于流图特征式中去掉与第k条前向通路接触的所有回路的回路增益后的余项式。,Part2.6.3信号流图梅逊公式P57,四个单独回路，两个回路互不接触有一组,e,1,a,b,c,d,f,g,h,C(s),R(s),C(s),R(s),=,1,+,+,前向通路两条,例1,单独回路有4个：,例1,两个互不接触的回路有4组：,三个互不接触的回路有1组：,流图特征式：,续例1：,前向通道有4条：,由梅逊公式写传递函数：,为了便于系统分析与设计，经常关注系统在不同输入下的响应及其误差变化。系统输入包括给定输入和干扰输入。需要获得相应的传递函数。,Part2.7闭环系统的传递函数,此时假设扰动量N(s)=0，可得,给定输入信号R(S)作用下的闭环传递函数,深度负反馈,单位负反馈,一、系统输出传递函数,假设R(s)=0,！扰动的影响将被抑制,扰动量N(S)作用：,控制量与扰动量同时作用,！与前向通道传递函数无关,以误差信号E(s)为输出量，以输入信号R(s)或扰动量N(s)为输入量的闭环传递函数。,二、系统误差传递函数,输入量R(S)单独作用,假设N(s)=