工程水文水文第四章统计31

,四、频率与重现期的关系,频率是一个抽象的数理统计术语，不易被一般人理解，为通俗起见，采用重现期的概念。有时重现期与频率并用。,重现期：指某一随机变量的取值在长时间内平均多少年出现一次（多少年一遇）的意思。,注意：水文现象一般无固定的周期。百年一遇的洪水不能理解为恰好每隔100年遇上一次。,重现期与频率的关系：,1、防洪P50%(水库兴利调节）,T=,（年）,例：P=80%T=1/0.2=5年,含义：小于等于这样的枯水平均5年遇到一次。,例：某水库设计洪水的设计标准为百年一遇，在连续5年内不发生超标准洪水的可能性为多少？,=0.95,第五节水文频率计算适线法,适线法（配线法）是以经验频率点据为基础，在一定适线原则下，给这些经验点据选配一条拟合最好的理论频率曲线。并优选参数。其实质是通过样本的经验分布去探讨总体的分布。,采用理论频率曲线的原因：经验频率曲线计算量小，绘制简单查用方便。但受实测资料限制，往往难以满足工程设计要求因为在水文计算中，常需推求p=1%或p=0.1%,甚至更稀遇的设计值，而实测值只有几十年。必须将经验频率曲线外延。为避免外延的任意性，常借助于理论频率曲线。,适线法主要有两大类：,目估适线法,优化适线法,一、目估适线法用目估方法选配一条与经验点据拟合良好的理论频率曲线,具体步骤：,1、将实测资料由大到小排序，计算各项的经验频率,2、选定水文频率分布线型,（一般选用皮尔逊三型）,3、假定一组参数,（可用矩法或其他方法求出三个参数值作为第一次假定值）,4、由,计算不同的P对应的,值,5、点绘,点据，分析人员凭经验判断调整参数，看与经验点据配合的情况,若不理想，则修改参数再次计算。,由于频率曲线含有三个参数，无法同时判断哪种组合最优修改参数时，先考虑改变,其次考虑改变,必要时调整,6、根据频率曲线与经验点据的配合情况，选出一条与经验点据配合较好的曲线作为采用曲线，相应于该曲线的参数作为总体参数的估值。,为避免修改参数的盲目性，需了解,对频率曲线的影响,二、统计参数对频率曲线的影响,1、均值,若,不变,（1）均值大的频率曲线位于均值小的频率曲线之上,（2）均值大的频率曲线比频率小的曲线陡,2、变差系数,为消除均值的影响，以模比系数k为变量,越大，说明随机变量相对于均值越离散,增大，有使整个频率曲线顺时针旋转的作用,3、,变陡，下段边平，中段变低。,若,不变，则当,增大，将使频率曲线上段,某站有实测洪峰资料21年，总体分布选定为,型,根据该资料用矩法初选参数配线，并推求百年一遇的洪峰流量,假定,=2,由,=0.5,在通常情况下，当经验点据分布较有规律时，均值的调整一般在5%以下，不宜超过10%，变差系数的调整幅度约为15%-30%。,适线时要注意：,（1）尽可能照顾全部点据分布趋势，照顾多数点据，使频率曲线通过点据中心。当点据较散乱时，对洪水可适当照顾上部和中部点据。,（2）分析经验点据的精度（包括它们的横、纵坐标），使曲线尽量接近或通过比较可靠的点据。,(3)历史洪水，特别是为首的少数几个历史洪水，一般精度较差，适线时，不宜机械地通过这些点据，而使频率曲线脱离点据群，但也不能不照顾点据，使曲线离这些特大值过远。,目估适线法的缺点：,(1)适线成果往往因人而异，难以避免主观任意性,(2)在一张频率格纸上要求同时优选三个参数较困难，采用经验比值，有时很难从水文现象本身去解释。,二、优化适线法,优化适线是在一定的适线原则下，求解与经验点据拟合最优的频率曲线的参数的方法,优化适线拟合最优的准则：,离差平方和最小,（一）、离差平方和最小准则,根据数学分析中函数极值原理，这样的参数,必满足方程组,如果它存在的话，则最小二乘最优解,一般是存在的。,函数。,由于目标函数对参数的非线性，方程组对参数也是非线性的，不可能直接求出显式参数解，一般采用迭代法，求近似数值解。,（二）、离差绝对值最小准则,这时要估计参数,使目标函数,达到极小值。,由于上述目标函数的复杂性，无法对它求导数，以至无法采用分析方法构造一个合理的迭代程序来求解参数，常用搜索法。,（三）、相对离差平方和最小准则,这时适线的目标函数为：,寻优过程可采用迭代法。,上述三种适线准则，主要的差别在于对误差规律的不同考虑。,离差平方和最小法的基本假定是误差方差是均匀的，假定误差方差不随观测值而变化。,但是，系列误差随其量值而变化，并不符合上述假定，而且在频率计算中，大洪水，尤其是少数历史洪水点据误差最大，与频率曲线的偏离最大，再经平方，这些点据的离差在整个目标函数中起的作用也大，影响设计洪水的计算精度。,绝对值和最小准则的基本假定是，绝对值误差不随系列而变，也迁就了大洪水，但其影响不及上法。,相对离差平方和最小准则的基本假定是系列相对误差不变。这个假定较前两假定更符合实际资料条件。可获得较好的精度。,第六节相关分析,一、相关分析的概念,前面分析的只是一种随机变量的变化规律。自然界中常遇到两种或两种以上的随机变量，这些变量之间存在一定的联系。,相关分析：,研究两个或两个以上随机变量之间的关系,1、水文相关分析的目的和任务,建立二随机变量X，Y或多个随机变量之间的相关线（图形）或相关方程，利用所建立的关系进行资料插补或展延，提高资料的代表性，增加水文计算成果的可靠性。,2、相关的种类,根据变量之间相互关系的密切程度，变量间的关系有3种情况,（1）完全相关（函数关系）：两变量X、Y一一对应，给定一个X值，有一个完全确定的Y值与之对应例：,Y=AX,（2）零相关,2变量之间互不影响，相关点据杂乱无章或完全独立（成水平线）,（3）统计相关,若变量之间的关系既不属于完全相关，也不是零相关，介于完全相关和零相关之间。,水文上比较常见的是统计相关。,统计关系的点据绘在坐标纸，能发现点据有些散乱，但有明显的趋势。可用图或数学方程近似表示。可以是直线，也可以是曲线。,研究2个变量的相关关系，称为简相关，在水文中常见,研究3个或3个以上变量的相关关系-复相关,按相关图形可分为：,直线相关,非直线相关,3相关分析的内容（1）判断变量之间是否存在相关（2）确定相关关系的数学形式和相关的密切程度（3）插补延长倚变量，并作误差分析。,二、简单直线相关,1、相关图解法,由图，二者之间有直线变化趋势。通过点群中部画一直线，这条直线有一重要特点：通过,图解法直观简便，但缺乏相关程度的判断，此外，目估定线存在一定的任意性，为精确起见，最好采用计算方法。,2、相关计算法（分析法）,用回归方程求解，结果比较统一。,建立回归方程第一步：确定线型直线，x1，x2，xny1，y2，ynxi，yi表示相关变量x（自变量）、y（倚变量）的实测值,y=a+bx,a,b为待定参数。,任取一点，观测点与回归方程在纵坐标上的离差为,根据最小二乘原理，求出一条与所有点据的纵离差的平方和最小,欲使上式取得极小值,可分别对a,b求一阶导数,2,相关系数,相关系数r,表示2变量间关系的密切程度。,y倚x的回归方程,若由y求x，则用x倚y的回归方程,注意：由回归方程所定的回归线，只是观测资料平均关系的配合线，观测点不会完全落在回归线上。,三、相关分析的误差,1、回归线的误差,回归线仅是观测点据的最佳配合线，回归线只反映2变量间的平均关系，利用回归线插补展延系列时，总有一定的误差，为衡量回归线与观测点之间的误差大小，一般采用均方误表示。,同理，x倚y回归线的均方误,注意：Sy与Y的均方差在性质上是不同的,Sy是观测点与回归线之间的离差求得的,观测点与它的均值之间的离差求得的,n:系列项数n-2:自由度,按照误差原理，可能取值Yi落在回归线两侧一个均方误范围内的概率为68.27%，落在三个均方误范围内的概率为99.7%,2、相关系数及其显著性检验,（1）相关系数r：表示2变量间相关密切程度的一个指标,a.若,表示（Xi，Yi）均落在回归线上,X，Y为函数关系。完全相关。,b.,达到最大，Y与X毫无直线关系，为零相关,c.,越接近1，Sy越小，点据越接近回归直线，r为正，为正相关，r为负表负相关,样本的相关系数存在抽样误差，因此，即使总体不相关，样本的相关系数并不都为0，而是一个以0为中心的正态分布。,相关分析中，相关系数是由有限的实测样本资料计算出来的，当抽样误差很大时，可能把总体不相关的2变量，错误地认为是相关的，为推断2变量间是否存在相关关系，需对样本相关系数进行统计检验。,r的检验是在一定信度水平下进行的，信度以概率形式给出,对于给定的样本容量n值，可算出临界的相关系数,则有很大的把握认为总体是相关的，犯错误的可能性为,信度水平的选定，一般随所研究的问题而异，多采用5%，有时用1%。,数理统计中，已制成不同n和,所对应的,值供查用。,例：某站有1932年至1965年的年降雨资料，及该站1954年至1965年年径流资料，试作相关分析。,步骤：1、分析2者之间在成因上是否有联系,2、判断相关形式,3、建立相关方程,4、根据公式计算方程参数及相关系数,5、计算回归线的均方误,6、对相关系数进行可靠性检验,7、利用建立的方程进行年径流资料的展延,四、直线回归的扩充,有些水文现象间的关系，并不表现为直线关系。而具有曲线相关的形式。如：Z-Q，A-Qm.有些简单的曲线形式，可通过变量代换转化为线性关系，仍能用直线相关法进行计算。,对于幂函数：,等式两边取对数可得：lgy=lga+blgx,令Y=lgy和X=lgx，则Y=c+bX,式中c=lga,对于指数函数：,等式两边取对数：lgy=lga+bxlge,令lgy=Y,lga=c,blge=d,X=x,Y=c+dX,这样就可对新变量作直线回归分析了。,五、复相关,以上讨论的只是2个变量间的相关，其中倚变量只与一个自变量有关。,复相关中最简单而用得最多的是多元线性回归。其分析原理与简单回归相同。但计算上复杂些。,复相关中主要影响因素不止一个，而且其中任何一个都不能忽视,在一些水文问题中，影响倚变量的因素不止一个而是多个。研究3个或3个以上变量的相关，称为复相关。又称多元相关。,设多元线性回归方程为,其中