抽样调查习题课及详解.pdf

第一、二章 习题课第一、二章 习题课 1 .某校高一共有学生某校高一共有学生1000名，预调查名，预调查50名 学生，英语期末考试的成绩分别如下： 现在要求在满足的条件下 名 学生，英语期末考试的成绩分别如下： 现在要求在满足的条件下, 设 计一个简单随机抽样调查方案，并具体实施 抽样调查，并给出调查的结果。 设 计一个简单随机抽样调查方案，并具体实施 抽样调查，并给出调查的结果。 95. 02=YyP 1 . d =2, N =1000, s 2=125.702 108 1000 1 7 .125)96. 1( 2 1 1 )( 1 )( )( 2 2 22 1 2 22 1 1 2 22 1 2 2 2 + = + = + = + = + = + = NSu d Sud Su n N 2.调查费用为调查费用为c0+c1n , 损失与误差 成正比。 使总费用及损失 最小 损失与误差 成正比。 使总费用及损失 最小, 求出样本容量求出样本容量n. 2 )(YyEa 2 10 )(YyEancc+ 2.调查费用为调查费用为c0+c1n , 损失与误差 成正比。 使总费用及损失 最小 损失与误差 成正比。 使总费用及损失 最小, 求出样本容量求出样本容量n. 2 )(YyEa 2 10 )(YyEancc+ Nn aSncc YyEanccnf 11 )()( 10 2 10 += += += += 0 11 2 /1 )( 2 1 = = = Nn n aScnf 2.调查费用为调查费用为c0+c1n , 损失与误差 成正比。 使总费用及损失 最小 损失与误差 成正比。 使总费用及损失 最小, 求出样本容量求出样本容量n. 2 )(YyEa 2 10 )(YyEancc+ 422 2 1 2 1 2 1 1 ) 11 ( 4 1112 0 11 2 /1 )( nNnSa c nNnaS c Nn n aScnf = = = = = = = = 3/2 1 2 c aS n 3. 某调查要估计某种疾病患者中，吸烟人 所占的比例，随机抽了 某调查要估计某种疾病患者中，吸烟人 所占的比例，随机抽了1000人中，有这种 疾病的人有 人中，有这种 疾病的人有50人，其中有人，其中有40人吸烟，试求 患者中吸烟所占比例的 人吸烟，试求 患者中吸烟所占比例的95% 置信区间。置信区间。 3. 某调查要估计某种疾病患者中，烟民所 占的比例，随机抽了 某调查要估计某种疾病患者中，烟民所 占的比例，随机抽了1000人中，有这种疾 病的人有 人中，有这种疾 病的人有50人，其中有人，其中有40人吸烟，试求患 者中吸烟所占比例的 人吸烟，试求患 者中吸烟所占比例的95% 置信区间。置信区间。 2 1 2 1 1 2 )()( )( 1 22 2 RrEurRRrEurP u RrE Rr P += += )3 . 5 . 2();( )( 1 1 )( 1 1 ()3( )2 . 5 . 2(;), 1 ( ) 1 ()( )1( 1 )()2( )1 . 5 . 2(); 1 ( ),cov( )()1( ,1,),0( , 1 1 2 1 2 5 . 1 1 2 2 2 = = = = + + = = + = = = = = + = = = nO RXY N rxy n E N n f n O n ORXY NXn f RrE n O X xr RrE N,.,iMYMXM N N i ii n i ii N i ii ii 其中 则有）（使 无关的数若存在与在简单随机抽样下 其中 则有）（使 无关的数若存在与在简单随机抽样下 定理定理定理定理2 2. 5. 1. 5. 1 = = = = += += += += n i ii n i i n i i n i ii n i i n i i n i ii yxrxry yxrxryrxy 11 2 1 11 22 1 2 1 2 2 2)( = = = = N i ii n i ii N i ii RXY N rxy n E RXY NXn f RrE 1 2 1 2 1 2 2 2 )( 1 1 )( 1 1 ()3( )( )1( 1 )()2( 2 1 2 2 )()( 1 11 RrErxy nxn n i ii = 估计 = 估计 忽略抽样比忽略抽样比 2 1 2 1 1 2 )()( )( 1 22 2 RrEurRRrEurP u RrE Rr P += += 8 406 . 1508 . 040 2)( 2 11 2 11 2 = += += = += += = n i ii n i i n i i n i ii yxrxryrxy 3 23 1 2 2 102 . 3 99905. 010 8 )( 1 11 = = = = n i ii rxy nxn 2 1 2 1 1 2 )()( )( 1 22 2 RrEurRRrEurP u RrE Rr P += += 患者中吸烟所占比例的患者中吸烟所占比例的95% 置信区间为置信区间为 0.79370.7937，0.80630.8063 96. 1,102 . 3)(, 8 . 0 975. 0 32 = uRrEr 4.设是总体中最小者和最大者。抽取 样本量为 设是总体中最小者和最大者。抽取 样本量为n的简单随机样本，定义的估计量 如下： 其中 的简单随机样本，定义的估计量 如下： 其中c是一个常数。 试证 是一个常数。 试证:（1）是的无偏估计量）是的无偏估计量; （2） 的方差是） 的方差是. N1 Y,Y + = 其他， 而不含若样本中含， 而不含若样本中含， + = 其他， 而不含若样本中含， 而不含若样本中含， y YYcy YYcy y N N S1 1 S y y )( 1 2 /)1( 1 2 ncYY N c nSf N S y 4. 证明证明: (1) YyE S = =)( (1) )1()1( 11 1 1 DcDDcDy y YYcy YYcy y NN N N S += + = 其他， 而不含若样本中含， 而不含若样本中含， += + = 其他， 而不含若样本中含， 而不含若样本中含， Y NN nn N n c NN nn N n cY DDcEDDcEyEyE NNS = += = += + += = ) ) 1( ) 1( () ) 1( ) 1( ( )1 ()1 ()()( 11 4. 证明证明: (2) (2) )( 1 )1 ()1 ( 1 1 11 N N i ii NNS DDcDY n DcDDcDyy += += += += = = )(, 1 (2)( 1 )(, 1 (2)() 1 ( )( 1 ( )()( 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 N N i iiNY N N i iiN N i ii N N i ii SS DDcDY n CovDDcVarS n f DDcDY n CovDDcVarDY n Var DDcDY n Var yVaryV + = += += + = += += = = = = = = = = )( 1 2 /)1()( 1 2 ncYY N c nSfyV NS = = 4. 证明证明: (2) (2) )(, 1 (2)( 1 )( 1 1 1 2 N N i iiNYS DDcDY n CovDDcVarS n f yV+ =+ = = = )( 1 2 /)1()( 1 2 ncYY N c nSfyV NS = = )1 ( 1 2 ) 1 1 1)(1 (2 )1 ( ) 1( 2)1 (2 ),(2)()( )()( 2 2 2 11 2 1 2 1 f N n c NN n N n c N n NN n N n N n c DDCovDVarDVarc DDVarcDDcVar NN NN = += = += = = += = += = 4. 证明证明: (2) (2) )( 1 2 /)1()( 1 2 ncYY N c nSfyV NS = = )1)( 1 2 ) )1( 1 1)(1()( 2 )1( )1( )()1()( 2 )( ,()( ,( 2 )( ,( )( ,()( ,( 2 )( ,( 2 )(, 1 (2 1 1 11 1111 1 1111 1 2 1 1 1 1 fYY N c NN n N n YY n c N n NN n YY N n N n YY n c DDDCovYDDDCovY n c DDDCovY DDDCovYDDDCovY n c DDDCovY n c DDcDY n Cov N N NN NNNN NNN NNi N i i Ni N i iN N i ii = = = += + += = = = = += + += = = = = = 4. 证明证明: (2) (2) )( 1 2 /)1()( 1 2 ncYY N c nSfyV NS = = )1)( 1 2 )(, 1 (2 11 1 fYY N c DDcDY n Cov NN N i ii = = = = )1 ( 1 2)( 2 1 f N n cDDcVar N = = )(, 1 (2)( 1 )( 1 1 1 2 N N i iiNYS DDcDY n CovDDcVarS n f yV+ =+ = = = )( 1 2 )1 ( )1)( 1 2 )1 ( 1 2 1 )( 1 2 1 22 ncYY N c n S f fYY N c f N n cS n f yV N Y NYS = + + = = + + = 5.从一个有限总体中抽了一个含量为从一个有限总体中抽了一个含量为 n=n1+ n2的简单随机样本的简单随机样本, 均值是均值是, 从 这个样本中抽了一个含量为 从 这个样本中抽了一个含量为n1的子样的子样, 均值 是。 证明 均值 是。 证明: (1) (2) (3) . y 1 y ) 11 ()( 1 2 1 nn SyyVar= ) 11 ()( 21 2 21 nn SyyVar+= 0),( 1 =yyyCov ynynyn= =+ + 2211 5. 证明证明: (1) )( 1 2 21 yy n n yy= 0 1 1 = = = = yy yEyE yyE 第一次抽样取定第一次抽样取定 第一次抽样取定 第一次抽样取定第一次抽样取定 第一次抽样取定 0 E 1 2 1 2 21 = = = 第一次抽样取定 = = = 第一次抽样取定yyE n n yyE n n yyE ynynyn= =+ + 2211 5. 证明证明: (1) )( 1 2 21 yy n n yy= )( )( )( )( 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 21 第一次抽样取定第一次抽样取定yyEE n n yyE n n yyVar n n yyVar = = = = = = 2 1 2 1 ) 11 ( )( s nn yyE = 第一次抽样取定 = 第一次抽样取定 2 1 22 1 2 1 2 1 ) 11 ( ) 11 ( )( S nn n S nn s nn E yyE = = = = 2 21 2 21 2 1 2 2 2 2 1 2 2 21 ) 11 ( )()( S nn S nn n S nn n n n yyE n n yyVar += = = += = = 5. （3） 2 )()()( ),( ),(2)()()( 11 1 111 yVaryyVaryVar yyyCov yyyCovyVaryyVaryVar + = + = + + + = = ) 11 ()( 2 Nn SyVar= 0),( 1 = = yyyCov ) 11 ()( 1 2 1 nn SyyVar= ) 11 ()( 1 2 1 Nn SyVar= 0),( 1 = = yyyCov p11 习题一习题一 1 .概括概括普查普查和和抽样调查抽样调查的优缺点。考虑确保这 些调查获得成功的前提条件和注意事项。 的优缺点。考虑确保这 些调查获得成功的前提条件和注意事项。 p11 习题一习题一 1 .普查：普查：对研究对象的对研究对象的全体全体进行进行全面全面调查调查. 优点优点优点优点：获得全面的信息。：获得全面的信息。 缺点缺点缺点缺点：需投入大量的人力、物力，且时间较长。：需投入大量的人力、物力，且时间较长。 概率抽样调查概率抽样调查: :非非非非全面全面全面全面调查中运用调查中运用概率统 计 概率统 计理论指导的抽样调查方法。理论指导的抽样调查方法。 优点优点优点优点：1.节约人力、物力节约人力、物力,节省时间。节省时间。 2.利用已知信息利用已知信息,设计适宜的抽样方案设计适宜的抽样方案, 获得有代表性的样本获得有代表性的样本 , 从而对总体 的特征指标做出好的估计及误差。 从而对总体 的特征指标做出好的估计及误差。 缺点缺点缺点缺点：获得非全面的信息。：获得非全面的信息。 p11 习题一习题一 2 .有人说：有人说：“只有确信样本能很好地代表总体， 调查研究人员才能肯定样本均值与总体均值相 一致。但是研究人员不能绝对地肯定样本是否 真正有代表性，他总要允许分析结果有一个较 小的误差范围。 只有确信样本能很好地代表总体， 调查研究人员才能肯定样本均值与总体均值相 一致。但是研究人员不能绝对地肯定样本是否 真正有代表性，他总要允许分析结果有一个较 小的误差范围。”你对这段话有何评述你对这段话有何评述？ p11 习题一习题一 2 . 样本是构成总体的一部分，这部分单元的特 征或多或少地反映了总体的特征。但是，它毕 竟是总体的一部分，而非全部，没有任何一个 人在未进行全面调查就断言： 样本是构成总体的一部分，这部分单元的特 征或多或少地反映了总体的特征。但是，它毕 竟是总体的一部分，而非全部，没有任何一个 人在未进行全面调查就断言：“它取得的样本能 很好的代表总体 它取得的样本能 很好的代表总体”，多数抽样的情况是：样本与 总体的特征有所偏离，即误差。我们在抽样时 ，多数抽样的情况是：样本与 总体的特征有所偏离，即误差。我们在抽样时 利用已知信息利用已知信息, 设计适宜的抽样方案设计适宜的抽样方案, 获得有代 表性的样本 获得有代 表性的样本 , 从而对总体的特征指标做出的估计 的误差就会得到有效的控制。 从而对总体的特征指标做出的估计 的误差就会得到有效的控制。 p11 习题一习题一 3. 假定你对一本厚厚的英文字典进行研究， 调查书中的收词总数。你认为以什么作为 抽样单元比较合理？如果被调查的书中有 大幅的插图，该如何处理？ 假定你对一本厚厚的英文字典进行研究， 调查书中的收词总数。你认为以什么作为 抽样单元比较合理？如果被调查的书中有 大幅的插图，该如何处理？ p11 习题一习题一 3 . 一页作为一个一页作为一个抽样单元抽样单元抽样单元。抽样单元。 首先首先首先，抽取一部分单元，估计出大幅插图的页 在字典中所占的比例。将总体分为 首先，抽取一部分单元，估计出大幅插图的页 在字典中所占的比例。将总体分为两层两层两层， 一层 是普通的页，另一层是有大幅插图的页。然后 再从总体中随机抽取若干页，统计每页在哪一 层以及每页收录词条数，然后按 两层， 一层 是普通的页，另一层是有大幅插图的页。然后 再从总体中随机抽取若干页，统计每页在哪一 层以及每页收录词条数，然后按后分层估计后分层估计后分层估计给 出该字典收录词条总数。或者进行 后分层估计给 出该字典收录词条总数。或者进行定额抽样定额抽样定额抽样。定额抽样。 p11 习题一习题一 4. 设计一个完整的抽样框是不容易的，在下述 调查中可以使用什么作为抽样框？ 设计一个完整的抽样框是不容易的，在下述 调查中可以使用什么作为抽样框？ (1)调查一个市镇每周每个成年人用于看电视的 总时数； 调查一个市镇每周每个成年人用于看电视的 总时数； (2)调查某一城市中服装商店或商贩出售某一品 牌服装的情况； 调查某一城市中服装商店或商贩出售某一品 牌服装的情况； (3)调查某一城市中去年发现患肺结核的人数。调查某一城市中去年发现患肺结核的人数。 p11 习题一习题一 4 .(1) 以该市镇的每一个居民区作为抽样框；以该市镇的每一个居民区作为抽样框； (2) 以该市的街区作为抽样框；以该市的街区作为抽样框； (3) 以该市的所有防疫站作为抽样框；以该市的所有防疫站作为抽样框； p11 习题一习题一 5 .某刊物随刊物发行附有一张调查表，要求 读者填表后返回。调查人员对寄回的调查表 进行了分析，试问这是不是概率的随机调查？ 如何看待调查结果？ 某刊物随刊物发行附有一张调查表，要求 读者填表后返回。调查人员对寄回的调查表 进行了分析，试问这是不是概率的随机调查？ 如何看待调查结果？ p11 习题一习题一 5 .这不是概率随机抽样，是这不是概率随机抽样，是自愿自愿自愿自愿“ “抽样抽样抽样抽样” ”，报刊、 电视、互联网等媒体上进行的调查的受访者大 多是自愿参与的，这种志愿者组成的样本的代 表性是 ，报刊、 电视、互联网等媒体上进行的调查的受访者大 多是自愿参与的，这种志愿者组成的样本的代 表性是有疑问有疑问有疑问的，因为参加调查的往往是那些 对调查问题很感兴趣的单元，不那么感兴趣的 人参加的可能性则很小。这些感兴趣的人的观 点往往是 有疑问的，因为参加调查的往往是那些 对调查问题很感兴趣的单元，不那么感兴趣的 人参加的可能性则很小。这些感兴趣的人的观 点往往是偏激的偏激的偏激的，由此作出的推断也必然是不 具有很好代表性的 偏激的，由此作出的推断也必然是不 具有很好代表性的. p12 习题一习题一 6. 从从100只试验兔子中抽只试验兔子中抽10只作试验。研究人 员从一个圈养场中，不经挑选地抓到哪只算 哪只，抓满 只作试验。研究人 员从一个圈养场中，不经挑选地抓到哪只算 哪只，抓满10只为止。这是不是合适的抽样 方法？ 只为止。这是不是合适的抽样 方法？ p12 习题一习题一 6 .这这不不不是概率随机抽样， 注意随机并不等于随便。 不是概率随机抽样， 注意随机并不等于随便。 p50 习题二习题二 1 .对对N个个体单元的总体抽样，先从个个体单元的总体抽样，先从N个单元中 按简单随机抽样抽出 个单元中 按简单随机抽样抽出n个样本单元，再对这个样本单元，再对这n个 单元按简单随机抽样抽出 个 单元按简单随机抽样抽出m个样本单元个样本单元(mn)。 试证明，此 。 试证明，此m个样本单元是总体个样本单元是总体N个单元的一个 简单随机样本。 个单元的一个 简单随机样本。 p50 习题二习题二 1 .不记顺序，每一具体样本的概率为不记顺序，每一具体样本的概率为 m N m n n N mn mN CN mmN mnmnnNnN nNmnmN CC C 1 ! !)!( )!( !/(!)!( !/(! )!()!/()!( = = = = = = p52 习题二习题二 10.在简单随机抽样中，若总体每个单元有两个 指标 在简单随机抽样中，若总体每个单元有两个 指标Yi 和和 Xi（i =1,N），所得），所得n个样本单元相 应指标记为 个样本单元相 应指标记为 yi和和 xi（i =1,n） ，试证样本协 方差 是总体协方差 的无偏估计。 ） ，试证样本协 方差 是总体协方差 的无偏估计。 = = = = n i iiyx xxyy n s 1 )( 1 1 )( 1 1 1 XXYY N S N i iiYX = = = = 第二章习题二第二章习题二10 证明：证明： = = = = n i ii n i iiyx yxnxy n xxyy n s 1 1 1 1 )( 1 1 = = N i ii N i iii n i ii N i iii n i ii XY N n DEXYxyEDXYxy 11111 )()( = = 未被抽中未被抽中个单元第 被抽中个单元第 个单元第 被抽中个单元第 i i i Yi Yi D 0 1 = = N i ii N i iii n i ii N i iii n i ii XY N n DEXYxyEDXYxy 11111 )()( += = n ji ji n i ii n j j n i i yxyx n yx n yx 1 2 11 2 11 = N ji ji n ji ji N ji jiji n ji ji NN nn YXyxEDDYXyx ) 1( ) 1( )( + = = = = N ji ji N i ii N i ii n i iiyx NN nn YXXY N n n XY N n n yxnExyE n sE ) 1( ) 1(1 1 1 )()( 1 1 )( 11 1 YX N i ii N i N j ji N i ii N i ii N ji ji N i ii N ji ji N i ii N ji ji N i ii N i iiyx SYX N N XY N YXXY NN XY N YX NN XY N Y