高考理数　函数模型及综合应用

2.7函数模型及综合应用,高考理数(课标专用),自主命题省(区、市)卷题组,五年高考,考点一函数的实际应用1.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.B.C.D.-1,答案D设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x0,因此x=-1,故选D.,2.(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则当z=81时,x=,y=.,答案8;11,解析本小题考查二元一次方程组的实际应用.把z=81代入方程组,化简得解得x=8,y=11.,3.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0的保鲜时间是192小时,在22的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是小时.,答案24,解析依题意有192=eb,48=e22k+b=e22keb,所以e22k=,所以e11k=或-(舍去),于是该食品在33的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3eb=192=24(小时).,考点二函数的综合应用1.(2014湖南,10,5分)已知函数f(x)=x2+ex-(x0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A.B.(-,)C.D.,答案B设函数f(x)图象上一点A(x0,y0)(x00,故(x)在(-,0)上为增函数,则(x)0,对任意a0,b0,若经过点(a,f(a),(b,-f(b)的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)=(x0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)=(x0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可),答案(1)(2)x,解析答案不唯一.(1)若Mf(a,b)是a,b的几何平均数,则c=.由题意知,(a,f(a),(,0),(b,-f(b)共线,=,=,可取f(x)=.(2)若Mf(a,b)是a,b的调和平均数,则c=,由题意知,(a,f(a),(b,-f(b)共线,=,化简得=,可取f(x)=x.,6.(2014四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数(x)组成的集合:对于函数(x),存在一个正数M,使得函数(x)的值域包含于区间-M,M.例如,当1(x)=x3,2(x)=sinx时,1(x)A,2(x)B.现有如下命题:设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)A”的充要条件是“bR,aD,f(a)=b”;函数f(x)B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)A,g(x)B,则f(x)+g(x)B;若函数f(x)=aln(x+2)+(x-2,aR)有最大值,则f(x)B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号),答案,解析依题意可直接判定正确;令f(x)=2x(x(-,1),显然存在正数2,使得f(x)的值域(0,2-2,2,但f(x)无最小值,错误;对于,假设f(x)+g(x)B,则存在正数M,使得当x在其公共定义域内取值时,有f(x)+g(x)M,则f(x)M-g(x),又g(x)B,则存在正数M1,使g(x)-M1,M1,-g(x)M1,即M-g(x)M+M1,f(x)M+M1,与f(x)A矛盾,正确;对于,当a=0时,f(x)=,即f(x)B,当a0时,y=aln(x+2)的值域为(-,+),而,此时f(x)无最大值,故a=0,正确.,7.(2016浙江,18,15分)已知a3,函数F(x)=min2|x-1|,x2-2ax+4a-2,其中minp,q=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间0,6上的最大值M(a).,解析(1)由于a3,故当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)0,当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2,2a.(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=minf(1),g(a),即m(a)=(ii)当0x2时,F(x)f(x)maxf(0),f(2)=2=F(2),当2x6时,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)=,8.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=ax+bx(a0,b0,a1,b1).(1)设a=2,b=.求方程f(x)=2的根;若对于任意xR,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.,解析(1)因为a=2,b=,所以f(x)=2x+2-x.方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-22x+1=0,所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x)2-2.因为f(2x)mf(x)-6对于xR恒成立,且f(x)0,所以m对于xR恒成立.而=f(x)+2=4,且=4,所以m4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g(x)=axlna+bxlnb,又由01知lna0,所以g(x)=0有唯一解x0=lo.令h(x)=g(x),则h(x)=(axlna+bxlnb)=ax(lna)2+bx(lnb)2,从而对任意xR,h(x)0,所以g(x)=h(x)是(-,+)上的单调增函数.,于是当x(-,x0)时,g(x)g(x0)=0.因而函数g(x)在(-,x0)上是单调减函数,在(x0,+)上是单调增函数.下证x0=0.若x0-2=0,且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为00,同理可得,在和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.于是-=1,故lna+lnb=0,所以ab=1.,教师专用题组,答案D对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错;对于C选项:甲车以80千米/小时的速度行驶时,燃油效率为10km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80110=8(升),则C错;对于D选项:当行驶速度小于80km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.,2.(2014浙江,17,4分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角的大小.若AB=15m,AC=25m,BCM=30,则tan的最大值是.(仰角为直线AP与平面ABC所成角),答案,3.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.,解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得解得(2)由(1)知,y=(5x20),则点P的坐标为,设在点P处的切线l交x轴,y轴分别于A,B点,易知y=-,则l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)=,t5,20.,设g(t)=t2+,则g(t)=2t-.令g(t)=0,解得t=10.当t(5,10)时,g(t)0,g(t)是增函数;从而,当t=10时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min=300,则f(t)min=15.答:当t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.,考点二函数的综合应用1.(2014辽宁,12,5分)已知定义在0,1上的函数f(x)满足:f(0)=f(1)=0;对所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)|x-y|.若对所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|k恒成立,则k的最小值为()A.B.C.D.,答案B当x=y时,|f(x)-f(y)|=0.当xy时,若|x-y|,依题意有|f(x)-f(y)|,不妨设x,|f(x)-f(y)|-=.综上所述,对所有x,y0,1,都有|f(x)-f(y)|0时,f(x)=x(1+a|x|)0,于是f(0+a)0=f(0),而由已知A可得0A,即f(0+a)0也不满足条件,故aa0,cb0.(1)记集合M=(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b,则(a,b,c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为;(2)若a,b,c是ABC的三条边长,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号)x(-,1),f(x)0;xR,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长;若ABC为钝角三角形,则x(1,2),使f(x)=0.,答案(1)x|00,cb0,01,01.,考点一函数的实际应用1.(2018江西4月模拟,10)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是B1C的中点,动点M在其表面上运动,且与平面A1DC1的距离保持不变,运行轨迹为S,M从P点出发,绕其轨迹运行一周的过程中,运动的路程x与l=MA1+MC1+MD之间满足函数关系l=f(x),则此函数图象大致是(),三年模拟,A组20162018年高考模拟基础题组,答案D连接AB1,AC.由题意可知点M的运行轨迹是B1AC,不妨设M从P点出发,沿PCAB1P运行,设AC的中点为Q,AB1的中点为R.可知M从P运行到C的过程中,MA1+MD从小变大,且MC1从小变大,即l从小变大,同理可知M从C到Q,l从大变小;M从Q到A,l从小变大;M从A到R,l从大变小;M从R到B1,l从小变大;M从B1到P,l从大变小.故选D.,2.(2017福建质检,5)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.11,答案C设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n(nN*)个“半衰期”后的含量为,由2,t(x)在0,2上递增,在(2,+)上递减,又t(0)=0,t(2)=,t+时,t(x)0,t(x)min=t(0)=0;t(x)max=t(2)=.(2)令t=,则由x0,24,得t,令g(t)=f(x)=t|t-a|+,t,则g(t)=g(t)在和上递增,在上递减,且g=+,g=1-,g-g=+-,令+-0,得-1a;令+-0),y=|log3x|的图象,如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由|log3x|=m,得x1=3-m,x2=3m,由|log3x|=,得x3=,x4=.依照题意得=,又m0,m+=(2m+1)+-,当且仅当(2m+1)=,即m=时取“=”.的最小值为27,故选B.,B组20162018年高考模拟综合题组(时间:20分钟分值:30分),选择题(每题5分,共30分)1.(2018安徽淮北一模,10)函数f(x)在定义域R内可导,若f(1+x)=f(3-x),且当x(-,2)时,(x-2)f(x)bcB.cabC.cbaD.bca,答案Cf(1+x)=f(3-x),函数f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=f(1).当x(-,2)时,(x-2)f(x)0,即此时f(x)单调递增,01,f(0)ff(1)=f(3),即abc,故选C.,方法指导利用导数的符号确定函数的单调性,结合函数图象的对称性判断大小.,解题关键当x0,f(x)在(-,2)上单调递减.借助单调性比较大小是解题关键.,2.(2018安徽淮南一模,10)已知函数f(x)=-|log3(x-1)|有两个零点x1,x2,则()A.x1x2x1+x2,答案A作出y=与y=|log3(x-1)|的图象,可知函数f(x)的零点是两图象交点的横坐标,不妨设x1x2,由图可以得到1x12x2,则由f(x1)=-|log3(x1-1)|=0,f(x2)=-|log3(x2-1)|=0,得-log3(x1-1)=,log3(x2-1)=,两式相减得log3(x2-1)+log3(x1-1)=-0,即log3(x2-1)+log3(x1-1)0,故(x2-1)(x1-1)1,得x1x2x1+x2.故选A.,思路分析作两相应函数图象,由交点位置得原函数两个零点所在的区间,将两零点代入函数的解析式,得到两个等式,两式相减,根据指数函数的单调性得到不等式,化简即得结论.,解题关键得出两零点范围,并能正确运算是解题的关键.,3.(2018河南郑州二模,11)已知M=|f()=0,N=|g()=0,若存在M,N,使得|-|n,则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”,若f(x)=32-x-1与g(x)=x2-aex互为“1度零点函数”,则实数a的取值范围为()A.B.C.D.,答案B由f(x)=32-x-1=0,解得x=2,由g(x)=x2-aex=0,得x2=aex,设其解为x0,f(x)=32-x-1与g(x)=x2-aex互为“1度零点函数“,|x0-2|0,h(x)是增函数,当2x3时,h(x)0,h(x)是减函数,h(x)max=h(2)=,又h(1)=,h(3)=,实数a的取值范围为.故选B.,思路分析f(x)的零点易得,而g(x)由于存在参数a,故其零点与参数a有关,故可分离参数,将a表示成关于该零点的函数(其中零点的范围可由新定义得出),从而问题转化函数最值问题.,4.(2018广东广州一模,12)设函数f(x)在R上存在导函数f(x),对于任意的实数x,都有f(x)+f(-x)=2x2,当x0时,f(x)+12x,若f(a+1)f(-a)+2a+1,则实数a的最小值为()A.-B.-1C.-D.-2,答案A设g(x)=f(x)-x2(xR),则g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-2x2=0,g(x)是奇函数.当x0时,g(x)=f(x)-2x-1,g(x)在(-,0)上是减函数,g(x)在R上是减函数.f(a+1)f(-a)+2a+1,f(a+1)-a2-2a-1f(-a)-(-a)2,即f(a+1)-(a+1)2f(-a)-(-a)2,即g(a+1)g(-a),a+1-a,即a-.故选A.,思路分析设g(x)=f(x)-x2,判断g(x)的奇偶性和单调性,将原不等式转化为有关g(x)的不等式,得出a的范围.,知识拓展常见构造函数:已知为f