复数的乘幂与方根.ppt

1,复变函数与积分变换,2,第1章复数与复变函数,复数的乘幂与方根区域,3,1.3.1乘积与商,定理1.1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和。,4,几何意义,复数相乘就是把模相乘,辐角相加.,5,如果用指数形式表示复数:,由此逐步可证,如果,6,定理1.2两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,则有,7,1.3.2幂与方根,(a)n次幂:,8,(b)棣莫佛(DeMoivre)公式特别，当Z=(cos+isin)时，,9,设,为已知复数，n为正整数，则称满足方程,的所有w值为z的n次方根，并且记为,设,则,10,即,当k0，1，2，n1时，得到n个相异的根：,11,12,例：求解：因为所以例：已知，求解：因为,13,所以,14,例：求,解：,15,例：求,解：因为,所以,16,即,结论：四个根是内接于中心在原点半径为的圆的正方形的四个顶点.,17,例解方程,解：因为,所以,可求出个根，分别是：,18,1.4.1区域(函数的定义域)的概念,（1）邻域,Z0,19,（2）内点,（3）开集,如果G内每一点都是它的内点,那末G称为开集.,G,20,（4）区域,如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.,(a)D是一个开集；,(b)D是连通的,即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.,z2,z1,D,不连通,z1,z2,21,（5）边界点、边界,设D是复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.,D的所有边界点组成D的边界.,（6）闭区域,区域D与它的边界一起构成闭区域.,22,说明,(2)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,(1)区域都是开的.,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,不包含边界！,23,（7）有界区域和无界区域,z,x,o,有界！,y,24,(1)圆环域:,课堂练习,判断下列区域是否有界?,(2)上半平面:,(3)角形域:,(4)带形域:,答案,(1)有界;(2)(3)(4)无界.,25,1.4.2单连通域与多连通域,平面曲线C的复数表示:,C的实参数方程,C的复参数方程,起点z(),C终点z(),z,x,y,C,C的正向：起点终点,o,26,没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).,重点,重点,重点,换句话说,简单曲线自身不相交.,27,简单闭曲线的性质约当定理,任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成C,I(C),E(C)三个互不相交的点集.满足：,I(C),E(C),边界,（1）I(C)是一个有界区域（称为C的内部）.,（2）E(C)是一个无界区域（称为C的外部）.,（3）若简单折线P的一个端点属于I(C)，另一个端点属于E(C)，则P必与C相交.,（4）C是I(C)，E(C)的公共边界.,28,课堂练习,判断下列曲线是否为简单曲线?,答案,简单闭,简单不闭,不简单闭,不简单不闭,29,4.单连通域与多连通域的定义:,复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.,单连通域,多连通域,30,三、典型例题,解,无界的单连通域(如图).,31,是角形域,无界的单连通域(如图).,无界的多连通域.,32,表示到1,1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.,在平面内，与两个定点的距离之和等于常数的轨迹叫做椭圆。,33,有界的单连通域.,34,例2,解,满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域