Ch2-地图的数学基础

1,上节内容回顾,什么是地图?地图的特性?地图学的概念?,2,地图的定义,地图：是按照一定的数学法则，将地球表面（或其他星体）上的空间信息，通过科学的概括综合，运用符号系统以可视化、数字或触摸的符号形式，缩小表达在一定载体上的图形模型，用以传递、模拟和认知它们的数量、质量在时间和空间上的分布规律和发展变化。,3,地图的基本特性,地图必须遵循一定的数学法则地图必须经过科学概括地图具有完整的符号系统地图是地理信息的载体,4,地图的构成要素,地理要素（图形要素）主体地图上的主体，用地图符号表示数学要素骨架地图坐标、投影、比例尺、控制点等保证地图的可量测性、可比性图边要素（辅助要素）润滑剂说明地图的编制状况，为应用提供相关内容，在主要图形的外侧，如图名、图号、图例、比例尺等对主要图件在内容和形式上的补充，如同基图表、剖面图、测图时间、出版单位等,5,地图的类型,按地图的图形内容分类：普通地图专题地图按比例尺分类大比例尺地图（1：10万）中比例尺地图（1：10万1：100万）小比例尺地图（1：100万）缩微地图,6,地图学的概念,地图学：是以地图信息传递为中心的、探讨地图的理论实质、制作技术和使用方法的综合性科学,7,现代地图理论体系,理论地图学：研究地图理论地图学概论地图信息理论地图模型理论等地图制图学：制作方法和技术普通地图制图学遥感制图学机助制图学等应用地图学：地图分析与应用地图评价等,中科院地理研究所廖克研究员,第二章地图的数学基础,9,什么是地图的数学基础？,地图的数学基础是指使地图上各种地理要素与相应的地面景物之间保持一定对应关系的经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等数学要素。坐标高程地图比例尺地图投影,10,主要内容,1地球椭球体2大地控制3地图比例尺4地图投影概述5常用地图投影6地图投影的判别和选择,11,本章要解决的问题：,（1）如何表示不规则的地球体？（2）如何缩小的表示地球上的物体？（3）如何把球形的地球画在平面的地图上？,12,1地球椭球体,13,一.地球自然表面,地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面,地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平的椭球体。,宇宙中地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体,14,不能用数学公式表达；不能作为测量和制图的基准面,15,二.地球物理表面,水准面：当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交。大地水准面：在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面。,16,大地水准面实际是一个起伏不平的重力等位面地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。,17,大地水准面的意义：地球形体的一级逼近：对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。大地水准面是大地测量基准之一，对地球物理学有研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体。重力等位面：海拔高程系统的起算面，可用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。,18,自然、物理面、数学面关系图,19,大地水准面：无法用数学公式表达受地球内部物质密度分布不均等多种因素的影响而产生重力异常，致使铅垂线的方向发生不规则变化；大地水准面：处处与铅垂线方向垂直；是不规则表面,20,三.地球数学表面,地球椭球体：假想将大地体绕地轴飞速旋转，即能形成一个表面光滑的球体，即地球椭球体是一个规则的数学表面地球的数学表面，代表地球大小和形状。,21,自然、物理面、数学面关系图,22,地球椭球体：在测量和制图中代替大地球体的旋转椭球体。是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。,23,地球椭球体的表示：（椭球体三要素）长轴a（赤道半径）短轴b（极半径）椭球的扁率f=（a-b）/a：椭球体的扁平程度,24,：,25,我国曾经或正在采用的椭球体,26,地球椭球体定位：确定大地水准面与椭球体之间的相对关系，将观测成果换算到椭球面上；定位：通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点间的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近。,27,定位方法：单点定位法多点定位法,28,参考椭球体：与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体。每个国家的参考椭球体都寻找与本国的大地水准面贴合的最好的地球椭球体；,29,我国曾经或正在采用的椭球体,30,2大地控制,确定地面点在地球椭球体上的位置平面位置高程,31,一.地面点的表示,1球面上的地理坐标（经纬度）天文经纬度、大地经纬度、地心经纬度2平面上的直角坐标国家坐标系、地方坐标系3高程绝对高程（海拔）、相对高程、高差,32,一.地面点的球面表示地理坐标系,1地理坐标系：是指用经纬度表示地面点位的球面坐标系。天文经纬度大地经纬度地心经纬度,33,天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。在地球上定义为本初子午面与观测点子午面之间所夹的两面角。天文纬度：在地球上定义为过某点的铅垂线与赤道平面间的夹角。在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。,34,大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度、大地纬度和大地高表示。大地经度：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。大地纬度：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。,35,地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点。地心经度：同大地经度地心纬度：指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。,36,地面点的高程表示高程系,hAB=HB-HA,37,二.大地坐标系的建立,椭球体及其定位:按一定的条件将具有确定元素的地球椭球同大地体的相关位置固定下来，从而获得大地测量计算基础面和大地起算数据。椭球体定位的条件:椭球短轴与地轴相平行椭球面与大地水准面充分接近大地原点国家水平控制网中推算大地坐标的起算点通常该点为大地水准面与参考椭球面的重合点或者误差最小点。,38,我国大地坐标系,1952年前采用海福特（Hayford）椭球体1954年北京坐标系椭球体：克拉索夫斯基椭球体坐标原点：苏联玻尔可夫天文台北京原点缺点：椭球体面与我国大地水准面不能很好的符合，产生的误差较大，大地坐标控制点多为局部平差逐次获得的，不能连成一体。1980年国家大地坐标系（西安坐标系）椭球体：采用GRS1975新参考椭球体（国际大地测量与地球物理联合会推荐的）坐标原点：西安原点（陕西省泾阳县永乐镇）,39,我国大地坐标系,5480坐标系地形图邻接状况（中间部分为两个坐标系邻接“真空”带）,不同的球面地理坐标系,40,我国大地坐标系,1980年国家大地坐标系优点椭球体参数精度高；定位采用的椭球体面与我国大地水准面符合好；天文大地坐标网传算误差和天文重力水准路线传算误差都不太大，而且天文大地坐标网坐标经过全国性整体平差，坐标统一，精度优良，可以满足1比5千甚至更大比例尺测图的要求等。,41,我国大地坐标系,1980年国家大地坐标系缺点：二维坐标不能满足需要三维坐标和大量使用卫星定位和导航技术的需要，不适应现代的三维定位技术；精度：卫星定位精度10-710-8，西安：3*10-6坐标系统：用户需要提供与全球总体适配的地心坐标系统，而不是局部坐标系统,42,我国大地坐标系,2000年国家大地坐标系：根据中华人民共和国测绘法，经国务院批准，我国自2008年7月1日起，启用2000国家大地坐标系；2000国家大地坐标系采用的地球椭球参数如下：长半轴a6378137m扁率f1/298.257222101原点：包括海洋和大气的整个地球的质量中心；,43,我国大地坐标系,2000年国家大地坐标系：2000国家大地坐标系与现行国家大地坐标系转换、衔接的过渡期为8年至10年。现有各类测绘成果，在过渡期内可沿用现行国家大地坐标系；2008年7月1日后新生产的各类测绘成果应采用2000国家大地坐标系。现有地理信息系统，在过渡期内应逐步转换到2000国家大地坐标系；2008年7月1日后新建设的地理信息系统应采用2000国家大地坐标系。,44,三.高程系的建立,hAB=HB-HA,高程控制网的建立，必须规定一个统一的高程基准面。,45,我国高程系,新中国前：使用过坎门平均海水面、吴淞零点、废黄河零点和大沽零点等多个高程基准面。1956年黄海高程系观测记录：1950年1956年共7年的验潮资料水准原点：青岛观象山（高程为：72.289米）1985年国家高程基准观测记录：1953年1979年共27年的验潮资料水准原点：青岛观象山（高程为：72.260米）地方高程系全球统一的高程系统,46,四.大地控制网,大地控制网由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。,47,四.大地控制网,平面控制网：确定控制点的平面坐标，即大地经纬度。以三角测量或导线测量来完成。依精度不同可分为四等。,48,四.大地控制网,高程控制网按统一规范，由精确测定高程的地面点组成以水准测量或三角高程测量完成依精度不同，分为四等。,49,五.全球定位系统(GPS),是以人造卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时动态定位、定时及导航服务。,50,3地图比例尺,一、地图比例尺的含义二、地图比例尺的表示形式三、地图比例尺的作用,51,一.地图比例尺的含义,地球与地图的大与小的矛盾地图比例尺：表示地球和制图区域缩小的程度,52,当制图区域比较小：景物缩小的比例也比较小，这时不论采用何种投影，图上各处长度缩小的比率都可以看成是相等的；地图比例尺的含义：图上长度与地面相应水平长度之比。1/M=d/D：d：地图上线段的长度，D：地面上相应直线距离的水平投影长度，M：比例尺分母,53,当制图区域相当大对景物的缩小比率也相当大，采用的地图投影比较复杂，地图上的长度也因地点和方向不同而有所变化。比例尺含义：是在进行地图投影时，对地球半径缩小的比率，称为地图主比例尺，地图经过投影后，地图上只有个别的点或线没有长度变形。其它大于或小于主比例尺的比例尺称为局部比例尺。,54,地图比例尺的精确定义：地图上沿某方向的微分线段和地面上相应微分线段水平长度之比。,55,地图比例尺特点：只是一个比值，没有单位。比例尺越大，图面精度越高；比例尺越小，图面精度越小，但概括性越强。比例尺精度：是指一定比例尺的地图上0.1mm所代表的实地长度。数字地图中比例尺：其传统定义已经失去了原有的一些意义（比值意义），但不得不保留其隐含的意义（数据精度和详细程度等）。,56,数字地图上的比例尺,57,二.地图比例尺的表示形式,数字比例尺如：1:500、1：25万优点：简单易读、便于运算、明确缩小概念文字比例尺如：“百万分之一”优点：单位明确、计算方便、较大众化。图解比例尺直线斜分复式,58,直线比例尺,以直线线段的形式表示图上线段长度所对应的地面距离。优点：可直接读出长度值而无需计算避免因图纸伸缩而引起误差精度：基本单位的十分之一，估读出百分之一,59,斜分比例尺,依据相似三角形原理制成的图解比例尺。精度:基本单位的百分之一，估读出千分之一,60,复式比例尺,复式比例尺：又称投影比例尺是一种由主比例尺与局部比例尺组合成的图解比例尺。对每条纬线或经线单独设计一个直线比例尺，将各比例尺组合起来。,61,特殊比例尺,变比例尺：当制图的主区分散且间隔的距离比较远时，为了突出主区和节省图面，可将主区以外部分的距离按适当比例相应压缩，而主区仍按原来规定的比例尺表示。,62,特殊比例尺,无级别比例尺：是一种随数字制图的出现而与传统的比例尺系统相对而言的一个新概念，并没有一个具体的表现形式。在数字制图中，由于计算机或数据库里可以存贮物体的实际长度面积体积等数据，并且根据需要可以很容易按比例任意缩小或放大这些数据，因此没有必要将地图数据固定在某一比例尺上。,63,三.地图比例尺的作用,决定着地图图形的大小同一地区，比例尺越大，地图图形越大，反之越小。反映地图量测精度决定着地图内容的详细程度同一地区或同一类型的地图，内容要素表示的详略程度和图形符号的大小，主要取决于地图比例尺。比例尺越大，地图内容越详细，符号尺寸亦可稍大些；反之，地图内容则越简略，符号尺寸相应减小。,64,地图投影：,4地图投影概述,65,主要内容,一、地图投影的概念二、地图投影的基本方法三、地图投影的变形四、地图投影的分类五、地图投影的命名,66,地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。学习投影的目的：了解和掌握最常用、最基本的投影性质和特点以及它们的变形分布规律，从而能够正确的辨认、使用各种常用的投影。,一.地图投影的概念,67,地图表面和地球球面的矛盾,68,地图投影是在几何投影基础上发展起来的数学上的几何投影,面1,面2,几何学透视原理,承影面,灯源,物体,（投）影,物体的形状、灯源的位置、以及承影面的形状都将影响投影的结果。,69,地图投影的概念地图投影就是在球面与平面之间建立其经纬度与直角坐标函数关系的数学方法地图投影的实质是研究将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上的方法及其变形问题。,F(,)=f(x,y),70,71,1.几何投影（透视投影）：假想地球是一个透明体，光源位于球心，把球面上的经纬网投影到平面上，得一张球面经纬网投影。地图投影面：平面，圆柱面和圆锥面；光源位于：球心，球面、球外，或无穷远处等。利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫几何投影或几何透视法。最原始方法。,二.地图投影的基本方法,72,2.数学解析法：仅借助几何投影的方式，按照某些条件用数学分析法确定球面与平面点与点之间一一对应的函数关系。X=f1(、)Y=f2(、)f1、f2的形式由给定的投影条件确定。这种对应关系可把球面上的经纬网交点表示到平面上。,73,球面上任意一点的位置决定于它的经纬度，实际投影时是先将一些经纬线的交点展绘在平面上，再将相同经度的点连成经线，相同纬度的点连成纬线，构成经纬线网。有了经纬线网，就可以将球面上的地理事物，按其所在经纬度，用一定的符号画在平面上相应位置处。地图投影的实质是将地球椭球面上的经纬网按一定的数学法则转移到平面上。经纬线网是绘制地图的“基础”，是地图的主要数学要素。,74,三.地图投影的变形,变形是必然的球面不可展没有变形的投影是不存在的研究各种投影变形的大小和分布规律，具有重大的实际应用价值。,75,地图投影变形的概念指球面转换成平面后，地图上所产生的长度、角度和面积误差。制图时：有些投影图上没有角度或面积变形有些投影图上沿某一方向无长度变形,76,地球仪上经纬网的特点,所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且从赤道向两极越来越小，极地成为一点。经线和纬线是相互垂直的。角度纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而是从赤道向两极逐渐缩小的。长度同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。面积,77,投影后地图的经纬网特点,78,79,80,81,82,投影变形的相关概念,（1）变形椭圆：地球球面上的一微小圆，在平面上的投影除在接触点位置外，一般情况下为椭圆。,83,设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度（为1），A(x,y)是微小圆周上一点，圆心曲线方程为：x2+y2=1A(x，y)是A(x，y)的投影，令经线长度比为m，纬线长度比为n，则:x/x=m，y/y=nx=x/m，y=y/n(x,y)为圆上一点，将其代入圆的方程，得：x2/m2+y2/n2=1这是一个椭圆方程，证明椭球体面上的微小圆，投影后为椭圆。故叫做变形椭圆。,84,借助变形椭圆与微小圆比较，可说明变形性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度比a和b，而长短半径方向之间，长度比，为ba;椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变形;椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两方向线夹角之差为角度变形。,85,（2）主方向由于投影要产生变形，所以球面上两条相互垂直的微小线段投影后一般不一定正交，例如设o是球面上一点，过o作两条垂线ac和bd，投影后为ac和bd。即地球面上角aob和角boc为直角，投影后分别为锐角aob和钝角boc。,86,设想ac、bd二垂线相对位置保持不变，并绕o点顺时针旋转，当旋转90度时，直角aob转到原来boc的位置，这时投影由原来的锐角转变成钝角；同样的，直角boc转到了cod的位置，它的投影由原来的钝角变为锐角。由此可见，一个直角在不同的位置下的投影有着不同的的大小，可以由锐角变为钝角，或者相反。那么在变化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直线方向，称之为主方向。,87,（3）长度比和长度变形：设地球球面上有一微小线段ds,投影到平面上为ds，平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。公式：=ds/ds长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之比。,88,只研究一些特定方向的长度比，即最大长度比（a），最小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。投影后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比。投影后经纬线不直交，其夹角为,则经纬线长度比m、n和最大、最小长度比a、b之间具有如下关系：m2+n2=a2+b2mnsin=ab长度变形即长度比（）与1之差，用V表示：V=-1长度变形有正负之分，长度变形为正，表示投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短；长度变形为零，则长度无变形。,89,在主方向上，具有极大和极小长度比。当经纬线投影后为正交垂直，经纬线方向就是为主方向，如高斯-克吕格投影。但也有一些投影后经纬线斜交，因此，主方向与经纬线方向并不一致。,90,主比例尺和局部比例尺平常地图上注记的比例尺，称之为主比例尺，它是运用地图投影方法绘制经纬线网时，首先把地球椭球体按规定比例尺缩小，如制1:100万地图，将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，则1:100万就是地图的主比例尺。由于投影后有变形，所以主比例尺仅能保留在投影后没有变形的点或线上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。注意长度比、长度变形与地图比例尺的区别。,91,(4)面积比与面积变形：投影平面上的微小面积dF与球面上相应微小面积dF之比，称为面积比。投影面上半径为r的微分圆，投影到平面上后变成长轴为ar、短轴为br的微分椭圆，以P表示面积比，则:P=dF/dF=arbr/r2=ab（面积比等于主方向长度比的乘积）或P=mnsin（为投影后经纬线夹角）若经纬线方向就是主方向，=90正交时：P=mn面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就是面积比与1之差，以Vp表示：Vp=(dF-dF)/dF=dF/dF-1=P-1面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为正，投影后面积增加；面积变形为负，投影后面积缩小。,92,(5)角度变形：投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线夹角之差，称为角度变形（）。过一点可以做许多方向线，每两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成的角度产生的变形一般也不一样。,93,（6）等变形线,等变形线来表示制图区域的变形分布特征等变形线：就是变形值相等的各点的连线，根据计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内，如面积等变形线。,94,地图投影变形的分布规律：任何地图都有投影变形；不同区域大小的投影其投影变形不同；地图上存在没有变形的点(线)；距没有变形的点（线）越远，投影变形越大，反之