第6章-连续控制系统的分析与设计

第6章连续控制系统的分析,6.1系统响应指标与输入信号6.2时域分析法,6.1系统响应指标与输入信号,控制系统的输出又称为时间响应，输出响应按时间顺序可以划分为动态和稳态两个过程。动态过程是指系统的输出从输入信号r(t)作用的初始时刻起，到接近最终状态的随时间变化的响应过程；稳态过程是指时间t趋于无穷时系统的输出状态。,6.1.1系统的性能指标性能指标是衡量系统性能的一组参数。对系统稳态响应和瞬态响应的要求，常由系统在一定的典型输入信号作用下的具体性能指标来表示。在系统稳定工作的条件下，系统的瞬态性能通常用系统在初始条件为零的情况下对单位阶跃输入信号的响应特性(简称单位阶跃响应)来衡量，如图61所示。,图61单位阶跃输出响应,这时，瞬态响应主要有以下几个性能指标。(1)超调量%：响应曲线超过稳态值(或给定值)所达到的最大值，常以百分数表示，又称最大百分比超调量，即,(61),式中c(tp)为输出量的最大值；c()为输出量的稳态值。一般情况下，要求%值在535之间。,(2)延迟时间td:响应曲线到达稳态值50所需的时间。(3)上升时间tr:被控制量第一次达到稳态值c()所需的时间。对于无振荡的系统，常把响应曲线由稳态值的10到90所经历的时间叫做上升时间。,(4)峰值时间tp：被控制量达到最大值所需的时间。,(5)过渡过程时间或调节时间ts：在单位阶跃响应曲线的稳态值c()附近，取5(或取2)作为误差带，响应曲线达到并不再超出该误差带所需的最小时间，称为调节时间或过渡过程时间。(6)稳态误差ess：对单位负反馈系统，当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实际值(即稳态值，记作c()与期望值(即输入量1(t)之差，定义为稳态误差，即esse()1(t)c()(62)显然，当c()1时，系统的稳态误差为零。,(7)振荡次数N:在调节时间ts之内，被调量偏离稳态值的振荡次数。延迟时间td、上升时间tr和峰值时间tp均表征系统响应初始段的快慢；超调量和振荡次数N反映了系统响应过程的平稳性；调节时间ts表示系统过渡过程持续的时间，从总体上反映了系统的快速性稳态误差ess则反映了系统复现输入信号最终的稳态精度。,当然，调节时间同时也受系统稳定性的影响。这些指标不一定全部都要采用，有时可根据使用条件和实际情况，只对其中几个重要的性能指标提出要求。主要以超调量、调节时间ts和稳态误差ess这三项指标，来评价系统单位阶跃响应的平稳性、快速性和稳态精度。,6.1.2典型输入信号系统的动态过程不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。输入信号不同，系统的响应也不同。一个控制系统的实际输入信号往往具有多种形式，并且也常常难于事先确定，这就给系统的分析和设计带来很多不便。为了便于分析和比较不同系统的性能，通常考虑某些典型输入信号对系统的影响。所以，对系统性能的分析和要求，也归结为系统在典型输入信号作用下应具有的响应形式。,1.阶跃信号这是最常用的一种输入信号。阶跃信号的表达式为,当A1时，则称为单位阶跃信号，常用r(t)1(t)表示，如图62(a)所示。,2.斜坡信号斜坡信号在t0时为零，并随时间线性增加，所以也叫等速度信号。它等于阶跃信号对时间的积分，而它对时间的导数就是阶跃信号。斜坡信号的表达式为,当A1时，则称为单位斜坡信号，如图62(b)所示。,3.抛物线信号抛物线信号也叫等加速度信号，它可以通过对斜坡信号的积分而得。抛物线信号的表达式为,当A1时，则称为单位抛物线信号，如图62(c)所示。,4.脉冲信号单位脉冲信号的表达式为,该函数的拉氏变换为R(s)=1。其图形如图62(d)所示。这是一宽度为，高度为1/的矩形脉冲，当0时，就得理想的单位脉冲信号，记为r(t)(t)。,分析系统特性究竟采用哪一种或哪几种典型输入信号，取决于系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。如果控制系统的输入量是随时间逐渐加强的函数，则用斜坡函数是比较合适的。如果系统的输入信号是突然加入的作用量，则可采用阶跃函数信号；而当系统的输入信号是冲激输入量时，则采用脉冲函数较为合适。一旦控制系统在试验信号的基础上设计出来后，那么系统对实际输入信号的响应特性通常也能够满足要求。,6.2时域分析法,我们已知,在时间域内，系统的稳定性、稳态误差和瞬态响应三方面的性能都可以通过求解系统运动的微分方程得到。微分方程的解，则由系统本身的结构和参数、初始条件以及输入信号的形式所决定。,求解系统的微分方程，可以得到系统动态响应的精确表达式和响应曲线，以直观地反映出系统的动态品质。为了求取满意的动态响应，可以改变系统的有关参数，重新进行计算，这就是研究系统的一种时域方法，也是其他各种分析方法的基础。本节首先讨论一阶、二阶系统的动态响应，然后讨论如何处理高阶系统的动态响应问题，同时还要研究系统的稳定性问题以及系统的稳态误差。,6.2.1系统的阶跃响应分析一般认为，跟踪和复现阶跃输入对系统来说是较为严格的工作条件：输入的初始变化率为无穷大，进入稳态则又要求保持跟踪的不变性。因此，我们对系统动态特性的讨论主要是针对阶跃响应。另外，在工程上，许多高阶系统常常可以近似为一阶、二阶系统的时间响应，因此，深入研究一阶、二阶系统的性能指标有着广泛的实际意义。,1.一阶系统的阶跃响应可用一阶微分方程描述其动态过程的系统，称为一阶系统，这是工程中最基本、最简单的系统。一些控制元部件及简单系统(如RC网络、发电机、空气加热器、液面控制系统等)都是一阶系统。1)一阶系统的数学模型一阶系统的结构图，如图63所示。,图63一阶控制系统,其闭环传递函数,(63),2)一阶系统的单位阶跃响应因为单位阶跃输入的拉氏变换R(s)1/s，则式(63)可写成,取C(s)的拉氏反变换，可得单位阶跃响应,则,(64),或写成,图64一阶系统的单位阶跃响应,时间常数T与输出值有确定的对应关系，当时间为T的整倍数时，相应的输出值均标注在图64中。可以用实验方法，根据这些值鉴别和确定被测系统是否为一阶系统，或求出时间常数T。,由于一阶系统的阶跃响应没有超调量，因此其性能指标主要是调节时间ts，它表征系统过渡过程进行的快慢。参照ts的定义和图64，可取ts3T(单位为s)(对应5误差带)或ts4T(单位为s)(对应2误差带),显然，系统的时间常数T越小，调节时间ts越小，响应过程的快速性也越好。由稳态误差的定义及系统响应可求出，图63所示系统的单位阶跃响应是没有稳态误差的。即ess1c()110,例、一阶系统的结构图如下图所示，(1)试求该系统单位阶跃响应的调节时间ts;(2)如果要求ts0.1s，试问系统的反馈系数应取何值？,解：写出系统的闭环传递函数,所以T=0.1,ts=3T=0.3s，（取5%的误差带）,若使ts0.1s,假设反馈系数为K，求系统的闭环传递函数,要使ts0.1s，则,2.二阶系统的阶跃响应用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制系统中应用极为广泛，例如，RLC网络、忽略电枢电感后的电动机、弹簧质量阻尼器系统、扭转弹簧系统等等。此外，在一定条件下，许多高阶系统往往可以简化成二阶系统来处理。因此，把二阶系统的响应特性视为一种基准，详细研究和分析二阶系统的特性，具有重要的实际意义。,【例】已知随动系统如图所示,图随动控制系统,系统工作原理如下：利用两个电位计和，分别把输入轴和输出轴的转角r和c变成相应的电压，然后把这两个电压反向串联(相减)，即可以得到与角度偏差er-c成比例的电压ue，该电压经过放大器放大后加到电动机上，电动机的轴经减速器和输出轴相连，并且同时带动电位器的电刷移动.,如果cr，则ue0，放大后的电压ua驱动电机转动，转动方向最终应使c向r接近，使e减小。最后，两者取得一致，cr，则ue0，电机停止转动，系统进入平衡状态(假定元件没有死区)。这样就保证了输出轴紧紧地跟随着输入轴变化。,随动系统的原理图,在随动系统中，当指令信号变化时，输出轴便精确地复现着输入轴的变化规律。这个系统的原理如图所示。,解:在系统原理图中，各环节的作用和信号传递很清楚，依次列写出各元部件的微分方程:比较元件er-c电位计ueK1e放大器uaK2ue电动机减速器,把该微分方程组进行拉氏交换，可得如下拉氏变换方程组：e(s)r(s)-c(s)Ue(s)K1e(s)Ua(s)K2Ue(s)s(Tms+1)(s)KmUa(s),图58随动系统各元部件结构图,各元部件的结构图如下。,图59随动系统的结构图,将各方框图按信号传递顺序连接起来，可得,1)二阶系统的数学模型以这个随动系统为例进行研究。,(65),系统闭环传递函数为,图66一般形式的二阶系统结构图,-,-,为了使研究的结论具有普遍性，将式(65)写成典型形式：,或标准形式,(66),(67),这里,任何一个二阶系统传递函数都可化为标准形式。由标准形式描述的系统的闭环特征方程为,显然，阻尼比不同，特征根的性质就不同，系统的响应特性也就不同。二阶系统的闭环极点在s平面上的分布及其单位阶跃响应如图67所示。,此方程有两个特征根(系统闭环极点)，为,图67二阶系统的闭环极点分布及其单位阶跃响应,2)二阶系统的单位阶跃响应图67给出了二阶系统的闭环极点分布及其单位阶跃响应，下面分别对二阶系统在01，1和1三种情况下的阶跃响应进行讨论。(1)01时，称为欠阻尼情况。系统的特征根为一对共轭复数，即,式中，,为有阻尼振荡频率，为闭环极点的虚部。,根据标准二阶系统传递函数，可写为,(68),在初始条件为零，输入信号为单位阶跃信号r(t)1(t)时，系统的输出为,式中，,(610),由此可见，系统的响应由稳态分量与瞬态分量两部分组成，稳态分量值等于1，瞬态分量是一个衰减的振荡过程，其幅值按指数曲线(响应曲线的包络线)衰减；其振荡频率就是有阻尼振荡频率d，而两者均由参数和n决定，如图67(a)所示。,系统等幅振荡，其振荡频率就是无阻尼自然振荡频率n，如图67(d)所示，此时可认为100，ts；当系统有一定阻尼时，d总是小于n。(3)1时，称为临界阻尼情况。此时系统有两个相等的负的实数特征根，即s1s2-n,(2)若0，则称为无阻尼情况，系统的特征根为一对共轭纯虚根，即s1,2jn，此时单位阶跃响应为c(t)1-cosnt,系统时间响应处于振荡与不振荡的临界状态，故称为临界阻尼状态，既无超调，也无振荡，是一个单调的响应过程，如图67(b)所示。,输入信号为单位阶跃信号r(t)1(t)时，系统输出为,(4)1时，称为过阻尼情况。当阻尼比1时，系统有两个不相等的负实数根，即,为了便于书写，令,和,在单位阶跃输入作用下，输出为,系统的响应稳态分量值等于1，瞬态分量是由两个衰减的指数项组成的。当较大时，一个特征根靠近虚轴，另一个特征根远离虚轴。远离虚轴的特征根对响应的影响很小，可以忽略不计，这时二阶系统可近似为一个一阶惯性环节。,3)二阶系统的响应性能指标通常,工程实际中往往习惯把二阶系统调整为欠阻尼过程，因为此时系统的响应较快，且平稳性也较好。而过阻尼和临界阻尼系统的响应过程，虽然平稳性好，但响应过程太缓慢。所以，根据欠阻尼响应来评价二阶系统的响应特性，具有较大的实际意义。,图67(c)表示过阻尼二阶系统的根的分布和响应曲线。显然，响应曲线无超调，具有单调特征，而且过程拖得比1时长。,极点的分布对阶跃响应的影响,阻尼比变化时阶跃响应的变化,单位阶跃输入作用下欠阻尼系统的阶跃响应,(611),显然，当阻尼比不变时，如果无阻尼振荡频率n增大，那么上升时间tr就会缩短，从而加快系统响应速度；当n不变时，阻尼比越小，上升时间就越短。,C(t),(1)上升时间tr:,C(tr)=1,各个动态性能指标如下：,(2)峰值时间tp:,(612),上式表明，峰值时间tp与有阻尼振荡频率d成反比，等于阻尼振荡周期的一半。,(3)最大超调量%:,(613),超调量完全由阻尼比决定，与n无关。越大，超调量越小；越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts越长。或者说，闭环极点越接近虚轴，超调量越大。过大时，系统响应迟钝，调节时间也长，快速性差。,图68%与的关系曲线,阻尼比时，调节时间最短，快速性最好，超调量1，则,由此可见，在扰动作用点以前的系统前向通道G(s)中的放大系数越大，则由扰动引起的稳态误差就越小。对于无差系统，即型号为1型或1型以上的系统，G(0)，扰动不影响稳态响应。所以，为了降低主扰动引起的稳态误差，常采用增大扰动点以前的前向通道放大系数或在扰动点以前引入积分环节的办法。但是，这样同样会给系统稳定工作带来困难。,4.降低稳态误差为了使稳态误差满足要求，以上分析已提出了可以采取的措施，并指出了降低误差与系统稳定性之间的矛盾。概括起来，降低稳态误差的措施有以下几种。(1)增大系统开环放大系数可以增强系统对参考输入的跟随能力；增大扰动作用点以前的前向通道放大系数可以降低扰动引起的稳态误差。(2)增加前向通道中积分环节数，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。,但是，增加前向通道中积分环节数，或增大开环放大系数，都使闭环传递函数的极点发生变化，从而降低系统的稳定性，甚至造成系统不稳定，所以为了保证系统的稳定性，必须同时对系统进行校正。保证元件有一定的精度和稳定的性能，尤其是反馈通道元件，也有利于降低系统的误差。(3)采用复合控制的原理，对误差信号进行补偿，是提高稳态精度很有效的方法。也称为前馈控制。,前馈思想：在扰动还未影响输出之前，直接改变操作变量，以使输出不受或少受扰动信号的影响。,前馈控制的“不变性原理”：控制系统的被控量与扰动完全无关，或在一定准确度下无关。,按扰动信号复合控制。图617表示一个按扰动信号复合的控制系统。,图617按扰动信号复合的控制系统,图中G(s)为被控对象的传递函数，Gc(s)为控制器传递函数，Gn(s)为干扰信号N(s)影响系统输出的干扰通道的传递函数，GN(s)为顺馈控制器的传递函数。如果扰动量是可测的，并且Gn(s)是已知的话，则可通过适当选择GN(s)，消除扰动所引起的误差。按系统结构图可求出C(s)与N(s)的关系为,若取GN(s)使Gn(s)G(s)GN(s)0即,则可消除扰动对系统的影响，其中包括对稳态响应的影响，从而提高系统的精度。,按参考输入信号复合控制。为了提高系统对参考输入的跟踪能力，也可按参考输入前馈来消除或降低误差。其原理与按扰动前馈相同，如图618所示。确定传递函数GN(s)的方法是，使系统在参考输入作用下的误差为零。,图618按参考输入前馈的复合控制系统,令1-GN(s)G(s)H(s)0，即,则可以消除由参考输入所引起的误差。,按系统结构图，可求出E(s)与R(s)的关系为,前馈控制主要用于下列场合：(1)干扰幅值大而频繁，对被控变量影响剧烈，单纯反馈控制达不到要求时；(2)主要干扰是可测不可控的变量；(3)对象的控制通道滞后大，反馈控制不及时，控制质量差时，可采用前馈一反馈控制系统，以提高控制质量。,6.3频率响应分析法,在经典控制理论中，人们研究并运用了很多间接方法来进行系统的分析和综合，更广泛的是采用频率法或根轨迹法来分析研究系统。这两种方法的共同点都是不需要像时域法那样，通过求解高阶微分方程式去直接研究系统参数对动态响应的影响，而是通过开环或闭环传递函数间接地分析系统参数对响应的影响。,利用频率响应分析可以方便地选择系统的结构和参数，以满足所要求的性能指标。当采用正弦信号发生器和精密测量装置时，可通过试验，简便而精确地求得环节或系统的传递函数，而避开数学推导。从这个意义上讲，频域分析法更具有工程实用价值。,6.3.1频率响应的基本概念1.频率特性定义系统对正弦函数输入的稳态响应称为频率响应。,以简单的RC网络为例，说明频率特性的概念。,若给网络输入正弦电压，即,R为输入电压的振幅，则由传递函数得到电容两端的输出电压为,式中的第一项为瞬态分量，第二项为稳态分量，当时间趋于无穷时，第一项趋于零，所以网络的稳态输出仍然是与输入电压同频率的正弦电压，即uc(t)=Csin(t+),输出的相角滞后为()-arctanT显然，C()和()都是频率的函数，用函数可表示如下：,式中，输出电压的幅值,上式能完整地描述RC网络在正弦函数作用下，稳态输出电压的幅值和相角随输入电压频率变化的情况，因此，将G(j)称做网络的频率特性。这个结论具有普遍的意义。事实上，对于任何线性定常系统，当输入信号为典型正弦函数时，由实验可以证明，系统输出的稳态响应分量也是一个与输入同频率的正弦函数，但其幅值和相位与输入正弦函数的幅值和相位不同。,系统频率特性的一般形式为,(623),(624),(625),其中,式(624)表示了输出振幅与输入振幅之比，称为幅频特性，它描述了系统(或部件)对不同频率的正弦输入信号在稳态情况下的振幅放大(或衰减)特性。,而式(625)表示了输出对输入的相角差，称为相频特性，它描述了系统对不同频率的正弦输入信号在相位上产生的相角滞后或超前的特性。幅频特性及相频特性统称为频率特性。所以，系统稳态输出的幅值为C()R|G(j)|RA(),我们已知，线性定常系统的传递函数定义为在零初始条件下系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，而稳定系统的频率特性可以定义为系统输出的傅氏变换与输入的傅氏变换之比，即将s=j代入传递函数就可以得到系统的频率特性表达式。系统的频率特性与传递函数、微分方程一样，都能表征系统的运动规律，它是频域中描述系统运动规律的数学模型。,图619微分方程、传递函数、频率特性三种数学模型之间的关系,2.对数频率特性对数幅频特性定义为L()=20lgA()=20lg|G(j)|(326)频率特性幅值的对数值常用分贝(dB)表示。对数频率特性就是将对数幅频特性表达式(326)和相频特性表达式(325)两条曲线表示在对数坐标中，称为对数频率特性曲线，又称对数坐标图或波德(Bode)图。在实际应用中，经常采用这种曲线来表示系统的频率特性。,在对数坐标图中，曲线的横坐标是角频率，单位是弧度/秒(rad/s)，采用对数比例尺(按对数分度)。纵坐标表示对数频率特性的函数值：L()的单位是分贝(dB)，()的单位是度()，都采用普通比例尺(按线性分度)，因此又称为半对数坐标。对数幅频特性的坐标如图320所示。,图320对数分度和线性分度,与线性分度比较，对数坐标的每变化10倍，横坐标就增加一个单位长度。这个单位长度代表10倍频的距离，故称之为“十倍频”或“十倍频程”(用dec表示)。图中纵坐标L()称为增益的分贝值，A()每变化十倍，L()变化20dB。至于相频特性()，其横坐标与幅频特性的横坐标相同，其纵坐标表示相角位移。使用对数频率特性表示法的第一个优点是在研究频率范围很宽的频率特性时，缩小了比例尺，在一张图上，既画出了频率特性的中、高频率段，又能清楚地画出其低频段。在分析和设计系统时，低频段特性也是很重要的。,对数频率特性表示法的第二个优点是可以大大简化绘制系统频率特性的工作。因为系统往往是由许多环节串联构成的，设Gi(j)=Ai()ej()(i=1,2,n)，则串联后的开环系统频率特性为G(j)=G1(j)G2(j)Gn(j)=A()ej()式中，A()=A1()A2()An(),且()=1()+2()+n()(327)绘制对数幅频特性时，由于L()=lgA()=lgA1()+lgA2()+lgAn()(328),将乘除运算变成了加减运算，这样，如果绘出各环节的对数幅频特性，然后进行加减，就能得到串联各环节所组成的系统的对数幅频特性。这给分析和设计控制系统带来很多方便。我们首先介绍7种典型环节的对数频率特性曲线，再讨论由这些典型环节构成的开环系统的对数频率特性曲线的画法及其特点。,3.3.2典型环节的频率特性1.比例环节比例环节的对数幅频特性为L()20lgK对数幅频特性曲线是一条与0dB线平行且高度为20lgK的直线。K1时，直线在0dB线之上；K1时，直线在0dB线之下。对数相频特性为0，波德图如图321所示。,图321比例环节的对数频率特性曲线,2.积分环节积分环节1/s的对数幅频特性为,(329),这是一条在1处穿过横轴的直线，直线的斜率可由下式求出：,上式表明，频率每变化10倍，则对数幅值下降20dB，称直线的斜率为-20dB/dec。在对数幅频特性图中，虽然为对数分度，但是对于xlg却是线性均匀分度，所以当L()与lg成线性关系时，lg的系数就表述了该直线的斜率，例如式(329)表示直线的斜率为-20dB/dec。相频特性是-90且平行于横轴的直线，如图322所示。,图322积分环节的对数频率特性曲线,3.惯性环节惯性环节的对数幅频特性为,(330),在1/T的低频段(即T1，幅频特性可近似为,(331),故在低频段，幅频特性是与横轴0dB重合的直线。在1/T的频段内，对数幅频特性可近似为,(332),这是一条在1/T处穿越横轴，斜率为-20dB/dec的直线。,在实际应用中，经常把频率1/T称为幅频特性曲线的转折频率，在低、高频段分别由式(331)和(332)这两条直线幅频特性的渐近线来代替式(330)描述的精确曲线。由这两条线段构成惯性环节的近似对数幅频特性曲线，显然，在频率为1/T时，曲线的误差最大，误差为,在0.1/T10/T频段内的误差见表32。,表32惯性环节渐近幅频特性误差表,由表32可看出，在频率0.1/T和10/T处，幅值的精确值与近似值误差仅为-0.04dB，在频段0.1/T，10/T之外的误差更小。所以，用一阶惯性环节的渐近线代替精确曲线误差很小；若要获得较精确的幅频特性曲线，只需在频段0.1/T，10/T内对渐进特性进行修正即可。,惯性环节的相频特性可根据()-arctanT绘制。0时，()0，时，()-90；而在转折频率1/T处，()-45，且在该点斜对称。惯性环节的波德图如图323所示。惯性环节相频特性数据见表33。,图323惯性环节的对数频率特性曲线,表33惯性环节相频特性表,4.振荡环节由振荡环节的频率特性,(333),得到振荡环节的对数幅频特性为,由对数频率特性表达式(333)可看出，在1/T的低频段(即T1/T的频段内，对数幅频特性可近似为,(335),这是一条在1/T处穿越横轴，斜率为-40dB/dec的直线。与一阶惯性系统分析类似，还是以频率1/T为幅频特性曲线的转折频率，在低、高频段分别由式(334)和(335)这两条直线幅频特性的渐近线来代替式(333)描述的精确曲线。由这两条线段构成惯性环节的近似对数幅频特性曲线，如图324所示。但是，用振荡环节的渐近线代替精确曲线时，其误差随值不同有较大的差别。,图324振荡环节的对数频率特性曲线,若分别用L()、La()和L()表示振荡环节对数幅频特性的精确值、近似值及它们之间的误差值，则有L()L()La()即,(336),由式(336)知，振荡环节的渐近幅频特性曲线与精确曲线间的误差是频率和阻尼比的函数。由L()的表达式可绘制误差曲线，如图325所示。从图中可知，误差主要发生在转折频率1/T处及其左右各一个十倍频程内。越小，误差值就越大。当1(有两个相等的负实数特征根)时，最大误差位于1/T处，为-6dB，而在0.40.8范围内，最大误差为3dB左右，此时用渐近线代替精确曲线误差仍然不是很大。,图325振荡环节的幅频特性的误差曲线,由振荡环节的相频特性(j)=-arctan(2T/(1-2T2)可将二阶振荡环节的对数相频特性曲线绘制在图324中。由于相频特性也是频率和阻尼比的函数，所以()曲线形状随着取值的不同而异，但是都有当0时，()0，时，()-180，而且在转折频率1/T处都通过-90，并且曲线在该点关于-90线斜对称。,综合以上讨论可知，在对数坐标中绘制的典型环节频率特性有如下特点：(1)比例环节和纯积分的幅频、相频的精确曲线都是直线段。(2)一阶惯性和二阶振荡环节的对数幅频特性曲线可以1/T为转折频率，用分段渐近线近似精确曲线：分段渐近线在低频段都与0dB线重合；在转折频率之后的高频段，渐近线亦为直线段，其斜率与阶次有关，一阶惯性为-120dB/dec，二阶振荡为-220dB/dec-40dB/dec，因此，斜率又可以分别写为-1和-2。,(3)分段渐近线的精确程度与值有关，最大误差一般发生在转折频率附近，而在(0.110)范围之外，误差可以忽略。(4)相频特性曲线虽非直线段，但都是在1/T处关于-45或-90线斜对称。(5)当转折频率1/T改变时，相频特性曲线和幅频特性曲线相应地左移或右移，但其形状不变。(6)如果两个系统(或环节)的频率特性互为倒数，则其对数频率特性互为负数，L()和()将分别以横轴0dB线和0线互为镜对称。,第(6)点很容易证明。若设,因此，与积分、一阶惯性、二阶振荡环节分别具有互为倒数关系的纯微分、一阶微分和二阶微分环节的讨论方法，与前面完全类似。下面只给出一阶微分和二阶微分环节对数频率特性表达式和曲线图形(分别如图326、337所示)，推导过程可由读者自行完成。,图326一阶微分的对数频率特性曲线,图327二阶微分的对数频率特性曲线,3.3.3开环系统的频率特性掌握了典型环节的对数频率特性曲线的画法，可以很方便地绘制开环系统的对数频率特性曲线(波德图)。设开环系统由n个典型环节串联组成，这些环节的传递函数分别为G1(s)，G2(s)，Gn(s)，则系统的开环传递函数为G(s)G1(s)G2(s)Gn(s)由式(327)和(328)可知，由n个典型环节串联组成的开环系统，其对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线可由各典型环节相应的曲线叠加得到。,【例39】已知控制系统的开环传递函数为,试绘制开环系统波德图。,解开环系统由比例、积分、惯性、一阶微分和二阶振荡5个环节组成，有3个转折频率，分别是11/20.5，1/0.52，1/0.125，且=0.2。开环系统的对数幅频特性和对数相频特性分别为,利用典型环节的直线或分段直线特性，可以在不同的频率范围内，求L()的渐近特性。在1频率范围内(称为低频段)，渐近线表达式为L()=L1()+L2()=20lg4-20lg所以，低频段斜率为-20dB/dec。求出在10.5处，L()18dB。按照点斜式可以绘出1低频段的渐近线。,在12的频率范围内，L4L50，渐近线表达式为L()=L1()+L2()+L3()=20lg2-40lg这是一条斜率为-40dB/dec的直线，在22处，L()-6dB。在23的频率范围内，渐近线表达式为L()=L1()+L2()+L3()+L4()=-20lg这是一条斜率为-20dB/dec的直线。在38处，L()-18dB。,在3的频率范围内，渐近线表达式为L()=L1()+L2()+L3()+L4()+L5()=20lg64-60lg直线的斜率为-60dB/dec。,图328例39的开环对数频率特性曲线,图328例39的开环对数频率特性曲线,根据以上分析，画出L()的渐近特性，如图328(a)中实线所示。对数相频特性曲线可分别将积分环节、惯性环节、微分环节和振荡环节的相频特性曲线画出，惯性环节和微分环节可根据表33确定几个点，振荡环节可根据图327和的值确定几点，再连接成光滑的曲线。将各环节的相频特性曲线叠加起来，就可得到开环系统的对数相频特性，如图328(b)所示。,事实上，因为L()的渐近线是分频段按直线段叠加组成的，而且L()曲线又是连续的，每个频段的终点就是下一频段的起点，所以只要先画出低频段的渐近线，然后，当L()曲线由低频段向高频段延伸时，每经过一个转折频率，直线段的斜率就相应改变一次，而无需逐段写出幅频特性的近似表达式。,频率特性曲线的具体画法步骤是：(1)求出一阶微分、惯性环节和振荡环节的转折频率，并将它们标在波德图的轴上。(2)确定L()渐近线低频段的斜率和位置。在低频段内幅频特性L()渐近线表达式为,(337),因此，这是一条斜率为-20dB/dec(或斜率为-)的直线，将该频段内的某个值代入式(337)确定直线位置，即可画出低频段的渐近线。,(3)将L()向高频段延伸，每经过一个转折频率，渐近线的斜率就相应改变一次，改变的规律如下：经过的转折频率渐近线斜率的改变情况一阶惯性环节-20dB/dec(或-1)二阶振荡环节-40dB/dec(或-2)一阶微分环节+20dB/dec(或+1)二阶微分环节+40dB/dec(或+2)直到最后频段，就可以一次画成L()的渐近线。,(4)绘制对数相频特性()曲线：分别按照各个基本环节的曲线对称点将积分环节、惯性环节、微分环节和振荡环节的相频特性曲线画出，再将各环节的相频特性曲线叠加起来。如果希望得到比较精确的对数频率特性曲线，可以按照表33或图325对渐近线进行误差修正，或者计算某些频率下的()值，就可得到光滑的对数频率特性曲线。,最小相位系统最小相位系统是指开环零点、极点均位于s左半平面的系统，即开环稳定系统；否则系统就被称为非最小相位系统。最小相位系统的幅频特性曲线与相频特性曲线有确定的关系：当幅频特性曲线的负斜率加大时，相频特性曲线的负相角也增加；若()向正相角方向变化，则对应的幅频特性曲线也向斜率增加的方向变化。在某频段内如果幅频特性渐近线斜率为，则对应的相角约为90。因此，用波德图分析最小相位系统时，一般只需画出对数幅频特性曲线就可以了。,截止频率c和带宽截止频率是指开环系统的对数幅频特性曲线与0dB线的交点频率，或者称为穿越频率。一般说来，当c时增益A()小于等于1，通过的信号被衰减，因此可以认为c是保证信号不被衰减的频率开环频带宽度。求取截止频率可以令该频段的渐近线表达式L(c)20lgA(c)0或令A(c)1而得到。在系统分析时截止频率是一个十分重要的参数。,3.3.4频率法分析系统的稳定性和性能指标1.对数频率特性的稳定判据对数频率特性分析法不仅可以避免求解闭环特征方程的根，而且可以从开环传递函数直接判别闭环后的系统稳定程度，并且为改变系统结构或修改参数指出方向。我们直接从开环与闭环的频率特性表达式来讨论系统的稳定性。设系统前向通道的频率特性为,(338),当信号源R(j)的某一频率满足G(j)H(j)-1e-j0(339)时，式(338)的分母为零，闭环频率特性的幅值将为无穷大，即使输入信号幅值为零，任何一个微小的扰动或系统内部的热噪音，都会引起极大的输出，使系统和正反馈时一样，引起连续的振荡和发散。由于式(339)的条件可改写为A(j)|G(j)H(j)|1和()G(j)H(j)-180,因此，对数频率特性稳定判据可以表述如下：当L(c)20lgA(c)20lg10dB时，(c)-180(340)或当(c)-180时，L(c)0dB(341)上面提及的某一频率，在对数幅频特性中显然就是截止频率c。,对此判据不作严格的推理和证明。应该说明的是式(340)、(341)，仅在开环系统为稳定条件下(最小系统)才成立。一般而言，在工程上多数是满足这一要求的。所以，应用对数频率特性的稳定判据，可简要地概括为：对于开环是稳定的系统，如对数幅频特性过0dB时的截止频率c所对应的开环对数相频特性的相角位移(c)-180，如-170，则此系统在闭环时是稳定的；如果此时(c)-180，如-190，则闭环时系统是不稳定的。这种方法就是奈奎斯特(Nyquist)判据在波德图中的应用。,2.相角裕度和幅值裕度通常，在频率域中常用相角裕度和幅值裕度h来表征开环对数频率特性接近等幅振荡的程度，作为系统稳定程度的度量。相角裕度定义为(c)180(c)相角裕度为正，(c)0，表示闭环系统是稳定的，(c)越大，表示闭环系统离等幅振荡越远，稳定性越好；反之，(c)0，即在c时，(c)比-180更负，表明闭环后系统是不稳定的。工程上一般取(c)为3090。,幅值裕度h定义为,(342),式中，g为()与-180直线相交时的频率，幅值裕度h(g)表示在()-180时对应的L()与0dB距离的大小。h(g)0，表示闭环系统是稳定的；反之，h(g)0，闭环系统是不稳定的。工程上一般取h(g)大于6dB。,相角裕度和幅值裕度的含义分别是：如果系统在截止频率c信号的相角迟后再增加度，或系统在相角穿越频率g信号的开环增益再增大h倍，都将使系统处于临界稳定状态。因此，相角裕度和幅值裕度h不仅可以作为系统稳定程度的度量，还能够用来判断系统的稳定性。图329表示了稳定系统和不稳定系统对应的相角裕度和幅值裕度h的情况，但是，以上结论仅是针对最小相位系统而言的。对于只要求粗略估算过渡过程性能指标的高阶系统只用相角裕度也就够了。,图329稳定系统和不稳定系统的相角裕度与幅值裕度h,3.开环频率特性与系