地图的数学基础课件

第2章地图的数学基础,1地球体2地球坐标系与大地定位3地图投影4地图投影的应用,1地球体,1.1地球的自然表面,地表是一个高低起伏、极其复杂的表面。,地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。,1.2地球的物理表面-大地水准面当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面（geoids）。它实际是一个起伏不平的重力等位面地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。,1.3地球的数学表面旋转椭球面（1）概念：旋转椭球体：是一个与大地体近似的、由长短半径组成的椭圆沿其短轴旋转而成的椭球体。这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体,它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量和制图的基准面。,椭球体要素:长轴a（赤道半径）、短轴b（极半径）和椭球的扁率,对a，b，的具体测定是近代大地测量的一项重要工作。,椭圆的第一偏心率,椭圆的第二偏心率,椭球的扁率,几种常见的椭球体参数值,（2）参考椭球体及地球椭球体定位对地球形状a，b，f测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体参考椭球体，这项工作就是椭球体定位：确定参考椭球体，进而获得大地测量基准面和大地起算数据的工作。基准面：利用特定椭球体对特定地区地球表面的逼近椭球体与基准面之间的关系？如前苏联的Pulkovo1942、非洲索马里的Afgooye基准面都采用了Krassovsky椭球体,p,p0,参考椭球面,中国1953年前采用海福特（Hayford）椭球体；19531980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台）；自1980年开始采用GRS1975（国际大地测量与地球物理学联合会IUGG1975推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。,陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点大地原点。,地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。,2地球坐标系与大地定位,2.1地理坐标用地理经纬度表示地面点位的球面坐标。,天文经纬度大地经纬度地心经纬度,天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。北极星任意时角法中天法,2.1地理坐标,天文经度：过观测点子午面与本初子午面间的两面角。,天文纬度：赤纬，观测点铅垂线与赤道平面间的夹角。,大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度l、大地纬度。,2.1地理坐标,大地经度l：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。,大地纬度：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。地表面相邻两点经度之差称为经差，某两点纬度之差称为纬差。,子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径,法截面：过椭球体表面上一点作一法线，过法线的平面所作的截面称为法截面，法截面和地面的交线形成的弧段称为法截弧。主法截面：互为正交的法截面称为主法截面子午圈截面：通过该点的法线且又同时通过椭球体极轴的法截面称为子午圈法截面。卯酉圈截面：通过该点法线并垂直于子午圈截面的法截面，称为卯酉圈截面。,卯酉圈曲率半径以字母N表示：,平均曲率半径R,纬圈的半径r,a为椭球体的长半径；e为第一偏心率，当椭球体选定后，a、e均为常数，为纬度。子午圈曲率半径M:,制图用表,地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度l，地心纬度是指参考椭球面上观测点和椭球质心或中心连线与赤道面之间的夹角y。,2.1地理坐标,2.2大地坐标系与地心坐标系,大地坐标系：以参考椭球面为参考面，以法线为参考线，用大地经纬度表示地面点在参考椭球面上位置的空间坐标系地面点位置用大地经度l、大地纬度和大地高H表示。地心坐标系:以地球的质心作为坐标原点的坐标系称之为地心坐标系,WGS-84世界大地坐标系WGS-84是CTS,坐标系的原点是地球的质心，Z轴指向BIH1984.0CTP方向，X轴指向BIH1984.0零子午面和CTP赤道的交点，Y轴和Z、X轴构成右手坐标系,2.3投影平面坐标系,（1）平面直角坐标系当测量或制图范围较小时，可以把该区域的球面视为水平面，将地面点直接沿铅垂线方向投影到水平面上，以相互垂直的纵横轴建立平面直角坐标系。（2）平面极坐标系以向径和极角构成的点位二维平面坐标系。,2.4高程参照系与高程基准,1.高程参照系（1）概念高程参照系是测绘和计算地面点高程大小的参照系统。高程基准面：就是地面点高程的统一起算面。通常采用大地水准面作为高程基准面。高程：地面上的点相对于高程基准面的高度，通常称为绝对高程或海拔高程，也简称为标高或高程。（2）高程参照系的建立建立一个统一的高程基准面，然后建立起高程控制网，并确定一个高程起算点。2.1956年黄海高程系统：1950年至1956年7年间青岛验潮站的潮汐资料推求的平均海水面作为我国的高程基准面。3.1985国家高程基准：根据青岛验潮站19521979年中取19年的验潮资料计算确定，并从1988年1月1日开始启用。,2.5大地测量系统,一.中国的大地坐标系,54北京坐标系,80西安坐标系,1954年北京坐标系1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸。它的原点不在北京，而在前苏联的普尔科沃。相应的椭球为克拉索夫斯基椭球。1954年北京坐标系的缺限:椭球参数有较大误差。参考椭球面与我国大地水准面存在着自西向东明显的系统性的倾斜，在东部地区大地水准面差距最大达+68m。几何大地测量和物理大地测量应用的参考面不统一我国在处理重力数据时采用赫尔默特19001909年正常重力公式，与这个公式相应的赫尔默特扁球不是旋转椭球，它与克拉索夫斯基椭球是不一致的，这给实际工作带来了麻烦定向不明确。,1980年国家大地坐标系特点采用1975年国际大地测量与地球物理联合会IUGG第16届大会上推荐的5个椭球基本参数。长半径a=6378140m,地球的扁率为1/298.257地心引力常数GM=3.9860051014m3/s2,重力场二阶带球谐系数J2=1.0826310-8自转角速度=7.29211510-5rad/s定向明确。椭球短轴平行于地球质心指向地极原点的方向多点定位大地原点地处我国中部，位于西安市以北60km处的泾阳县永乐镇，简称西安原点。大地高程基准采用1956年黄海高程系,有了Spheroid和Datum两个基本条件，地理坐标系统便可以使用。完整参数：AngularUnit:Degree(0.017453292519943299)PrimeMeridian:Greenwich(0.000000000000000000)Datum:D_Beijing_1954Spheroid:Krasovsky_1940SemimajorAxis:6378245.000000000000000000SemiminorAxis:6356863.018773047300000000InverseFlattening:298.300000000000010000,二、大地控制网,平面控制网:按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。,2.2中国的大地坐标系统,由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。,高程控制网:按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。,中国高程起算面是黄海平均海水面。1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局公布：启用1985国家高程基准取代黄海平均海水面其比黄海平均海水面上升29毫米。,青岛观象山水准原点,2.2中国的大地坐标系统,三、全球定位系统-GPS授时与测距导航系统/全球定位系统(NavigationSatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem-GPS)：是以人造卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时动态定位、定时及导航服务。,1.GPS系统由三个独立的部分组成,空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们在高度20200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上，轨道倾角55，两个轨道面之间在经度上相隔60，每个轨道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。,地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。,用户设备部分：GPS接收机接收卫星信号，经数据处理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点的距离和航向或提供图示。,2.GPS系统定位原理,数据，组成3个方程式，就可以解出观测点的位置（X,Y,Z）。考虑到卫星的时钟与接收机时钟之间的误差，实际上有4个未知数，X、Y、Z和钟差，因而需要引入第4颗卫星，形成4个方程式以求解，从而得到观测点经纬度和高程。,通过测量卫星信号到达接收机的时间延迟，即可算出用户到卫星的距离。再根据三维坐标中的距离公式，利用3颗卫星的,3地图投影,要点：地图投影的概念及变形，不同投影的分类与特点，世界、区域和中国常用投影，投影的选择和判别，我国地形图投影,一、地图投影的概念1.内涵解决的问题：地球球面与平面之间的矛盾（球面到平面转换、变形大小）内涵：如何解决地球球面到地图平面的科学转换而又使变形最小的科学问题,地图投影的实质：是将地球椭球面上的经纬网按一定的数学法则转移到平面上。,2.地图投影的定义,地图投影定义：研究解决把地球椭球体面上的经纬网按照一定的数学法则转绘到平面上的方法及其变形的科学问题,二地图投影的变形（一）地图投影变形的概念1.投影变形产生原因地球的形状2、由地球球面向平面投影时引起的经纬网几何特征的变化，称为投影变形。,（二）研究变形的方法研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地球仪上经纬线网格比较而实现的。,比较,球面经纬网经过投影之后，其几何特征受到扭曲地图投影变形：长度（距离）、角度（形状）、面积。,1.变形椭圆取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。,（三）变形的表示,为经线长度比；,为纬线长度比,微小圆变形椭圆,该方程证明:地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即：以O为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。,代入：X2+Y2=1，得,主方向（底索定律）：”无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍然保持其正交关系”。在投影后仍保持正交的一对线的方向成为主方向。取主方向为作为微分椭圆的坐标；在主方向上，具有极大和极小长度比,经纬线方向就是主方向？,通过变形椭圆形状显示变形特征,结论：变形椭圆长、短半轴的大小，等于该点主方向的长度比。也就是说，如果一点上主方向的长度比（极值长度比）已经确定，则变形椭圆的大小和形状即可确定。,2.等变形线常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。等变形线就是变形值相等的各点的连线，它是根据计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内的，如面积等变形线。,等变形线在不同的投影图上，具有不同的形状,3.投影变形的性质和大小（1）长度比和长度变形dsds投影面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。用公式表示为：=ds/ds长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之比。(微分椭圆),研究最大长度比（a）和最小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。在主方向上，具有极大和极小长度比。,长轴方向（极大值）a短轴方向（极小值）b经线方向m；纬线方向n,据阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2mnsinq=ab,特殊方向,长度变形就是长度比（）与1之差，用v表示长度变形则：v=-1,=0不变;0变大;0变大;0变小,（3）角度变形投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以表示角度最大变形。,2.数学解析法,1.几何透视法,所谓解析法就是不借助于几何投影光源,按照某些条件用数学分析法确定球面与平面之间点与点之间一一对应的函数关系,几何透视法是利用透视的关系，将地球体面上的点投影到投影面（借助的几何面）上的一种投影方法。,三地图投影的基本方法,x=f1(j,l)y=f2(j,l),投影计算举例,以等角正轴圆锥投影为例经差l与投影面上d成正比：d=cl（c为圆锥系数，0c1割投影美通用极球面投影、我1：100万高纬地区投影,2）正轴等距方位投影波斯特m=1,方位与实地一致两极地区联合国国徽,（1）正轴方位投影,（2）横轴方位投影,1）横轴等距方位投影变形都有，适中，在中央经线上，纬线间隔相等；在赤道上，自投影中心向西，向东，经线间隔逐渐扩大。东西半球,2）横轴等积方位投影面积不变，在中央经线上纬线间隔是逐渐缩小的；在赤道上，自投影中心向西，向东，经线间隔也是逐渐缩小的。离开无变形点愈远，长度、角度变形愈大东西半球,（3）斜轴方位投影,1）斜轴等距方位投影变形都有，适中，中央经线上纬线间隔相等。航行半径图、地震影响范围图、交通等时线图等。,2）斜轴等积方位投影在中央经线上纬线间隔逐渐减小面积不变，离开无变形点愈远，长度、角度变形愈大水陆半球图、亚洲地图、欧亚地图、北美洲地图、拉丁美洲地图、大洋洲及全球航空图等。中华人民共和国全图,（1）总体特征距标准纬线相等距离的地方，变形数量相等，等变形线与纬线平行。变形只与纬度有关，与经差无关，同一纬线上的变形是相同的切圆锥投影中，标准纬线上长度比等于n=1，其余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大；在割圆锥投影中，标准纬线n1=n2=1,变形自标准纬线向内、向外增大，在两条标准纬线之间n1.中纬度地区沿纬线方向东西延伸区域的地图,2.圆锥投影（正轴）,（2）割圆锥投影变形特征,1）等角：m=n,从两条标准纬线向外，纬线间距逐渐增大。从两条标准纬线逐渐向里，纬线距离缩小我国新编百万分之一、全国1：400万、1：600万挂图及全国性的普通地图和专题地图等。2）等积：在两条标准纬线向外，纬线间距是逐渐缩小的全国性的自然地图中的分布图、类型图、区划图、社会经济地图中的行政区划图、人口密度图、土地利用图等。3）等距：两条标准纬线内面积变形向负方向增大，两条标准纬线之外，面积变形向正方向增加。角度变形离标准线越远变形越大。最明显的特点：纬线间隔相等。编制各种教学用图，前苏联的苏联全图。,切圆锥投影？,等积伪圆锥投影。纬线为同心圆弧，其长度比等于1，中央经线为直线，其长度比等于1，其他经线为对称于中央经线的曲线。在每一条纬线上的经线间隔相等，在中央经线上纬线间隔相等，中央经线与所有的纬线正交。中央纬线与所有的经线正交。中央经线和中纬线是两条没有变形的线。离开这两条线越远变形越大。,3.伪圆锥投影彭纳投影,彭纳投影主要用于编制中纬小比例尺的区域图。,世界地图集中的亚洲政区图，英国泰晤士世界地图集中的澳大利亚与西南太平洋地图,（三）中国地图常用投影,连续完整表示南海诸岛的中国全图常用斜轴方位投影仅反应陆上疆域的常选择割圆锥投影。（南海插图-割圆锥或正轴圆柱）根据编制不同内容的中国地图选择不同变形性质的投影类型斜轴等积-中国全图、亚洲图或半球图斜轴等角割方位-中国全图斜轴等距方位-中国政区图、交通图以及各种教学用图正轴等角割圆锥-全国及各省区或大区的地势图、气象与气候图及其他要求方向正确的地图正轴等积割圆锥-行政区划图及其他要求面积无变形的地图正轴等距割圆锥-教学,六地图投影的命名,例:横轴等积方位投影正轴等角割圆锥投影正轴等角切圆柱投影（墨卡托Mercator投影）,七、我国地形图投影,（一）高斯-克吕格投影（横轴等角切椭圆柱投影）1、基本思想（概念）以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。,2.特点,分带中央经线与赤道投影成相互正交的直线,直角坐标系的坐标轴无角度变形中央经线上无长度变形，其余经线长度比均大于1在同一条纬线上，长度变形随距中央经线距离的增大而增大在同一条经线上，长度变形随纬度的降低而增大变形最大的点?,但最大长度、面积变形分别仅为+0.14和+0.27（6带），,经差6或3分带，长度变形0.14%,3.分带,中国国家基本比例尺地形图采用高斯-克吕格投影：6分带:12.5万、15万、110万、125万、150万。中央经线与带号的关系：L。=（6n-3)L。=（6n-3)-3603分带;11万。中央经线与带号的关系：L。=3n,yA=245863.7myB=-168474.8m,yA通=20745863.7myB通=20331525.2m,（1）投影平面直角坐标系,4、投影平面直角坐标系与坐标网,(2)方里网由平行于投影坐标轴的两组平行线所构成的方格网。又称直角坐标网。作用：大比例尺地图上，方便展绘点位和读图上地理坐标表示：1：1万1：25万地图上绘出方里网,(3)经纬线网经线和纬线构成的坐标网，又称地理坐标网。作用：控制和确定地表各点和整体地形的实地位置；用于分析和计算投影变形；确定比例尺、量算不可缺少表示：1：5千1：25万以图廓形式表示，内外图廓间分度带中绘出1短线1：50万1：100万图面直接绘出,（4）邻带方里网：,规定：在一定范围内将邻带的坐标延伸到本带的图幅中。,（二）中国新编百万分一地形图投影,新编国际百万分一地图采用双标准纬线等角圆锥投影，自赤道起按纬差4分带，北纬84以北和南纬80以南采用等角方位投影。,中国1100万地形图编绘规范规定采用边纬线与中纬线长度变形绝对值相等的双标准纬线等角割圆锥投影,按纬差4分带长度变形最大值:0.03%面积变形最大值:0.06%,八、地图投影的选择1.制图区域的地理位置、形状和范围（1）制图区域地理位置决定了所选择投影的种类。,极地赤道附近中纬地区,（2）制图区域形状直接制约地图投影的选择。中纬度地区:沿纬线方向延伸的长形（宽）区域沿经线方向南北延伸的长形区域圆形区域低纬赤道附近:沿东西方向长条形区域圆形区域,单（双）标准纬线正轴圆锥投影,多圆锥投影,斜轴方位投影,正轴圆柱投影,横轴方位投影,（3）制图区域的范围大小也影响地图投影的选择,范围小时，无论什么投影方式都无太大变形差异；对于区域广大的地图需要慎重的选择投影。,（1）墨卡托投影（MercatorProjection）,（2）空间斜轴墨卡托投影（SpaceObliqueMercatorProjection,（3）桑逊投影（SansonProjection）,（4）摩尔维特投影（MollweideProjection）,世界地图,（1）横轴等积方位投影（Lambert，sAzimuthalEquivalentProjection）,（2）横轴等角方位投影（TransverseAzimuthalOrthomorphicProjection）,（3）正轴等距方位投影（PostelsProjection）,半球图,（1）斜轴等积方位投影（ObliqueEqual-areaProjection）,（2）正轴等角/等积圆锥投影,（3）彭纳投影（BonneProjection）,分州、分国地图,表现的主题和内容-变形性质。交通图，航海图，航空图自然地图和社会经济地图中的分布图，类型图，区划图世界时区图,等角投影,等积投影,经线投影成直线的正轴圆柱投