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文档简介

第二讲命题及其关系充分条件与必要条件,教材知识整合回归教材,1.四种命题一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,则四种命题的形式就是:原命题:若p,则q;逆命题:若q,则p否命题:若p,则q逆否命题:若q,则p原命题与它的逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假.,2.充要条件若pq,则p是q的充分条件;若qp,则p是q的必要条件;若pq且qp,则p是q的充分不必要条件;若qp且pq,则p是q的必要不充分条件;若pq,则p是q的充要条件;若pq且qp,则p是q的既不充分也不必要条件.,基础自测1.(2010陕西文数)“a0”是“|a|0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:本题考查充要条件的判断a0|a|0,|a|0a0,“a0”是“|a|0”的充分不必要条件.答案:A,2.(2010山东文数)设an是首项大于零的等比数列,则“a1a2”是“数列an是递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:C,3.(2010四川)函数f(x)=x2+mx+1的图象关于x=1对称的充要条件是()A.m=-2B.m=2C.m=-1D.m=1答案:A,4.(2010广东)“m0,则a0且b0.为假.逆否命题:若a0且b0,则ab0.为真.,(2)原命题为真.逆命题:若xy全为0,则x2+y2=0.为真.否命题:若x2+y20,则xy不全为0.为真.逆否命题:若xy不全为0,则x2+y20.为真.(3)原命题为假.逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q1.为假.否命题:若q1,则方程x2+2x+q=0没有实根.为假.逆否命题:若方程x2+2x+q=0没有实根,则q1.为假.,点评(1)写出一个命题的逆命题否命题逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论;(2)在判断原命题及其逆命题,否命题和逆否命题真假时,要灵活应用“原命题与逆否命题同真同假;否命题与逆命题同真同假”.,变式1:有三个命题:(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;(2)“若ab,则a2b2”的逆否命题;(3)“若x-3,则x2+x-60”的否命题.其中真命题的个数为_.,解析:(1)的逆命题为若x,y互为相反数,则x+y=0是真命题.(2)原命题是假命题,所以逆否命题为假命题.(3)的逆命题为若x2+x-60,则x-3,是假命题.又逆命题与否命题是等价命题,故否命题为假命题.答案:1个,题型二充要条件的判定【例2】(2010上海文数)“x=2k+(kZ)”是“tanx=1”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A,(2010北京理数)ab为非零向量.“ab”是“函数f(x)=(xa+b)(xb-a)为一次函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B,函数f(x)=x2ab-(a2-b2)x-ab当函数f(x)是一次函数时必然要求ab=0,即ab反过来,当ab时且|a|=|b|时,f(x)不是一次函数,ab是f(x)是一次函数的必要不充分条件.故选B.,点评判断充分必要条件时,一是要分清命题的条件和结论,二是要从两个方向上判断条件结论与结论条件是否成立.,变式2:设l,m,n均为直线,其中m,n在平面内,则“l”是“lm且ln”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:m,n,llm且ln,反之由lm且ln,当mn时,不能推出l,故选A.答案:A,题型三充要条件的应用【例3】设A=xR|-2xa,B=y|y=2x+3,xA,C=z|z=x2,xA,则命题CB的充要条件是什么?,解A=xR|-2xa,B=y|-1y2a+3.当-2a2时,C=z|0za2.当-2a2时,CB42a+3a2;当a2时,CBa22a+320),若非p是非q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.,解题方法拾遗【例4】“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间1,+)上为增函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件,解析当a=1时,f(x)=|x-1|在区间1,+)上为增函数,而函数f(x)=|x-a|在区间1,+)上是增函数,得出a1,因此“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间1,+)上为增函数”的充分不必要条件.故选A.答案A,【例5】设全集为U,在下列条件中,(1)AB=A;(2)(UA)B=;(3)UAUB;(4)AUB=U能作为BA的充要条件的有_.(把正确的序号都填上).,解析利用韦恩图解答,作韦恩图,如图所示.(1)AB=ABA.(2)(UA)B=BA.(3)UAUBBA.(4)AUB=UUAUB.AUB=U是BA的充要条件.答案(1)(2)(3)(4),点评判断充要条件的方法(1)定义法:若pq,则p是q的充要条件.(2)逆否法:若证非p是非q的充要条件,只需证明q是p的充要条件.(3)集合法:从集合的观点出发,建立命题p和q相应的集合,A=x|p(x),B=x|q(x).若AB,则p是q的充分条件.若BA,p是q的必要条件.若A=B,则p是q的充要条件.,考向精测1.若a0,b0,且a1,则logab0是(a-1)(b-1)0的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C,2.下列命题错误的是()A.命题若m0,则方程x2+x-m=0有实数根的逆否命题为:若方程x2+x-m=0无实数根,则m0B.x=1是x2-3x+2=0”的充分不必要条件C.若pq为假命题,则pq均为假命题D.y=sin(2x+)为偶函数的充要条件是=k+(kZ)答案:C,教师备课资源1.指出下列命题中,p是q的什么条件(在充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件中选出一种作答).(1)在ABC中,p:A=B,q:sinA=sinB;(2)对于实数xy,p:x+y8,q:x2或y6;(3)非空集合AB中,p:xAB,q:xB;(4)已知xyR,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.,解:(1)在ABC中,A=BsinA=sinB,反之,若sinA=sinB,因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180),所以只有A=B.故p是q的充要条件.(2)易知,p:x+y=8,q:x=2且y=6,显然qp,但pq,即q是p的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.(3)显然xAB不一定有xB,但xB一定有xAB,所以p是q的必要不充分条件.(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以pq但qp,故p是q的充分不必要条件.,2.现有命题:若cb,且f(x)在两个区间a,b,c,d上都是增函数,则f(x)在区间a,bc,d上是增函数,若认为该命题为真,请给出证明.若认为该命题为假,请对原命题予以补充条件(不允许变更原命题的内容不允许举反例)使原命题成立,请先写出补充条件,然后证明给出的真命题.,解:原命题为假命题.需补充的条件:f(c)f(b).证明:任取x1,x2a,bc,d,且x1x2.(1)若x1,x2a,b,由f(x)在a,b上为增函数,必有f(x1)f(x2)成立;(2)若x1,x2c,d,由f(x)在c,d上为增函数,必有f(x1)f(x2)成立;,(3)若x1a,b,x2c,d,由题设知f(x1)f(b),f(x2)f(c),又f(b)f(c).f(x1)f(x2).综上所述,f(x)在a,bc,d上为增函数.,3.求关于x的方程a

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