第三章,复变函数的积分

1,.,第三章复变函数的积分,2.1复变函数积分的概念,2.2Cauchy-Goursat基本定理,2.3基本定理的推广-复合闭路定理,2.4原函数与不定积分,2.5柯西积分公式,2.6解析函数的高阶导数,2.7解析函数与调和函数的关系,2,.,3.1复变函数积分的概念,1积分的定义,2积分存在条件及计算方法,3积分的性质,.,3,1积分的定义,曲线的方向,设C为平面上给定的一条光滑（或按段光滑）曲线，如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向（或正向），那么就把C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。,设曲线C的两个端点为A与B，若把从A到B的方向作为C的正向那么B到A的方向就是C的负向，记作C,A,B,.,4,简单闭曲线的方向,简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方。与之相反的方向就是曲线的负方向。,.,5,在C上依次取分点,把曲线C分割为n个小段.,D,.,6,一点,做和数,其中，,令,.,7,如果分点的个数无限增多，并且极限,存在,则称该极限值为函数沿曲线C的积分,如果C是闭曲线，经常记作,为实值函数，那么这个积分就是定积分.,8,.,2积分存在的条件及计算方法,并且,定理1设C是光滑(或可求长)的有向曲线，,.,9,设，则,证明,u,v连续取极限,u,v连续取极限,.,10,积分公式从形式上可以看成,.,11,定理2设光滑曲线C由参数方程给出：,在包含C的区域D内连续，则,.,12,证明,.,13,如果C是由C1,C2,Cn年等光滑曲线段依次相互连接所组成的按段光滑曲线，那么定义,如无特别说明，今后我们讨论的积分总是假定被积函数是连续的，曲线是按段光滑的。,.,14,例1计算,其中C为从原点到点3+4i的直线段.,.,15,解,积分路径的参数方程为,例2计算积分,(n是整数),其中C是圆周:,的正向.,.,16,重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.,.,17,(1)从原点到1+i的直线段；,(3)抛物线y=x2上从原点到1+i的弧段；,(2)从原点沿x轴到1,再从1到1+i的折线.,例3计算积分,其中C为,.,18,注意1从例3看到,积分,相同的路径进行时积分值不同,而由例一知，积分值与路径无关。是否可以讨论积分与积分路径的关系?,注意2一般不能将函数f(z)在以z1为起点,以z2,为终点的曲线C上的积分记成因为,积分值可能与积分路径有关,所以记,沿着三条不,.,19,(k是复常数);,3积分的性质,(4)设曲线C的长度为L,函数f(z)在C上满足,则,估值不等式,.,20,事实上,.,21,例4设C为从原点到点3+4i的直线段,试求积分,绝对值的一个上界.,22,.,2柯西-古萨(CAUCHY-GOURSAT)基本定理,23,.,柯西-古萨基本定理设f(z)是单连通区域B上,说明:该定理的主要部分是Cauchy于1825年建立的,它是复变函数理论的基础.,的解析函数，那么函数f(z)沿B内任何一条封闭曲线C的积分为零：,24,.,证明根据,由Green公式,因为f(z)解析,所以u(x,y)和v(x,y)在B内可微,且,.,25,回顾,其中C取正向.,设以及在光滑或按段光滑的闭曲线C围成的闭区域B连续,则,.,26,注意1定理中的C可以不是简单曲线.(柯西积分定理),注意3定理中B是单连通区域的假设不可缺少.,注意2若曲线C是区域B的边界,函,函数f(z)在B内解析,在闭区域上连,参见例2,续,则,.,27,解因为函数,补例计算积分,在上解析,所以根据Cauchy-Goursat基本定理,有,28,.,3基本定理的推广复合闭路定理,.,29,闭路变形原理,解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在其解析区域内作连续变形而改变它的值.,.,30,在函数f(z)的解析区域D内考虑两条简单闭曲线C、C，其中C包含在C的内部，D1为两条曲线所围的区域,并且两条曲线都取正向,D,.,31,D,=,.,32,.,33,.,34,闭路变形原理解决的问题,.,35,定理(复合闭路定理),设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以为边界的区域全含于D，如果f(z)在D内解析，那么,这里C及Ck均取正向，为由C及Ck（k=1,2,n）所组成的复合闭路（其方向是：C按逆时针进行，其余按顺时针进行）。,.,36,复合闭路定理的证明,37,.,解显然函数,例计算积分,其中G为包含圆周,在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.,在复平面有两个奇点0和1,并且G包含了这两个奇点.,.,38,在G内作两个互不包含也互不相交的正向,圆周C1和C2,使得C1只包含奇点0,C2只包含,奇点1.,根据,.,39,.,40,解显然C1和C2围成一,补例计算积分,其中G由正向圆周,个圆环域.函数,在此圆环域及其边界上解析,并且圆环域的边界,构成复合闭路,所以根据,.,41,解因为z0在闭曲线G的内部,任意分段光滑的Jordan曲线,n为整数.,故可取充分小的正数r,使得圆周,含在G的内部.,可得,.,42,故,这一结果很重要.,与进行比较.,43,.,4原函数与不定积分,.,44,1原函数的概念,注设F(z)和G(z)都是f(z)在区域D上的原,函数,则(常数).,定义设f(z)是定义在区域B上的复变函数,若存在B上的解析函数使得在,B内成立，则称是f(z)在区域B上的原函数.,.,45,那么它就有无穷多个原函数,一般表达式为,根据以上讨论可知:,证明设F(z)和G(z)都是f(z)在区域D上的,根据第44页例3可知,为常数.,原函数,于是,如果F(z)是f(z)在区域D上的一个原函数，,(其中C是任意复常数).,.,46,定理一设f(z)是单连通区域B上的解析函数,z0是B内的一个点,C是B内以z0为起点,z为终点的,分段光滑曲线,则积分,只依赖于z0与z,而与路径C无关.,.,47,设C1与C2都是以B内以z0为起点,z为终点的,分段光滑曲线,又不妨设C1与C2都是简单曲线.,如果C1与C2除起点和,终点之外,再没有其他重点,则是Jordan曲线,根据Cauchy定理有,.,48,如果C1与C2除起点和,终点之外,还有其他重点,在D内再做一条以z0为起点,z为终点,除起点和终点之外,与C1与C2没有其他,重点的分段光滑曲线,则由已证明的情形,.,49,如果f(z)在单连通区域B内解析,则f(z)在以,z0为起点,z为终点的B内的分段光滑曲线C上积分,积分值与积分路径无关，即可记为,于是确定了B内的一个单值函数,.,50,B,.,51,定理二设f(z)是单连通区域B上的解析函数,z0和z是B内的点,则,是f(z)在B上的原函数.即,.,52,证明因为z是B内的任意一点,以z为中心作一个,含于B内的圆域K，其边界记为.,取充分小使在K内,于是,.,53,因为函数f(z)在B内连续,所以e0,存在,d0,使得当|-z|0充分小,使得R0,存在d0,使得,当时,K：在C的内部,则,63,.,的值与R无关,所以由e的任意性,可知,根据,实际上根据闭路变形原理,积分,.,64,关于Cauchy积分公式的说明:,可见,函数在C内部任一点的值可用它在边界上,（这是解析函数的一个重要特征）,(1)从Cauchy积分公式,的值通过积分来表示.,.,65,这表明了Cauchy积分公式不但提供了计算,(这是研究解析函数的有力工具),(2)如果曲线C上的点用z表示,C内部的,点用z表示,则Cauchy积分公式表示为,某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出,了解析函数的一个积分表达式.,.,66,如果C是圆周，那么柯西积分公式成为,即解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值,.,67,例：求下列积分（沿圆周正向的值）,68,.,6解析函数的高阶导数,69,.,CAUCHY积分公式,Cauchy积分公式,定理设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点,C是D内任意一条含z0在内部,区域的正向简单闭曲线,则,.,70,高阶导数公式,定理：解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数为,其中C为在函数f(z)解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全含于D。,高阶导数公式,.,71,证明首先考虑n=1的情形.因为z0在C的内部,故当|z|适当小时,z0+z也在C的内部.所以应用,于是,可知,.,72,因为f(z)在C上解析,所以在C上连续,故有界.,.,73,于是存在M0,使得|f(z)|M.又因为z0是C,内部区域内的点,所以存在R0,使,在C的内部区域.,因此当z在C上时,.,74,利用类似的方法可求得,证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.,再利用数学归纳法，便有,.,75,高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.,例1求下列积分的值，其中C为正向圆周：,.,76,例2：设函数f(z)在单连通区域B内连续，且对于B内任何一条简单闭曲线C都有，证明:f(z)在B内解析。,Morera（莫累拉）定理,.,77,证明：在B内取定一点z0,z为B内任意一点。因为对于B内任何一条简单闭曲线C都有所以积分的值与连接z0与z的路线无关。,于是它定义了一个单值函数,与81页定理二的证明方法类似可以证明,F(z)的导数存在，即其是一个解析函数，再由高阶导数定理知其导数也解析，即f(z)解析。,78,.,7解析函数与调和函数的关系,79,.,调和函数的概念,如果二元函数j(x,y)在区域D内存在二阶连续,偏导数,且满足二阶偏微分方程(Laplace方程),则称j(x,y)是区域D内的调和函数.,工程中的许多问题,如平面上的稳定温度场、,静电场和稳定流场等都满足Laplace方程.,80,.,解析函数与调和函数的关系,D内的解析函数，则u(x,y)和v(x,y)都是区域D内的,调和函数.,注：区域D内解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。,定义：如果u(x,y)和v(x,y)都是区域D内的调和函数,且u(x,y)+iv(x,y)是D内的解析函数,则称v(x,y)是u(x,y),的共轭调和函数.,.,81,由于解析函数的导数仍是解析函数,因此u(x,y)和,证明因为f(z)在D内解析,所以满足Cauchy-,Riemann条件,v(x,y)存在各阶连续偏导数.将,分别对x和y求导，则,.,82,当混合偏导数连续时，求导次序可以交换.因此，,即u(x,y)是调和函数.同理可证v(x,y)也是调和函数.,.,83,如果任给区域D内两个调和函数u(x,y)和v(x,y),那么u(x,y)+iv(x,y)在D内是否为解析函数?,考虑和,不一定,.,84,若v是u的调和函数，u是否也是v的调和函数呢？,不是！,.,85,现在提出如下问题：,或者已知调和函数v(x,y)时，是否存在调和函数u(x,y)，使得f(z)=uiv是D内的解析函数?,已知u(x,y)是区域D内的调和函数，是否存在u(x,y)的共轭调和函数v(x,y)，使得函数f(z)=uiv是D上的解析函数?,回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.,86,.,解因为在全平面内,的调和函数，并求其共轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数解析函数.,.,87,(其中C为任意实常数).,求u的共轭调和函数v.,.,88,于是得解析函数,令,那么函数可以化为,其中C为任意实常数.,偏积分法,.,89,求以u为实部的解析函数的另一方法.,不定积分法,因为解析函数的导数仍为解析函数，故,仍为解析函数。,已知u,已知v,.,90,例2已知调和函数,是解析函数f(z)的虚部,且f(0)=0,求f(z)的表达式.,解：因为,.,91,因此,整理得：,积分得,.,92,所以,偏积分法,.,93,所以,.,94,95,.,2.Cauchy-Goursat积分定理,3.复合闭路定理,4.Cauchy积分公式与高阶导数公式,本章的重点,1.复变函数积分的计算,5.由已知调和函数求解析函数,.,96,GeorgeGreen(1793.7.14-1841.5.31),自学而成的英国数学家、物理学家.出色地将,数学方法应用到电磁理论和其他数学物理问题.,1928年出版了出版了小册子数学分析在电磁,学中的应用,其中有著名的Green公式.,40岁进入剑桥大学学习,1839年聘为剑桥大学,教授.,他的工作培育了数学物理学者的剑桥学派,其,中包括G.Stokes和C.Maxwell.,.,97,IsaacNewton,(1642.12.25-1727.3.20),伟大的英国物理学家和数学家.,1661年,进入剑桥大学三一学院学习.,大学毕业后,在1665和1666年期间,Newton做了,具有划时代意义的三项工作:微积分、万有引力,和光的分析.1687年发表自然哲学之数学原理.,1669年任剑桥大学教授,1703年当选为皇家学,会会长,1705年被英国女王授予爵士称号.他还担,任过造币厂厂长.,.,98