运筹学第八章--图与网络分析-胡运权PPT课件

运筹学,赵明霞山西大学经济与管理学院,2,第八章图与网络分析,图与网络的基本概念树最短路问题最大流问题最小费用最大流问题,2020/6/7,3,柯尼斯堡七桥问题,欧拉回路：经过每边且仅一次厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次货郎担问题、快递送货问题,4,第一节图与网络的基本概念,图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来表示，图8.1就是一个表示这种关系的图。,5,描述对象之间关系，研究特定关系之间的内在规律，图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。,6,如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。,无向图：由点和边构成的图，记作G=（V，E）。有向图：由点和弧构成的图，记作D=（V，A）。无向图是有向图的基础图G(D)有限图无限图,2020/6/7,.-线性规划,7,G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi,vj点相邻(同一条边)：v1,v3边相邻(同一个端点)：e2,e3环：e1多重边：e4,e5,8,简单图：无环无多重边多重图：多重边,2020/6/7,.-线性规划,9,完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图,2020/6/7,.-线性规划,10,次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6,悬挂边d(v5)=0，孤立点,出次：d+(vi)入次：d-(vi)d(vi)=d+(vi)+d-(vi),定理1顶点次数总和等于边数的两倍。定理2次为奇数的顶点必为偶数个。,11,若,则G是G的子图，G是G的母图若,则G是G的真子图，若,则G是G的支撑（生成）图。,链：点边交替序列闭链：v1v2v3v4v1开链：v1v2v3边不同，简单链：v3v4v5v1v6v5边不同且结点不同，初等链：v1v2v3v4v5v6圈：闭链，且至少有3个不同结点，v2v3v4v2初等圈：初等闭链，v1v2v3v4v1,12,路：有向图：弧的方向与链的方向一致开路:v1v2v4v5回路：第一个点和最后一个点相同。v1v2v4v5v1,13,连通图：若任何两个不同的点之间，至少存在一条链，则G为连通图。赋权图：对一个图的每一条边（弧）(vi,vj)，相应地有一个数wij，则称图G为赋权图，wij称为边(vi,vj)上的权。网络：赋权连通图无向图：开链即开路，闭链即回路有向图：弧的方向与链的方向一致。,2020/6/7,.-线性规划,14,2020/6/7,15,柯尼斯堡七桥问题,欧拉回路：经过每边且仅一次厄尼斯堡七桥问题、邮路问题充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次,16,第二节树,树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。,图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树，(c)因为不连通所以也不是树。,树的基本性质任意两点间有且仅有一条链不相邻两点间添加一条边，有且仅有一个圈任意去掉一条边，得不连通图.存在悬挂点m=n-1,17,18,生成（支撑）树,若,则G是G的支撑（生成）树。,19,1、破圈算法步骤：（1）在给定的赋权的连通图上任找一个圈。（2）在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。（3）如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图即为最小树，否则返回第1步。,最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一个生成树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。,20,例8.1,2、避圈算法步骤：（1）任找一个点S，其余各点就是。（2）在连接S与的所有边中，选择权数最小的边(i,k)；（3）将最小边(i,k)的另一个端点移入S；（4）若则停止，否则返回（2）。,21,22,例8.1,有向树：不考虑方向时是树根树（外向树）：只有一个顶点入次为0，其余顶点入次为1根：入次为0的顶点叶：出次为0的顶点分支点层次：根到顶点的长度,2020/6/7,.-线性规划,23,m叉树：每个顶点的出次小于等于m完全m叉树：每个顶点的出次等于m或0,2020/6/7,.-线性规划,24,2020/6/7,.-线性规划,25,霍夫曼树：最优二叉树,26,第三节最短路问题,最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs(起点)和Vt（终点）找到一条从Vs到Vt的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，这条路被称之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总和被称为从Vs到Vt的距离。,27,适用于：每条弧（边）的赋权数wij0优点：能够求出某点至各点的最短路基本思想：T(j)（tentativelabel）从始点s到j点的最短路长上界，称为试探性标号;P(j)（permanentlabel）从始点s到j点的最短路长，称为永久性标号.,一、狄氏标号法（Dijkstra算法）,例8-9,2020/6/7,.-线性规划,28,基本步骤标号T(j)P(j),2020/6/7,.-线性规划,29,2020/6/7,30,最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。,2020/6/7,.-线性规划,31,网络中心（r点）,32,例8-11某连锁企业有6个销售点，问仓库应建在哪个地点，可使各销售点离仓库较近？,2020/6/7,.-线性规划,33,各点间的最短距离,34,二、Floyd算法,2020/6/7,35,例8-12求任意两点间的最短路,2020/6/7,36,2020/6/7,37,2020/6/7,.-线性规划,38,容量网络(网络)：N=(V,A,c)或N=(V,A)，最大流量cij=c(i,j)网络流：可行流：s发点，t收点可行流流量：,39,第四节最大流问题,割(截)集：S中各点联通，S中各点联通始点在S，终点在S的集合，称为一个分离发点s和收点t的割集，（S,S）割集容量：最小割：最小的割集容量,40,定理8-10：网络任一可行流的流量恒不超过任一割集的容量。定理8-11：最大流=最小割,2020/6/7,.-线性规划,41,增广（容）链：为从发点s到收点t的一条链，且前向弧均非饱和，后向弧均非零流。最大流：流量最大的可行流。可行流为最大流的充要条件：不存在从s到t的增广链,2020/6/7,.-线性规划,42,（一）线性(整数)规划法,例8-13,2020/6/7,44,（二）网络分析法增广链调整法,45,FordFulkerson标号法基本思想：先确定一个初始可行流，再找增容链，调整流量，直到找不到增容链为止。双标号（i,b(j)），b(j)当前最大可调容量运算步骤：发点s标号（0,）；给所有相邻点标号正向弧且，则j标号（i,b(j)），则j不标号逆向弧且，则j标号（-i,b(j)）检查标号调整量,47,例8-13,（1）计算机编程,48,（2）手算,f*=11,2020/6/7,49,2020/6/7,50,最小费用最大流问题：给了一个带收发点的网络N=(V,A,c,d)，对每一条弧（i，j），除了给出容量cij外，还给出了这条弧的单位流量的费用dij，要求一个最大流f，并使得总运送费用最小。,51,先求出此网络图中的最大流量f。在最大流量f的所有解中，找出一个最小费用的解,（一）线性(整数)规划法,第五节最小费用最大流问题,2020/6/7,52,例8-15,第一步,第二步,53,对偶网络法：N=(V,A)，N=(V,A,w)xij=0,0xijcij