第四章 图像复原-第4讲有约束复原-维纳滤波和约束最小平方滤波

数字图像处理(DigitalImageProcessing）,山东科技大学信息与电气工程学院孙农亮,2,第4章图像复原,第4讲有约束复原-维纳滤波和约束最小平方滤波,3,（2）有约束恢复在图像恢复过程中，为了在数学上更容易处理，常常附加某种约束条件，并在这些条件下使某个准则函数最小化。这类方法叫做有约束恢复，其中典型的方法有维纳滤波法和约束最小平方滤波法。1）维纳滤波法(Wiener)，即最小均方误差滤波法前提：图像和噪声都是随机过程，图像和噪声不相关。基本思想：找到原图像f(x,y)的一个估计值，使得估计值与原图像之间的均方误差在统计意义上最小。,4.3图像复原,4,图像估计值在频域的表达式为,各项的含义，【不同的表示法】,4.3图像复原,5,特点：对噪声有自动抑制作用若噪声为白噪声，则Snn(u,v)近似为常数。当H(u,v)在某处为零时，由于存在Snn(u,v)/Sff(u,v)，不会出现被零除的情况，而由于分子含有项，在任何H(u,v)=0处，滤波器的增益恒等于0。同时若在某一频谱区信噪比相当高或噪声为零时，维纳滤波器的效果接近逆滤波方法；而对信噪比很小的区域，滤波器的输出很小。这些都说明了维纳滤波避免了在逆滤波法中出现的对噪声的过多放大。,在实际应用中，Snn(u,v)、Sff(u,v)未知，特别是Sff(u,v),解决的方法之一是令Snn(u,v)/Sff(u,v)等于某个常数k。,4.3图像复原,6,维纳滤波器进行图像恢复的主要步骤如下：(1)假定系统的点扩散函数h(x,y)是已知的，分别对退化图像g(x,y)和h(x,y)进行拓展，得ge(x,y)和he(x,y)；(2)分别计算ge(x,y)和he(x,y)的傅里叶变换，得Ge(u,v)和He(u,v)；(3)求He(u,v)的复共轭和模|He(u,v)|2;(4)选取k的初始值，(k0.0001,0.1)；(5)根据上式计算Fe(u,v)；(6)对进行傅里叶反变换得原始图像的估计值f(x,y)；(7)选取另外一个k值，重复以上过程，并进行比较，直到找到最佳的k值以及对应的恢复图像。,4.3图像复原,7,例4.3假设由匀速直线运动造成了图像模糊（仿真），图像中不含可视化噪声。试采用维纳滤波法和不同的参数，对图像进行复原。本例重点探讨点扩散函数的参数对恢复的影响。解答：对相机与物体之间有相对匀速直线运动的情况，假设在一定的时间间隔里（相机的曝光时间）物体沿x、y方向移动的距离分别是a和b。当用MATLAB7.0编程实现时，所用参量为、l。它们与式(4.2.22)中的a、b的关系是=arctan(b/a)，l=(a2+b2)1/2，当这两个参数确定后，点扩散函数的形式和参数也就定了。本例中取=10，l=15pixel。,4.3图像复原,8,采用维纳滤波法进行恢复，因为没有加噪声，故k取了一个很小的值k=0.0001(k=0就变成了逆滤波)其中一组是正确的值，即恢复时所用的参数与产生模糊图像时点扩散函数的参数值是一样的(此时=10，l=15)，这是模拟了正确估计出退化的模型和相应的参数，恢复的图像如图4.5(c)所示。其他的几组参数要么角度值不正确，要么移动的距离不对，是对退化参数估计不准情形的模拟。图4.5(d)、(e)、(f)分别是=10，l=10；=10，l=20；=5，l=15时的恢复图像,4.3图像复原,9,(b)10，l15像素运动模糊图像,(c)10，l15时恢复图像,(d)10，l10时恢复图像,(f)=5，l=15时恢复图像,(a)原图像,(e)=10，l=20时恢复图像,4.3图像复原,10,例4.4采用维纳滤波法，对有噪声的离焦模糊图像复原。解答：模拟离焦模糊的高斯模板（退化系统点扩散函数）的参数：方差为5pixel，模板是7x7pixel的方模板。图像中含有加性高斯噪声，噪声的均值为零，方差为0.001。图(a)为原始图像，图(b)是含噪声的离焦模糊图像。图(c)是用实际的噪声和原图像平均功率计算的功率比，即公式中的k=0.0029，PSF用真实值得到的恢复图像，图像较好；图(d)、(e)是用不准确的k值和不准确的值(分别为k=0.0003,=3和k=0.03,=7)恢复的情况，质量较差；图(f)是采用真实的PSF，并用真实的噪信功率比恢复的结果，是所有恢复结果中最好的。,4.3图像复原,11,(a)原始图像(b)含噪声离焦模糊图像,(c)PSF用真实值，用实际的噪声和原图像平均功率，即k=0.0029,=5,(d)用偏小的值，k=0.0003,=3,(e)用偏大的值，k=0.03,=7,(f)用真实的PSF和真实的噪信功率比,4.3图像复原,12,2）约束最小平方滤波法在恢复过程中，为减少噪声的影响，要建立某种基于平滑测度的最优准则。定义准则函数C，并在约束条件下使准则函数C最小,约束条件是：,4.3图像复原,13,拉氏算子采用以下形式,采用拉格朗日乘子法，并得到频域中以上问题的解为,s的求取和选择是关键，如何进行？,4.3图像复原,14,迭代方式求解s,定义一个中间变量r，即,相应的频域表达式为,在给定精度因子a的情况下，若调整s使得下式成立，则认为恢复达到了要求,4.3图像复原,15,噪声的特性：若对噪声图像具有先验知识，则可求其均值和方差,实际上只要知道其均值和方差即可,？,4.3图像复原,16,约束最小平方滤波法恢复图像的步骤：(1)根据先验知识，计算|n|2;给s赋一初值；(2)(3)对R(u,v)求傅里叶反变换，得r(x,y)，并计算(4)给定精度因子a，其选择须根据噪声情况确定，a=(0.050.5)|n|2；(5)若，则增加s，若，则减少s；并返回(2)(7)若成立，则停止迭代，并计算,4.3图像复原,17,例4.5采用约束最小平方滤波器法，对例4.4中相同的退化图像进行恢复。解答：模拟离焦模糊的高斯模板参数：方差为5pixel，模板是7x7pixel的方模板。高斯噪声的均值为零，方差为0.001。图(a)为原始图像，图(b)是含噪声的离焦模糊图像。根据公式计算，噪声的功率是409.6.图(d)是用偏小的噪声功率值和的值(|n|2=205，=3)，图(e)是用偏大的噪声功率值和的值(|n|2=650，=7)分别恢复的情况；s的初值取0.001，其迭代时的步长取0.01，精度因子a=0.1|n|2。图(f)是采用真实的点扩散函数，和噪声功率(|n|2=409.6，=5)时迭代求解的结果，精度因子a=0.1|n|2，s的初值取0.001，其迭代时的步长取0.01，迭代终止时s=0.1201。