第2章-控制系统数学模型

Chapter2:MathematicalModelingofAutomaticControlSystems,控制系统数学模型,1,本章主要内容,1.控制系统的微分方程2.控制系统的传递函数3.控制系统的结构图及其等效变换4.控制系统的信号流图与梅森增益公式,2,第1节控制系统的微分方程,机械系统的微分方程电路系统的微分方程机电系统的微分方程微分方程的列写步骤,3,数学模型定义：描述控制系统中各物理量之间关系的数学表达式；对系统进行定量分析和设计的基础时域模型：微分方程，状态空间模型频域模型：传递函数，结构图，频率特性,第1节控制系统的微分方程,建模方法机理分析法：根据系统运行过程中所遵循的物理规律进行建模系统辨识法：通过对系统所作试验而得到的输入输出数据，用统计的方法确定其数学模型（实验建模）,4,1-1机械系统的微分方程,例1考虑由质量块、弹簧、阻尼器构成的如图所示的机械系统，假设壁摩擦为粘性摩擦。试建立该系统微分方程。,解：对此系统进行受力分析（为什么没有考虑质量块重力作用？）：,5,1-1机械系统的微分方程,例2考虑下图所示的安装在小车上的倒立摆系统，控制力作用在小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心，试求系统的微分方程（u为输入，和x为输出）。,摆杆相对于重心转动惯量,6,1-1机械系统的微分方程,解：摆杆重心坐标为,摆杆转动运动方程：,摆杆水平运动方程：,摆杆垂直运动方程：,小车运动方程：,在平衡点（=0）附近线性化：,7,非线性微分方程线性化本课程主要研究经典控制方法，主要适于线性定常控制系统对于在平衡点附近非线性程度不太强的系统，可以将其转化为近似的线性系统后，应用经典控制方法线性化方法：在平衡点附近，对非线性函数进行泰勒级数展开，然后舍去高阶项,1-1机械系统的微分方程,8,1-2电路系统的微分方程,例3考虑下图所示由电阻、电感和电容组成的无源网络，试列写网络微分方程。,解：,9,1-2电路系统的微分方程,例4考虑下图所示的有源电路，试求输出电压与输入电压之间的关系。,解：假设放大器为理想运放，则,10,机电系统直流电动机输入：作用于励磁磁场或电枢两端的控制电压，以及等效到电机转轴上的负载转矩输出：电机转速,1-3机电系统的微分方程,励磁磁通与励磁电流成比例：,电磁转矩与磁通和电枢电流成正比：,11,例5电枢控制式直流电动机（励磁电流恒定）,1-3机电系统的微分方程,电枢回路方程：,反电势：，为反电势系数,电磁转矩：，为转矩系数,转矩平衡方程（忽略粘性摩擦）：,12,整理可得：,1-3机电系统的微分方程,进一步整理可得，,这是一个线性定常二阶系统，具有两个输入、一个输出。,13,在空载的情况下，系统的微分方程为,1-3机电系统的微分方程,进一步假设电枢电感可省略，即La=0，Ta=0，则,此时，电机转速与电枢电压成正比。电枢电压与反电势的表达式相同，反电势表达式就是测速发电机的方程。,进一步假设电枢电阻可省略，即Ra=0，Tm=0，则,14,1-3机电系统的微分方程,若电机处于平衡状态，则,15,相似系统定义：物理机理不同、微分方程形式相同的系统通过研究某系统可以了解其相似系统的特性,1-4微分方程的列写步骤,16,线性系统微分方程的列写步骤确定系统和各组成部件的输入量和输出量根据物理原理，列些每个部件的动态方程适当简化上述方程：略掉对系统影响小的次要因素，对非线性部分进行线性化等从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，消去中间变量，最后得到描述系统输入与输出关系的微分方程把微分方程写为标准形式：与输入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有关的各项写在方程的左边；方程两边各导数项均按降幂排列；有时还要对各导数项的系数进行适当变换，使其具有一定物理意义（例如时间常数、传递系数等）,1-4微分方程的列写步骤,17,列写微分方程的注意事项信号传送的单向性：信号由前一个部件传送到后一个部件，前一个部件的输出即为后一个部件的输入，一级一级地传送。只有反馈信号从系统的输出端回送到输入端。负载效应：前后两部件连接时，应考虑后者对前者的负载效应，它会引起前级微分方程的改变。若负载效应很小或两级之间接有隔离放大器时，可不考虑负载的影响。,1-4微分方程的列写步骤,微分方程的阶次越高，精度越高，系统的分析与设计越困难；一般在满足一定精度要求的前提下，尽可能采用低阶模型。输入给定后，求解微分方程，即可得到输出的响应。,18,例6列写下图所示速度控制系统的微分方程,系统结构图为：,1-4微分方程的列写步骤,19,1-4微分方程的列写步骤,各环节微分方程为运放I：运放II：放大环节：电动机环节：反馈环节：消去中间量，并整理，可得其中，,20,第2节控制系统的传递函数,传递函数的定义与性质传递函数的标准表达形式典型环节及其传递函数,21,传递函数的定义,2-1传递函数的定义与性质,定义：在零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比“零初始条件”的含义输入作用是在t0时刻才施加于系统的，因此输入量及其各阶导数在0时刻之前均为零系统在0时刻之前是平衡的，即系统的输出量及各阶导数为零,22,2-1传递函数的定义与性质,线性定常系统的微分方程为,在零初始条件下进行拉式变换，可得,当传递函数与输入已知时，通过对Y(s)进行拉式反变换，可以求得输出的时域表达式y(t)。,该系统的传递函数为,23,传递函数的几点说明传递函数与线性常系数微分方程一一对应，仅适于描述线性定常系统传递函数主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求关于某输入的传递函数时，可将其它输入视为零传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质，物理性质和学科类别不同的系统可能具有相同形式的传递函数；而研究某传递函数所得结论适用于具有这种传递函数的各种系统传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关；它只反映输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系传递函数不考虑初始条件的影响传递函数是关于s的有理分式。对实际系统而言，分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统,2-1传递函数的定义与性质,24,传递函数的性质,2-1传递函数的定义与性质,传递函数等于系统的单位脉冲响应的拉氏变换借助传递函数，可以研究系统参数变化或结构变化对系统动态过程的影响，因而使系统分析问题大为简化可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求，使综合问题易于实现,25,例7求电枢控制式直流电动机的传递函数,2-1传递函数的定义与性质,解：已知系统的微分方程为对方程两侧进行拉氏变换令，可得转速关于电枢电压的传递函数令，可得转速关于负载转矩的传递函数转速可综合表示为,26,例8求如图所示无源电路的传递函数,2-1传递函数的定义与性质,解法1：列出回路电压方程和输出节点方程取拉氏变换，得整理可得,27,2-1传递函数的定义与性质,解法2：采用复阻抗表示,28,有理分式形式,2-2传递函数的标准表达式,其中，ai和bj为实常数，n(=m)为系统阶数。,零极点形式,其中，s=-zi为传函函数的零点，s=-pj为极点，,为系统的根轨迹增益。,29,时间常数形式,2-2传递函数的标准表达式,30,2-2传递函数的标准表达式,31,2-2传递函数的标准表达式,考虑含有v个零值极点的情况，传递函数的通式可写为,式中，,或,传递函数是一些基本因子的乘积，这些因子就是典型环节对应的传递函数。,32,比例环节,2-3典型环节及其传递函数,时域方程：传递函数：实例：分压器、放大器、理想的齿轮传动,积分环节,K为放大系数，T为时间常数,33,2-3典型环节及其传递函数,积分环节实例,电动机（忽略转动惯量、电枢电阻和电感及粘滞摩擦等）,为转角，为角速度,为比例环节,为积分环节,34,惯性环节,2-3典型环节及其传递函数,当输入为单位阶跃函数时，可得K为放大系数，T为时间常数。当K=1时，,35,2-3典型环节及其传递函数,惯性环节实例,36,振荡环节,2-3典型环节及其传递函数,当时，可分解为两个惯性环节，即传递函数有两个实极点。,37,2-3典型环节及其传递函数,当时，传递函数有一对共轭复极点对于单位阶跃输入，,38,微分环节,2-3典型环节及其传递函数,纯微分对于单位阶跃信号，一阶微分、二阶微分：实际系统具有惯性，不存在单纯的微分环节，一般都是微分环节与惯性环节的结合,39,延迟环节,2-3典型环节及其传递函数,经过延迟时间后，完全复现输入信号；又称为时滞或时延环节。传递函数是非线性的超越函数，有延迟的系统是很难分析和控制。,40,2-3典型环节及其传递函数,例9比例-积分-微分（PID）控制器结构如下图所示，试求传递函数。,41,2-3典型环节及其传递函数,例10求下图所示有源网络的传递函数,42,第3节控制系统的结构图及其等效变换,控制系统的结构图控制系统结构图的等效变换闭环控制系统的传递函数,43,控制系统的结构图,3-1控制系统的结构图,定义：描述系统的组成，以及各部件间信号传递关系的图形化模型,44,结构图的组成信号线：表示信号的传递方向，旁边标记信号的拉氏变换函数函数方框：表示部件输入与输出的函数关系分支点：表示信号引出的位置；从同一位置引出的信号，在数值和性质方面完全相同比较点（相加点）：对多个性质相同的信号进行加减运算；“”代表相加（可省略），“”代表相减（不可省略）,3-1控制系统的结构图,45,结构图的绘制步骤确定系统和各组成部件的输入量和输出量根据物理原理，列些每个部件的微分方程对上述方程进行适当简化，例如，略掉对系统影响小的次要因素，对非线性部分进行线性化等在零初始条件下，对各部件的微分方程取拉氏变换，作出它们的结构图将系统的输入量放在最左边，输出量放在最右边，按照各部件的信号流向，将各部件的结构图连接起来，获得系统的结构图,3-1控制系统的结构图,重点：（1）选择合适的中间变量；（2）在划分部件时，充分考虑负载效应。,46,3-1控制系统的结构图,例11考虑下图所示RLC电路系统，试绘制以ui(t)为输入，uo(t)为输出的系统结构图,解根据基尔霍夫电压定律和电流定律，列写系统的微分方程,47,3-1控制系统的结构图,假设系统的初始状态为零，对各微分方程进行拉式变换，得,48,3-1控制系统的结构图,将各部件结构图进行连接，得系统结构图,49,3-1控制系统的结构图,例12试绘制直流电动机速度控制系统的结构图,解列写各部件的微分方程,50,3-1控制系统的结构图,在零初始条件下，各部分的传递函数为,比较环节：,运放I：,运放II：,功放环节：,反馈环节：,51,3-1控制系统的结构图,电动机环节：,将各部件按照输入输出关系连接起来，可得系统结构图,-,52,结构图的等效变换,3-2控制系统结构图的等效变换,环节的合并串联并联反馈,相加点和分支点的移动相加点前移、后移、互换、合并分支点前移、后移、互换,原则：变换前后环节的数学关系保持不变,53,3-2控制系统结构图的等效变换,环节的合并：三种基本形式,串联,并联,反馈,54,3-2控制系统结构图的等效变换,相加点和分支点的移动,相加点前移,相加点后移,相加点的互换与合并,55,3-2控制系统结构图的等效变换,分支点前移,分支点后移,分支点互换,56,3-2控制系统结构图的等效变换,相加点与分支点能否互换？,原则：一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。,57,例13利用结构图等效变换讨论下图所示两级RC串联电路的传递函数,解根据基尔霍夫定律，可得,3-2控制系统结构图的等效变换,58,系统结构图为：,3-2控制系统结构图的等效变换,59,3-2控制系统结构图的等效变换,60,3-2控制系统结构图的等效变换,61,3-2控制系统结构图的等效变换,解法2,62,3-2控制系统结构图的等效变换,63,3-2控制系统结构图的等效变换,解法3,64,3-2控制系统结构图的等效变换,65,3-2控制系统结构图的等效变换,66,3-2控制系统结构图的等效变换,补充例13中的负载效应,隔离放大器,仅当两个电路之间有隔离放大器时，上式才成立。,67,3-2控制系统结构图的等效变换,例14利用结构图等效变换求取下图所示系统的传递函数。,68,3-2控制系统结构图的等效变换,69,3-2控制系统结构图的等效变换,70,3-2控制系统结构图的等效变换,71,3-2控制系统结构图的等效变换,72,3-2控制系统结构图的等效变换,73,3-2控制系统结构图的等效变换,74,3-2控制系统结构图的等效变换,作用分解,75,利用等效变换简化结构图的步骤确定输入量与输出量：若系统有多个输入量，则必须分别对每个输入量逐个进行简化，求得各自的传递函数；对于包含多个输出量的情况，也应分别化简观察结构图中是否包含基本环节形式（串联、并联、反馈）：若有，则利用基本公式将其合并结构图包含交叉环节：尽可能通过移动相加点或分支点，解除交叉若上述方法无效，尝试交换相加点与分支点的位置。无论分支点移到相加点的前面或后面，均需增加一个新的通道；尽可能选择使结构图结构明朗化的移动方式在简化过程中，一旦出现基本环节形式，先行合并,3-2控制系统结构图的等效变换,76,闭环控制系统的传递函数,3-3闭环控制系统的传递函数,典型结构,传递函数只能处理单输入单输出系统，因此，需分别求C(s)关于R(s)和N(s)的传递函数，然后叠加得出总的输出量。,77,3-3闭环控制系统的传递函数,输入量作用下的闭环系统（N(s)=0）关于输入的传递函数：输出：前向通道传递函数：反馈通道传递函数：开环传递函数：；当主反馈通道断开时，从输入量到反馈量的传递函数等于前向通道传函与反馈通道传函的乘积,78,3-3闭环控制系统的传递函数,输入作用下的偏差传递函数结构图变换：在单位反馈（H(s)=1）下,79,3-3闭环控制系统的传递函数,扰动作用下的闭环系统（R(s)=0）关于扰动的传递函数：扰动作用下的输出：扰动作用下的偏差传递函数：扰动作用下的偏差：,80,3-3闭环控制系统的传递函数,输入和扰动共同作用下的闭环系统输出：偏差：具有相同的分母，称为闭环系统的特征多项式；称为闭环系统的特征方程，其解称为闭环系统的特征值。,81,3-3闭环控制系统的传递函数,补充化简结构图，求传递函数,82,3-3闭环控制系统的传递函数,补充化简结构图，求传递函数,83,第4节控制系统的信号流图与梅森增益公式,控制系统的信号流图信号流图的等效变换梅森增益公式,84,信号流图,4-1控制系统的信号流图,定义：描述系统的组成，以及各部件间信号传递关系的另一种图形化模型。,85,4-1控制系统的信号流图,组成：由节点和支路组成的信号传递网络节点：表示系统中的变量，用小圆圈标记支路：连接两个节点的有向线段；输出支路、输入支路支路增益：表述两个变量关系的表达式，标在相应支路旁边,86,4-1控制系统的信号流图,几个术语输入节点（源点）：只有输出支路的节点，如X1输出节点（阱点）：只有输入支路的节点，如X8混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点，如X2X7；相当于方块图中的相加点和分支点，所表示的信号是所有输入支路引进信号的叠加通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，其起点和终点都在节点上；若某通路与任一节点相交不多于一次，且起点和终点不是同一节点，称其为开通路，如X1X2X3X4前向通路：起点在源点，终点在阱点的开通路，如X1X2X3X4X5X6X7X8,87,4-1控制系统的信号流图,回路：与任一节点相交不多于一次，且起点和终点为同一节点的通路，又称为闭回路。如X2X3X4X2，X3X4X5X6X3互不接触回路：相互之间没有公共节点的回路，如回路X2X3X4X2与回路X5X6X7X5互相接触回路：具有公共节点的回路，如回路X2X3X4X2与回路X3X4X5X6X3,88,4-1控制系统的信号流图,通路增益：通路中所包含支路的增益的乘积，如通路X1X2X3X4的通路增益为G1G2G3前向通路增益：前向通路中各支路增益的乘积，如前向通路X1X2X3X4X5X6X7X8的通路增益为G1G2G3G4G5G6G7回路增益：回路中各支路增益的乘积，如回路X5X6X7X5的回路增益为G5G6H2,89,4-1控制系统的信号流图,信号流图的性质节点表示系统变量：每个节点表示的变量是所有流向该节点的信号的代数和，而从同一节点流向各支路的信号均为该节点变量支路相当于乘法器：信号流经支路时，被乘以支路增益而变为另一信号信号在支路上只能沿箭头单向传递对于给定系统，节点变量的设置不是唯一的，因此信号流图也不是唯一的,90,4-1控制系统的信号流图,信号流图的绘制（根据方块图）将各个相加点和分支点标记为节点，若分支点紧靠在相加点后边，可以将二者合并为一个节点将输入量和输出量分别标记为输入节点和输出节点；根据信号传递关系绘制连接各节点间的支路，并标记支路增益,91,4-1控制系统的信号流图,信号流图的绘制（根据拉氏变换后的微分方程）,各变量在复数域的代数关系为,92,信号流图的等效变换,4-2信号流图的等效变换,合并串联支路,合并并联支路,消除回路,？,93,4-2信号流图的等效变换,消除混合节点,消除回路,94,梅森增益公式,4-3梅森增益公式,系统传递函数与信号流图拓扑的关系,前例中代数方程与信号流图,以R为输入，V2为输出，其矩阵形式为,95,4-3梅森增益公式,根据克莱姆法则,96,4-3梅森增益公式,传递函数为,传递函数的分子和分母取决于方程组的系数行列式，而系数行列式与信号流图的拓扑结构具有密切关系。,97,4-3梅森增益公式,该信号流图中含有5个回路，并且回路与、与、与互不接触，所有单个回路增益的和为,两两互不接触回路增益乘积之和为,传递函数的分母为,传递函数的分母与信号流图的拓扑结构紧密相关。,98,4-3梅森增益公式,将中与第k条前向通路接触的回路去除，余下的表达式叫作该前向通路的余子式，并记为k。本例中的前向通路与余子式如下表：,99,4-3梅森增益公式,传递函数的分子为系数行列式(C)除以R(s)：,传递函数的分子与信号流图的拓扑结构紧密相关。,采用信号流图拓扑结构术语，传递函数可表示为,100,4-3梅森增益公式,梅森增益公式表达式,P从输入节点到输出节点的总增益，即传递函数n从输入节点到输出节点的前向通路个数Pk第k个前向通路的增益k第k个前向通路的余子式信号流图特征式,La：所有不同回路的增益之和LbLc：每两个互不接触回路的增益乘积之和LdL