工程最优化设计理论、方法和应用

工程最优化设计理论、方法和应用,2,绪论,第1章最优化问题的数学模型第2章最优化设计的数学基础第3章一维搜索（线性搜索）第4章无约束最优化方法第5章线性规划方法第6章约束最优化方法第7章现代最优化方法简介第8章最优化问题的计算机求解,3,Introduction,最优化设计就是使设计的技术或经济指标达到最佳。,计算机技术的发展使得求解工程最优化问题成为可能。,应用实例：,4,Introduction,最优化设计过程,建立设计问题的物理模型,数学模型,选取设计变量列出目标函数给定约束条件,确定优化目标分析影响因素列出限定条件,求解数学模型,选择适当的最优化方法,分析和解释优化结果,建立能反映工程实际的、完善数学模型是不容易的事,优化方法是优化领域的难点是我们学习的重点,5,Introduction,最优化的历史,Eular,1755,Fermat,1638;Newton,1670minf(x)x:scalar,Lagrange,1797,Eular,Lagrange,Problemsininfinitedimensions,calculusofvariations,解析法,1950s,数学规划法，即：数值计算法(迭代法)通过计算求得最优解。,6,第1章最优化问题的数学模型,数学建模是对实际待优化问题的数学描述和概括，是进行最优化设计的基础。数学模型应与实际问题相吻合，但考虑到当前有限的可用最优化方法和计算机的计算能力，可做适当简化。应善于将复杂问题化解为简单问题进行求解。,1.1建模举例,例1：用边长为3m的正方形板材，在四角各截去一个大小相同的正方形方块，做成一个无盖的箱子试确定该箱子具有最大容积的尺寸。,设x为正方形的边长则容积为f(x)=x(3-2x)2可用极值条件求解,7,例2：如图所示，人字架由两个钢管构成，其顶点受外力2F=3x105N。已知2B=152cm,T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1x105MPa，材料密度=7.8x103kg/m3,许用应力y420MPa。求钢管压应力不超过许用压应力y和失稳临界应力e的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。,此优化设计问题归结为：求x=DhT,使结构质量m(x)min但应满足强度约束条件(x)y和稳定性条件(x)e,1.建立数学模型,人字架总质量：,8,刚好满足强度约束条件时，有,其中A是钢管截面面积A=(R2-r2)=TD,强度、稳定条件,钢管所受的压力,稳定约束条件(x)e，可写成,压杆失稳的临界力,其中，I钢管截面惯性矩,9,可将设计变量D用设计变量h表达：,2.求解(解析法),带入总质量目标函数m(D,h)中，得,依据极值的必要条件：,得,将所得参数代入稳定条件，可证明,满足稳定约束条件,10,在设计平面Dh上画出代表强度约束和稳定约束区域的两条曲线：(x)y(x)e,3.作图法,满足约束条件的区域称为可行域,然后画出质量等值线m(D,h)=C,图中表明强度约束条件为起作用约束，它影响极值点的位置；稳定约束条件为不起作用约束，它不影响极值点的位置。,11,例3：生产计划问题:某厂生产甲、乙两种产品，生产消耗和所带来的利润如表所示，问如何安排生产计划可得出最大化的利润。,求变量x1，x2使函数f(x1,x2)=60 x1+120 x2极大化,需满足条件,分析：设每天生产甲产品x1件，乙产品x2件，于是该生产计划问题可归结为,12,1.2数学模型的一般形式,Minimizef(x1,x2xn)目标函数Subjectto,约束函数X=(x1,x2,xn)T设计变量集合(完全+独立)Maximizef(x)与Minimize-f(x)同解,于是最优化设计问题的一般数学形式为:,13,优化的基本概念和术语1/3,MathematicalProgramming数学规划Minimization极小化Optimization最优化Objectivefunction目标函数,又称为评价函数Constraintfunction约束函数,可行设计必须满足的设计限制条件Designvariable设计变量DiscreteVariable离散变量ContinuousVariable连续变量Feasibleregion可行域LinearOptimization线性最优化或线性规划OperationResearch运筹学NonlinearOptimization非线性最优化或非线性规划,14,等值线的绘制令函数f(X)等于一常数cf(X)=c于是可绘制出二维的封闭轮廓,即等值线（面）。,目标函数的等值线Contour,目标函数是衡量设计方案好坏、优劣的定量指标。,常见的选择设计问题的重要的技术经济指标有:利润、成本、功率、重量、交货期等。,优化的基本概念和术语2/3,15,优化的基本概念和术语3/3,ActiveConstraint起作用约束InactiveConstraint非起作用约束,Contour目标函数的等值线,16,1.4最优化问题的图解法,对于简单的二维最优化问题,可采用作图法求解,即:通过绘制出约束可行域和目标函数的等值线,可以直观地确定出最优点的位置.,1)确定设计空间xn；2)画出由约束边界围成的约束可行域；3)作出12条目标函数的等值线,以判定目标函数的下降方向；4)分析并判断最优点。,图解法的步骤：,17,例用图解法解最优化问题,X*=20,24Tf*=-4080,18,1.5数值解法的下降迭代解法,下降迭代解法不同于解析法，它是从初始点开始，用某种递推关系产生点列：使目标函数呈严格的单调下降趋势：,X0,X1,X2,Xk,Xk+1,f(X0)f(X1)f(X2)f(Xk)f(Xk+1),1.5.1下降迭代公式,Xk+1=Xk+Xk满足f(Xk+1)f(Xk),Xk如何得到？,即,19,这里的核心问题是确定?dk?k,可以沿某个使目标函数下降的搜索方向dk，以适当的步长k的方式得到Xk，实现对Xk的更新,Xk=kdk,即Xk+1=Xk+kdk满足f(Xk+1)f(Xk),于是变成求f(Xk+1)=f(Xk+kdk)的极值点问题,1.解析法:可以确定dk(目标函数的负梯度方向)，也可求出一元函数的极值确定一最佳搜索步长k，即(k)=f(Xk+kdk)，应有(k)=0,2.数值法:第四章求dk的方法，第三章求k的方法。,20,下降迭代的基本流程(数值法),Y,3.终止条件？,初始点X0，迭代精度,K0,确定搜索方向dk,Xk+1Xk+kdkk：minf(Xk+kdk),?,X*Xk+1,f*f(Xk+1),Kk+1,End,N,1.求dk的方法，第四章2.求k的方法,第三章,21,1.5.2迭代算法的收敛性和终止准则,1)迭代算法的收敛性,=1时,称算法具有线性收敛性,或线性收敛速度;12时,称算法具有超线性收敛性;=2时,称算法具有二次收敛性;具有二次收敛性的算法是收敛速度最快的算法,当迭代算法产生的点列所对应的目标函数值严格地单调递减,最终收敛于其极小点时,则称此迭代算法具有收敛性.点列向极小点逼近的速度称为算法的收敛速度.可靠实用的最优化算法,应具有良好的收敛性和尽可能快的收敛速度.,迭代算法的收敛速度可定义为:,牛顿法是二次收敛于X*，而最速下降法仅是线性收敛，变尺度DFP方法和BFGS方法在没有线搜索时(1)是局部Q-超线性收敛于X*的。,22,2)迭代算法的终止准则,任何迭代计算都不应无限地迭代下去;计算机的计算精度是有限的;工程中所需要的数值精度也是有限的;因此,依据数值精度作为算法的终止判别准则具有实际意义.判断迭代点是否达到给定精度要求的判别式称为最优化算法的终止准则,或称收敛准则.常用的有:,a相邻两迭代点的向量差点距准则相邻两迭代点之间的移动距离已充分小时，可作为收敛判据之一。即：|Xk+1-Xk|1可认为Xk+1是满足给定收敛精度的最优解.令X*=Xk+1.输出X*,f(X*).一般可取收敛精度1=10-610-4,23,b相邻两迭代点的目标函数差值差准则相邻两点迭代之后，使目标函数值的下降量已充分小时，可用两次迭代的目标函数之差作为收敛判据之一。即：|f(Xk+1)-f(Xk)|2或相对目标函数差,令X*=Xk+1,输出X*,f(X*).,c极值点的梯度梯度准则迭代点接近极值点时，目标函数的梯度将变得充分小，可用梯度作为收敛判据之一。即：|f(Xk+1)|0时,有si=0和gi(X)=0,即点X在约束gi(X)0的边界上;注意约束条件为”,可知约束函数的梯度指向可行域外.当所有u=0时,有su0和gu(X)0,说明点X在可行域内;,于是,可以得到:其中Ik表示起作用约束的下标集合,此式表明:不等式约束问题的极小点要么在可行域内取得,要么在约束边界上取得.这就是著名的KKT条件.,32,Karush-Kuhn-Tucker不等式约束问题的极值条件(K-K-T),其几何意义是:在约束极小值X*点处,函数f(x)的负梯度一定能表示成所有起作用约束在该点梯度(法向量)的非负线性组合.,参考李元科图2-7较好,33,例用K-K-T条件判断Xk=1,0T是否为下述问题的最优解X*,min(x1-2)2+x22s.t.x12+x2-10-x10-x20,首先画出此不等式约束极值问题的平面图形;通过观察找出边界上的特殊点;运用K-K-T条件判断.,34,第3章一维搜索（线性搜索）,由前述知识可知,当用数学规划法(数值解法)寻求多元函数f(x)的极值点X*的下降迭代公式是,Xk+1=Xk+kdk即:f(Xk+1)=f(Xk+kdk)=(k),1.根据函数极值的条件,应有(k)=0,从而求出k,2.对f(Xk+kdk)进行Taylor展开,有:,a.解析法求k:,同样,根据函数极值的条件,应有,即:,从而求得:,解析法求解的缺点是需要进行求导计算,对于复杂函数,这是不可行的.,35,求解k的数值迭代算法的主要思路是:首先,确定一个包含极小点*的初始搜索区间;然后,逐步缩小此区间,从而获得*的数值近似解.,3.1确定初始搜索区间,搜索区间应该是函数区间内的一个单谷性子区间,即区间内存在一个极小点,也就是”高-低-高”的趋势.,b.数值解法求k:,如图ab就是满足要求的单谷性子区间.,如何确定这一单谷区间?,36,确定单谷搜索区间的外推法,外推法的正向搜索,外推法的反向搜索,37,3.2缩小搜索区间的思路,在搜索区间ab内任取两点a1,b1,且a1f(X2)f(X3),单纯形法的几何意义,进行反射,即X5=X4+(X4-X1),设f(X)函数上有不共线的三点X1,X2,X3组成单纯形,计算各点的函数值,2)如果f(X5)r20障碍项的作用是当迭代点在可行域内时,将阻止迭代点越过可行域.,77,例用内点法求问题的最优,r=4,x*=(2,0)r=1.2,x*=(1.422,0)r=0.36,x*=(1.156,0),78,InteriorPenaltyFunction(SUMT.SequentialUnconstrainedMinimizationTechnique)Approachconstrainedoptimumwithaseriesofunconstrainedsearchesofdecreasingr,atr0theoptimumisreached.Exampleminf=2-x-(x-1)2+r=0S.T.x1x2-2x+(1-r)=04-4(1-r)=0,79,Tohandleequalityconstraints,mustusesubstitutiontoeliminatesomevariables.Bypenaltyfunctions,Exterior:Interior:,80,Exampleminf=2-xS.T.x=1h=x-1=0Decreasing“r”inInteriorPenaltyFunctionsandaspecialstoppingrule,81,内点惩函数法的流程图,82,6.2.2外点惩函数法,该方法将新目标函数定义于可行域外,序列迭代点在可行域外逐步逼近约束边界上的最优点.外点罚函数法可用来求解具有等式和不等式约束的最优化问题.,建立外点惩罚函数形式:,Minf(X)s.t.,r称为惩罚因子,它由小到大且趋近于,即r1r2惩罚项的作用是当迭代点在非可行域内或不满足等式约束条件时,将迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面.,83,例用外点法求问题的最优,r=0.3,x*=(0.231,0)r=1.5,x*=(0.6,0)r=7.5,x*=(0.822,0),84,Comments惩罚函数法原理简单，算法易行，适用范围广，并且可以和各种有效的无约束最优化方法结合起来，因此得到广泛应用。从理论上讲，只有当r(外点法)或r0(内点法)时，算法才能收敛，因此序列迭代过程收敛缓慢；此外，有时惩罚因子r0取的不合适时，惩罚函数可能变得病态，使无约束最优化计算发生困难。,85,6.3增广乘子法,为了克服惩罚函数法在优化过程中的困难，Hestense和Powell于1969年各自提出了乘子法。Lagrange乘子法用来求解一般的约束优化问题，并不是一种有效的方法。因为对于非凸问题它容易失败，对于大型的非线性优化问题，需求解高次联立方程组，而这几乎和求解优化问题同样同样困难；还必须分离出方程组的重根。增广乘子法就是将Lagrange乘子法与惩罚函数法相结合的方法。,1.等式约束的增广乘子法,原问题：,构造Lagrange函数：,86,令,令,可解出原问题的极值点x*以及相应的Lagrange乘子向量*,构造惩罚函数的Lagrange函数,求得约束极值点x*，且使,87,则原问题就转化为等式约束的优化问题：,1.不等式约束的增广乘子法,原问题：,引入松弛变量：z=z1z2zmT,并令,于是可用等式约束的增广乘子法进行求解。,注意：由于正加了松弛变量z，使原来的n维极值问题扩充成n+m维问题，势必增加计算量和求解困难，须将计算加以简化。参见相关材料。,88,6.4序列二次规划算法,二次规划(QuadraticProgramming)问题就是目标函数为二次函数，约束函数为线性函数的最优化问题。二次规划问题是最简单的非线性最优化问题。序列二次规划算法(SequentialQuadraticProgramming)是将复杂的非线性约束最优化问题转化为比较简单的二次规划问题求解的算法。当算法是利用拟牛顿法（变尺度法）近似构造Hession矩阵，以建立二次规划子问题时，又可称为约束变尺度法。,1.等式约束的序列二次规划,建立Lagrange函数为：,89,在xk点作Taylor展开，保留二次近似式,其中：,可用变尺度矩阵Bk(DFP或BFGS)代替,Lagrange函数的一阶导数为：,令,于是,90,将等式约束在xk点作Taylor展开，保留线性近似式,代入上述Lagrange展开式，并略去常数项，则构成二次规划子问题,求得上述子问题，就可得到dk搜索方向，于是确定k就可得到下降迭代式,从而可最终求得原问题的最优解。,2.不等式约束的序列二次规划,91,可用同样的Lagrange函数及xk点的Taylor展开，得到相应的二次规划子问题,求得上述子问题，就可得到dk搜索方向，于是确定k就可得到下降迭代式,但在每次迭代中应对不等式约束进行判断，保留其中的起作用约束，去除不起作用的约束，即将起作用约束纳入等式约束中，从而将不等式约束的子问题变为等式约束的子问题。经迭代可最终求得原问题的最优解。,92,二次规划法的迭代步骤：,1)给定初始值x0、0，令B0=I(单位阵)；2)计算原问题的函数值、梯度值，构造二次规划子问题；3)求解二次规划子问题，确定新的乘子向量k和搜索方向dk；4)沿dk方向进行一维搜索，确定步长k，得到新的近似极小点：,5)满足收敛精度则停止计算，否则转下步；6)采用变尺度公式(DFP或BFGS),对Bk进行修正得到Bk+1,返回步骤2)。,93,其它约束最优化方法:简约梯度法,94,6.5多目标最优化方法,工程实际中，通常有多种评价设计质量好坏的评价指标。例如：设计车床齿轮变速箱时，会提出下列要求：1)各齿轮体积总和f1(X)尽可能小，使材料消耗减少，从而降低成本；2)各传动轴间的中心距总和f2(X)尽可能小，使变速箱结构紧凑；3)齿轮的最大圆周速度f3(X)尽可能低，使变速箱运转噪声小；4)传动效率尽可能高，亦即机械损耗率f4(X)尽可能低，以节省能源。,可写成,若将这些经济技术指标都写成设计变量的函数，则形成了多个目标函数，若分别记作：fi(X),则多目标的数学函数为,95,多目标优化问题与单目标优化问题的一个本质的不同是：多目标问题是一个向量函数的优化，而向量函数值大小的比较要比标量值大小的比较复杂；在单目标优化问题中，任何两个解都可以比较出其优劣，是完全有序的；而对于多目标优化问题，任何两个解不一定能比较出其优劣，因而是半有序的。,多目标优化问题一般不可能存在同时使每一个目标都达到最优的完全最优解，因为这些目标函数往往是相互矛盾的。对某一目标较好的设计方案，对其它的目标并不一定好，甚至会很差。因实际工程问题的中的每项评价指标的重要性可能不完全相同同，就需要针对不同的设计目标进行不同的处理，以取得一个折中的方案，从而获得相对最优解。多目标问题的最优解在概念上与单目标的优化问题不同。,例求,96,多目标优化的求解方法很多，但最主要的可以归结两大类：直接求出非劣解，然后从中选出较好解；将多目标优化问题作适当处理：1重新构造一个函数（评价函数）将多目标优化问题转化为单目标优化问题进行求解；2将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题进行求解，如主要目标法，线性加权法，协调曲线法等。,1.主要目标法2.统一目标法线性加权和法极大极小法3.理想点法,对多目标最优化问题，构造单目标最优化问题为：,亦可构造单目标最优化问题：,可以证明，此两问题的最优解是一个最接近完全最优化解的有效解。故这种方法被称为求解多目标最优化问题的理想点法。,97,4.协调曲线法,98,离散变量的优化问题简介,约束非线性混合离散变量优化设计问题的数学模型，可表示为,其中：,xD为离散变量的子集合，xC为连续变量的子集合。,99,约束非线性离散变量优化问题遇到的问题,X*周围整数型点群均不在可行域内,离X*较远处整数型点P为优化点的情形,GlobalOptimizationApproaches,全局最优化方法,第7章现代最优化方法简介,101,Terminology(Definition),GlobalMinimizef(x)Subjecttohi(x)=0i=1,2,pgj(x)0j=1,2,qwherexBn,Bn=X|lkxkuk,k=1,2,nRn,CNO-ConstrainedNonlinearOptimization,DefineaProblemisthefirststeptosolvingit.,102,TheGOproblemsclassification,Generally,arandomoptimumproblemisablack-boxone.,103,Localminimum:Apointx*isalocalminimizerifthereisaneighborhoodNofx*suchthatf(x*)f(x)forxN.(byJ.N.,S.J.W.)LetclosedsubsetLnBn,XlLnandXlsatisfyconstraints,ifthereexistsXl*suchthatf(Xl*)=0and2f(Xl*)ispositivedefinite,orKarush-Kuhn-Tuckerconditioncomesintoexistence,therealwaysexistsf(Xl*)f(Xl),thepair(f(Xl*),Xl*)islocalminimum.(byL.W.)Thesearchingprocessiscalledaslocaloptimization.Globalminimum:Apointx*isaglobalminimizeriff(x*)f(x)forallx,wherexrangeoverallofRn.(byJ.N.,S.J.W.)LetXgBnandXgsatisfyconstraints,iffthereexistsf(Xg)f(Xg*),thepair(f(Xg*),Xg*)isglobalminimum.(byL.W.)Thissearchingprocessiscalledasglobaloptimization.,ThedefinitionisdifferentfromMITlecture10_introductiontoconvexconstrainedoptimization,Terminology(Definition),104,Intuitively,Globalminimumistheminimumofalllocalminima.,Terminology(Definition),Localminimumistheminimuminaneighborarea.,105,GlobalOptimizationBranches,MainstreamMethods,106,GlobalOptimizationApproaches,SimulatedAnnealingSAGeneticAlgorithmGATabuSearchTSMultistartClusteringMethodMCMFillingFunctionMethodFFMCoveringLocalAttractiveRegionsMethodCLARM,107,GeneticAlgorithm,Geneticalgorithmsareapartofevolutionarycomputing,whichisarapidlygrowingareaofartificialintelligence.Whatistheevolutionism?AtheoryofbiologicalevolutiondevelopedbyCharlesDarwinandothers,statingthatallspeciesoforganismsariseanddevelopthroughthenaturalselectionofsmall,inheritedvariationsthatincreasetheindividualsabilitytocompete,survive,andreproduce.AlsocalledDarwiniantheory.(Fromdictionary),Survivalforthefittest,Optimumonesurvives.,108,BiologicalBackground,ChromosomeAlllivingorganismsconsistofcells.Ineachcellthereisthesamesetofchromosomes.ChromosomesarestringsofDNAandserveasamodelforthewholeorganism.Achromosomeconsistsofgenes,blocksofDNA.Eachgeneencodesaparticularprotein.Basically,itcanbesaidthateachgeneencodesatrait,forexamplecolorofeyes.Possiblesettingsforatrait(e.g.blue,brown)arecalledalleles.Eachgenehasitsownpositioninthechromosome.Thispositioniscalledlocus.Completesetofgeneticmaterial(allchromosomes)iscalledgenome.Particularsetofgenesingenomeiscalledgenotype.Thegenotypeiswithlaterdevelopmentafterbirthbasefortheorganismsphenotype,itsphysicalandmentalcharacteristics,suchaseyecolor,intelligenceetc.,ReproductionDuringreproduction,recombination(orcrossover)firstoccurs.Genesfromparentscombinetoformawholenewchromosome.Thenewlycreatedoffspringcanthenbemutated.MutationmeansthattheelementsofDNAareabitchanged.Thischangesaremainlycausedbyerrorsincopyinggenesfromparents.,109,JohnHolland,UniversityofMichigan,begantheworkongeneticalgorithmsatlast60s.AfirstachievementwasthepublicationofAdaptationinNaturalandArtificialSystemin1975.Hollandhadadoubleaim:1)toimprovetheunderstandingofnaturaladaptationprocess,and2)todesignartificialsystemshavingpropertiessimilartonaturalsystems.GeneticAlgorithmisarandomsearchtechnique.Ideais:thegeneticpoolofagivenpopulationpotentiallycontainsthesolution,orabettersolution,toagivenadaptiveproblem.Thissolutionisnotactivebecausethegeneticcombinationonwhichitreliesissplitbetweenseveralsubjects.Onlytheassociationofdifferentgenomescanleadtothesolution.,GeneticAlgorithmforOptimization,Inanoptimizationsetting,apopulationofcandidatepointsismanipulatedbymeansofselection,crossoverandmutationoperation.,110,Population.mostclassicaloptimizationmethodsmaintainasinglebestsolutionfoundsofar,anevolutionaryalgorithmmaintainsapopulationofcandidatesolutions.Onlyone(orafew,withequivalentobjectives)oftheseisbest,buttheothermembersofthepopulationaresamplepointsinotherregionsofthesearchspaceTheuseofapopulationofsolutionshelpstheevolutionaryalgorithmavoidbecomingtrappedatalocaloptimum,whenanevenbetteroptimummaybefoundoutsidethevicinityofthecurrentsolution.Mutation.inspiredbytheroleofmutationofanorganismsDNAinnaturalevolution-anevolutionaryalgorithmperiodicallymakesrandomchangesormutationsinoneormoremembersofthecurrentpopulation,yieldinganewcandidatesolutionTherearemanypossiblewaystoperformamutation,thereareactuallymorethanthreedifferentmutationstrategies.Theresultofamutationmaybeaninfeasiblesolution,andsomemethodsshouldbetakentorepairsuchasolutiontomakeitfeasible;thisissometimes,butnotalways,successful.,TerminologyofGeneticAlgorithm,111,Crossover.inspiredbytheroleofsexualreproductionintheevolutionoflivingthings-anevolutionaryalgorithmattemptstocombineelementsofexistingsolutionsinordertocreateanewsolution,withsomeofthefeaturesofeachparent.Theelements(e.g.decisionvariablevalues)ofexistingsolutionsarecombinedinacrossoveroperation,inspiredbythecrossoverofDNAstrandsthatoccursinreproductionofbiologicalorganisms.Aswithmutation,therearemanypossiblewaystoperformacrossoveroperation-somemuchbetterthanothers-andtherearealotofdifferentcrossoverstrategies.Selection.inspiredbytheroleofnaturalselectioninevolution-anevolutionaryalgorithmperformsaselectionprocessinwhichthemostfitmembersofthepopulationsurvive,andtheleastfitmembersareeliminated.Inaconstrainedoptimizationproblem,thenotionoffitnessdependspartlyonwhetherasolutionisfeasible(i.e.whetheritsatisfiesalloftheconstraints),andpartlyonitsobjectivefunctionvalue.Theselectionprocessisthestepthatguidestheevolutionaryalgorithmtowardsever-bettersolutions.,TerminologyofGeneticAlgorithm,112,Diversityreferstotheaveragedistancebetweenindividualsinapopulation.Apopulationhashighdiversityiftheaveragedistanceisl