第五六讲两自由度系统的振动

第四章两自由度系统振动,当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，那么这个系统就是两个自由度系统。,两自由度系统是最简单的多自由度系统。,两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立的微分方程组成。,两自由度系统有两个固有频率及固有振型。,在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固有振型叠加。,强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时的振型就是与固有频率相应的固有振型。,4.1两自由度系统振动微分方程4.2两自由度系统的自由振动,主要内容,最简单的单自由度振动系统就是一个弹簧连接一个质量的系统，如图所示的弹簧-质量系统。,弹簧-质量系统有一个共同的特点：当受扰动离开平衡位置后，在恢复力作用下系统趋于回到平衡位置，但是由惯性它们会超越平衡点。超越后，恢复力再次作用使系统回到平衡位置。结果系统就来回振动起来。,简谐振动,5,4.1两自由度系统振动微分方程,例1如图4.1-1(a)所示的无阻尼两质量-弹簧系统，可沿光滑水平面滑动的两个质量m1与m2分别用弹簧k1与k3连至定点，并用弹簧k2相互联结。,取m1与m2的静平衡位置为坐标原点，描述m1与m2位置的坐标为x1和x2。,取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致，根据牛顿运动定律有,系统的受力如图4.1-1(b)所示。,图4.1-1,方程(4.1-1)就是图4.1-1所示的两自由度系统自由振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。,方程(4.1-1)可以使用矩阵形式来表示，写成,移项得,(4.1-1),(4.1-2),由系数矩阵组成的常数矩阵M和K分别称为质量矩阵和刚度矩阵，向量x称为位移向量。,例2：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力,不计摩擦和其他形式的阻尼,试建立系统的运动微分方程,8,解：,1、建立坐标：,设某一瞬时：,上分别有位移,加速度,受力分析：,m1与m2的任一瞬时位置只要用和两个独立座标就可以确定，系统具有两个自由度,2、分别列出m1与m2的自由振动微分方程,矩阵形式,质量矩阵,刚度矩阵,3、写成矩矩阵形式,位移矢量,激振力矢量,11,例3：转动运动,两圆盘,转动惯量,轴的三个段的扭转刚度,试建立系统的运动微分方程,外力矩,12,解：,1、建立坐标：,角位移,设某一瞬时：,角加速度,受力分析：,13,2、建立方程：,3、矩阵形式：,14,多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同,如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。,k3,k1,k2,P1(t),P2(t),15,例4：研究汽车上下振动和俯仰振动的力学模型。,表示车体的刚性杆AB的质量为m，杆绕质心C的转动惯量为Jc。,悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为k1和k2的两个弹簧来表示。,写出车体微振动的微分方程。,选取D点的垂直位移和绕D点的角位移为坐标。,C,17,简化形式,18,解：1、建立广义坐标，并受力分析。车体所受外力向D点简化为合力PD和合力矩MD。,D,C,2、写出车体运动的两个运动微分方程,A,B,（a）,（b）,由,由动量矩定理得：,代入（a)、（b)得：,20,质量矩阵,刚度矩阵,车体的运动微分方程可表示为:,3、写成矩矩阵形式,21,小结：,可统一表示为：,例1：,例2：,作用力方程,位移向量,加速度向量,质量矩阵,刚度矩阵,激励力向量,若系统有n个自由度，则各项皆为n维,1、固有频率求解,令：,4.2两自由度系统的自由振动,（1）,（1）式可表示为：,有上一讲可知系统的运动微分方程为：,（2）,假设该系统做同步简谐运动，其解可表示为：,将（3）式代入（2）式得：,不恒等于零,（2）,（3）,这是A1和A2的线性齐次代数方程组，,A1和A2具有,非零性解的充要条件是系数行列式等于零,为特征行列式，展开得到频率方程：,（4）,解频率方程得到它的两个特征根为：,和,都是实根，,由于adbc,和,都是正数。,其中：,较低的一个称为第一阶固有频率，简称基频。较高的一个称为第二阶固有频率。,第一主振动,第二主振动,振幅比,第二主振型,第一主振型,将第一固有频率代入,2、固有振型,系统作主振动时，任意瞬时的位移比和其振幅比相同，即,这表明，在振动过程中，振幅比决定了整个系统的相对位置。,将01、02之值代入，得,这表明，在第一主振动中，质量m1与m2沿同一方向运动；在第二主振动中m1、m2的运动方向则是相反的。系统作主振动时，各点同时经过平衡位置，同时到达最远位置，以与固有频率对应的主振型作简谐振动。,根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即：,由运动的初始条件确定。,写成矩阵形式,（5）,3、系统对初始激励的响应,将（5）式写出以下形式：,其中C1、C2分别表示A1(1)、A1(2),将,代入得：,例5试求图示两个自由度系统振动的固有频率和模态矢量。已知各弹簧的刚度为：k1k2k3k，物体的质量：m1m，m22m。,（2）根据达朗贝尔原理分别列出运动微分方程：,解：（1）建立广义坐标并受力分析,（1）,（3）求固有频率，求0i,将,代入（1）知：,（2）,将、分别代入（2），得,一阶和二阶模态矢量分别为：,节点,（4）求模态矢量,例5续求该系统对以下两组初始条件的响应：,解：1）代入初始条件得：,（3）,2）将（3）代入得系统的响应为