MATLAB仿真基础第十一章

,本章内容提要,11.1MATLAB在高等数学中的应用11.2MATLAB绘图11.3MATLAB图像处理11.4小结,11.1MATLAB在高等数学中的应用,符号运算1.定义符号常量符号数学工具箱中的函数sym()可以将一个数值常量A定义成一个符号常量。其一般的使用形式为sym(A)例如将一组数值常量定义成符号常量。x=sym(sin(15)x=sin(15)y=sym(3*4-2)/5+1)y=(3*4-2)/5+1,11.1MATLAB在高等数学中的应用,2.定义符号变量定义符号变量可以有两种方法：使用函数sym()或命令syms。其使用形式为sym(x)或symsxy例如定义符号变量及其表达式a=sym(x)a=xb=sym(y)b=yf=a2+b2f=x2+y2,11.1MATLAB在高等数学中的应用,在该例中，定义符号x并赋值到符号变量a，同时利用a定义解析式f。需要注意的是，使用函数sym()每次只能定义一个符号变量，而使用syms一次可以定义多个符号变量。例如定义符号变量及表达式symsxyf=x2+y2f=x2+y2,11.1MATLAB在高等数学中的应用,3.表达式求值通过符号变量定义符号表达式以后，可以通过函数eval来求表达式的值。例如符号常量表达式求值。x=sym(sin(15);eval(x)ans=0.6503包含符号变量的表达式求值时，应对符号变量赋初值。,11.1MATLAB在高等数学中的应用,包含符号变量的表达式求值时，应对符号变量赋初值。例如符号变量表达式求值。symsxyf=x2+y2f=x2+y2x=5;y=4;eval(f)ans=41,11.1MATLAB在高等数学中的应用,4.表达式化简MATLAB提供了化简和美化符号表达式的各种函数，具体有：合并同类项(collect)、多项式展开(expand)、因式分解(factor)等。(1).合并同类项(collect):函数collect()调用的格式有两种。R=collect(S)：对于多项式S按默认独立变量的幂次降幂排列。R=collect(S,v)：对指定的对象v计算，操作同上。,4.表达式化简MATLAB提供了化简和美化符号表达式的各种函数，具体有：合并同类项(collect)、多项式展开(expand)、因式分解(factor)等。(1).合并同类项(collect)函数collect()调用的格式有两种。R=collect(S)：对于多项式S按默认独立变量的幂次降幂排列。R=collect(S,v)：对指定的对象v计算，操作同上。,11.1MATLAB在高等数学中的应用,(2).表达式展开(expand)利用函数expand()来展开符号表达式。其命令格式如下：R=expand(S)对符号表达式S中每个因式的乘积进行展开计算。该命令通常用于计算多项式函数、三角函数、指数函数与对数函数等表达式的展开式。,symsxyabcte1=expand(x-2)*(x-4)*(y-t)e1=8*y-8*t+6*t*x-6*x*y-t*x2+x2*ye2=expand(cos(x+y)e2=cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)e3=expand(exp(a+b)3)e3=exp(3*a*b2)*exp(3*a2*b)*exp(a3)*exp(b3),e4=expand(log(a*b/sqrt(c)e4=log(a*b)/c(1/2)e5=expand(sin(2*t),cos(2*t)e5=2*cos(t)*sin(t),cos(t)2-sin(t)2e6=expand(x+1)3)e6=x3+3*x2+3*x+1,11.1MATLAB在高等数学中的应用,(3).因式分解(factor)利用函数factor()来进行符号表达式的因式分解。其使用格式为factor(X)参量X可以是正整数、符号表达式矩阵。若X为一正整数，则factor(X)返回X的质数分解式。若X为多项式或整数矩阵，则factor(X)分解矩阵的每一元素。例如因式分解示例。symsabxyf1=factor(x4-y4)f1=(x-y)*(x+y)*(x2+y2)f2=factor(a2-b2,x3+y3)f2=(a-b)*(a+b),(x+y)*(x2-x*y+y2),11.1MATLAB在高等数学中的应用,符号运算1.多项式表示在MATLAB中，多项式被表示成行向量的形式，它的系数是按降幂排列的，即按降幂次序将多项式的系数组成行向量，就可以在MATLAB中建立一个多项式。例如，多项式在MATLAB中，按下面方式组成一个行向量f=-431851MATLAB会将长度为n+1的向量解释成一个n次多项式。因此，若多项式某些项系数为零，则必须在向量中相应位置补零。,11.1MATLAB在高等数学中的应用,2.多项式求值在MATLAB中多项式被表示为一个行向量，因此任何一个行向量都可当作一个多项式，可以通过调用函数polyval来求多项式的值，使用格式为y=polyval(p,x)其中，p为行向量，x作为参数，计算前必须赋值。,11.1MATLAB在高等数学中的应用,3.多项式求根多项式求根的函数是roots，返回结果可能是复数根。其使用格式为y=roots(p)其中p为行向量，用于表示一个多项式。,11.1MATLAB在高等数学中的应用,4.符号多项式当已知多项式的系数时，可以利用函数poly2sym来构造符号多项式。例如对于多项式系数向量p=-431851构造符号多项式并求值。p=-431851;f=poly2sym(p)f=-4*x4+3*x3+18*x2+5*x+1x=5;y=eval(f)y=-1649,11.1MATLAB在高等数学中的应用,5.从根创建多项式假定已知多项式的根，则可以使用函数poly函数来求多项式向量，这个函数与roots是互逆函数。例如已知多项式的根为2、5、1，求多项式。r=2;5;1;s=poly(r)s=1-817-10这里创建了多项式，根分别为2、5、1。,11.1MATLAB在高等数学中的应用,函数极限1.一元函数的极限假设已知函数，则极限问题一般描述为其中可以是一个确定的值，也可以是，对于某些问题来说，还可以是左右极限，如或，在MATLAB中，直接调用函数limit来求极限，格式如下(1)limit(expr,x,x0)，其中expr为函数表达式，一般为符号表达式，x是变量，x0为极限点。(2)limit(expr,x,x0,left)，expr、x、x0与上面格式相同，如果为左极限，则最后一个参数为left，否则为right。在上面格式中，极限点x0可以是inf或-inf，表示正、负无穷大。,11.1MATLAB在高等数学中的应用,11.1MATLAB在高等数学中的应用,2.多元函数的极限多元函数极限一般可表示为在MATLAB中，同样是通过调用函数limit来实现，格式如下(1)limit(limit(expr,x,x0),y,y0)(2)limit(limit(expr,y,y0),x,x0)如果x0或y0不是确定的值，而是另外一个变量的函数，如，则顺序不能改变。,11.1MATLAB在高等数学中的应用,11.1MATLAB在高等数学中的应用,函数求导1.函数的导数和高阶导数如果函数和自变量都已知，则可以调用函数diff来求各阶导数，使用格式如下(1)y=diff(expr,x)，expr为函数表达式，x为自变量，求一阶导数(2)y=diff(expr,x,n)，求函数的n阶导数,11.1MATLAB在高等数学中的应用,2.多元函数偏导数多元函数偏导数仍然是通过调用diff来实现的，使用格式为f=diff(diff(expr,x,m),y,n)或者f=diff(diff(expr,y,n),x,m),11.1MATLAB在高等数学中的应用,函数积分1.不定积分在MATLAB中，调用int函数直接求出符号函数表达式的不定积分解析式，使用格式为F=int(expr,x)，expr为函数的表达式，x为积分变量。,11.1MATLAB在高等数学中的应用,2.定积分在MATLAB中，函数int同样可以用于求定积分，使用格式为F=int(expr,x,a,b)，expr为函数的表达式，x为积分变量,a,b为积分区间。,11.1MATLAB在高等数学中的应用,级数运算1.泰勒(Taylor)展开式根据泰勒定理，函数在的展开形式为其中，为截断误差，也称为拉格朗日余项。如果，上式又称为麦克劳林(Maclaurin)公式。事实上，要使用泰勒公式求函数的近似值是一件非常困难的事情，因为需要计算多项，特别是要计算高阶导数，调用MATLAB中的函数taylor可以直接导出泰勒公式，其使用格式为(1)taylor(expr,x,k)，expr为函数符号表达式，x为自变量，该方式为将函数在处做泰勒展开，k为展开项数。(2)taylor(expr,x,k,a)，该方式为将函数在处做泰勒展开。,11.1MATLAB在高等数学中的应用,11.1MATLAB在高等数学中的应用,2.级数求和对于具有通项公式的级数，MATLAB提供了函数symsum来计算级数和，具体使用格式为symsum(expr,n,a,b)，expr为通项公式表达式，n为级数变量，a和b分别表示开始项和结束项。,11.1MATLAB在高等数学中的应用,矩阵及线性方程组1.零矩阵、幺矩阵和单位矩阵在矩阵理论中，将所有元素全为0的矩阵称为零矩阵，把所有元素全为1的矩阵称为幺矩阵，而将对角线元素全为1而其余元素全为0的矩阵称为单位矩阵。使用格式分别如下：(1)A=zeros(m)，B=ones(m)，C=eye(m)，分别生成mm阶零矩阵A、幺矩阵B和单位矩阵C。(2)A=zeros(m，n)，B=ones(m，n)，C=eye(m，n)，分别生成mn阶零矩阵A、幺矩阵B和单位矩阵C。,11.1MATLAB在高等数学中的应用,例如下面分别生成零矩阵、幺矩阵和单位矩阵。,A=zeros(3)A=000000000B=ones(3)B=111111111C=eye(3)C=100010001,D=zeros(2,3)D=000000E=ones(2,3)E=111111F=eye(2,3)F=100010,11.1MATLAB在高等数学中的应用,2.随机矩阵和魔方矩阵使用函数rand()可以生成一个01之间的随机数，而使用rand(m,n)则可以生成一个mn阶随机矩阵，使用rand(m)生成的是mm阶随机方阵魔方矩阵是指生成的方阵行、列、对角线之和相等的矩阵，通过函数magic(m)来实现。例如生成23阶随机方阵以及5阶魔方矩阵。rand(2,3)ans=0.76550.18690.44560.79520.48980.6463,magic(3)ans=816357492,11.1MATLAB在高等数学中的应用,3.对角矩阵对角矩阵的生成是通过调用函数diag来实现的，其基本格式为(1)diag(p)，生成以向量p的元素构成的对角矩阵，矩阵大小由p的元素个数决定。(2)diag(p,k)，将向量p的元素分布在对角线偏上或偏下的斜列上，k0，代表上部，kx=0:0.2:8;y1=0.2+sin(-2*x);y2=sin(x.0.5);figureplot(x,y1,g-+,x,y2,r-d);曲线y1采用绿色、实线、加号标记，曲线y2采用红色、虚线、菱形标记，结果如图11.3所示。,11.2Matlab绘图,MATLAB在绘图时会根据数据的分布范围自动选择坐标轴的刻度范围，通过调用函数axis指定坐标轴的刻度范围的格式为axis(xmin,xmax,ymin,ymax)，其中xmin,xmax,ymin,ymax分别表示x轴的起点、终点，y轴的起点、终点。使用函数xlabel(option)和ylabel(option)来实现，也可以使用函数title(option)为图形加标题，另外使用函数legend(option)加标注，使用命令gridon/off添加或取消网格线，更加方便的是调用text(x,y,string)在指定的坐标(x，y)处加上文字。,11.2Matlab绘图,例如添加坐标标注、标题、网格以及标注的图形。x=0:0.05:5;figurey1=exp(0.4.x)-1.5;y2=sin(x*4);plot(x,y1,x,y2,r-.)xlabel(Input);ylabel(Output);title(MyGraphics);legend(y1=exp(0.4.x)-1.5,y2=sin(x*4)gridon,11.2Matlab绘图,例如为图形加上文字标注。plot(0:pi/20:2*pi,sin(0:pi/20:2*pi)text(pi,0,leftarrowsin(pi),FontSize,18)使用text加标注时，可以增加符号，如上面的leftarrow表示左前头，同时可以设定字体大小，如图11.5所示。,11.2Matlab绘图,三维曲线图用函数plot3可以绘制三维图形，其调用格式主要有以下几种：(1)plot3(X1,Y1,Z1,.)：X1、Y1、Z1为向量或矩阵，表示图形的三维坐标。该函数可以在同一图形窗口一次画出多条三维曲线，以X1,Y1,Z1,.Xn,Yn,Zn指定各条曲线的三维坐标。(2)plot3(X1,Y1,Z1,LineSpec,.)：以LineSpec指定的属性绘制三维图形。(3)plot3(.,PropertyName,PropertyValue,.)：对以函数plot3绘制的图形对象设置属性。,11.2Matlab绘图,例如：绘制三维曲线图(sin(x),cos(x),x)。x=0:0.05:20;figureplot3(sin(x),cos(x),x);grid,text(0,0,0,0);title(ThreeDimension);xlabel(sin(x);ylabel(cos(x),zlabel(z);这里，已向量组(sin(x),cos(x),x)绘制三维曲线，如图11.6所示。,11.2Matlab绘图,三维曲面图在MATLAB中，可以通过调用函数surf来绘制三维曲面图，其使用格式为(1)surf(X,Y,Z)：以Z确定的曲面高度和颜色，按照X、Y形成的“格点”矩阵，创建一渐变的三维曲面。X、Y可以为向量或矩阵，若X、Y为向量，则必须满足m=size(X)，n=size(Y)，m,n=size(Z)。(2)surf(X,Y,Z,C)：以Z确定的曲面高度，C确定的曲面颜色，按照X、Y形成的“格点”矩阵，创建一渐变的三维曲面。,11.2Matlab绘图,例如绘制球面图figureX,Y,Z=sphere(50);surf(X,Y,Z);%绘制球体的三维图形xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z);title(Globle);这里调用了函数sphere(n)来生成球体坐标，其中n表示将整个球体坐标划分的网络数，即生成的向量组(x,y,z)的大小。如图11.7所示。,11.2Matlab绘图,可以通过函数表达式来绘制三维曲面图。例如绘制方程，其中的曲面图。x,y=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2);z=x.*exp(-x.2-y.2);surf(x,y,z)这里meshigrid（x，y）的作用是产生一个以向量x为行，向量y为列的矩阵，而x、y是从-2开始到2，每间隔0.2记下一个数据。如图11.8的图形，网格就是利用meshgrid完成的。,11.2Matlab绘图,还可以调用函数surfl来绘制亮度曲面图，如将上例改为x,y=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2);z=x.*exp(-x.2-y.2);surfl(x,y,z)shadinginterp;colormap(gray)则可产生如图11.9的光亮效果。,11.2Matlab绘图,隐函数绘图利用符号函数，可以通过函数ezplot绘制任意一