第三章 经典数学问题的建模巧用

.,数学建模与实验,第三章经典数学问题的建模巧用,.,人狼羊菜渡河问题,状态转移问题,.,人狼羊菜渡河问题,问题分析,这是一个多步决策问题，我们采用状态变量表示此岸人、狼、羊、菜的状况，决策变量为每次运载的东西。问题转化为在状态允许的范围内，确定每一步的决策，达到安全渡河的目的。,模型建立与求解,我们用作为状态变量，表示人、狼、羊、菜在此岸的状态。表示在彼岸。表示在此岸，,.,人狼羊菜渡河问题,状态变量,决策变量,新的状态变量,.,（1，0，0，0）=（0，1，1，0）（1，1，0，0）=（0，0，1，0）（1，1，1，0）+（1，0，1，0）=（0，1，0，0）（1，0，0，1）=（0，1，1，1）,人狼羊菜渡河问题,状态转移举例,状态,决策变量,状态,.,人狼羊菜渡河问题,.,人狼羊菜渡河问题,1,10,3,7,4,8,2,9,5,6,.,从连接图可看出，状态1到状态6的最短路线为,路线1：1-10-3-7-4-8-5-6,路线2：1-10-3-9-2-8-5-6,人狼羊菜渡河问题,.,课堂练习,商人过河问题,.,数学巧用,棋子颜色问题,任意拿出黑白两种颜色的棋子共n个，随机排成一圆圈。然后在两颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来的棋子，再重复以上过程。问这样重复进行下去棋子的颜色会发生怎样的变化？,.,棋子颜色问题,模型分析,（-1）（-1）=1，1（-1）=-1，,运算结果与颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子的规则正好相符。,如果用1表示黑色棋子，用-1表示白色棋子。因为,故可设棋子数为n,为初始状态，其中,.,则状态变化过程如下,n=3,n=2,两步以后棋子全为黑色,三步以后回到前面状态,棋子颜色问题,.,n=4,棋子颜色问题,经过4步棋子全为黑子,.,n=5,棋子颜色问题,棋子既不循环也不全为黑子,.,当棋子数为,结论,棋子颜色问题,时，至多经,全变为黑子。当棋子数不为,次操作，就可以,时，一般不能全变为,黑子。,.,1.设棋子数为16，经过16步操作，看棋子是否全变为黑色。2.设棋子数为7，经过10步操作，看棋子颜色如何。,编程练习,棋子颜色问题,.,MATLAB程序,棋子颜色问题,clcclearalln=16;%棋子数times=16;%迭代次数x0=zeros(1,n);%产生1n全零阵x1=zeros(1,n);fori=1:nk=rand(1,1);%产生1个服从0，1上均匀分布的随机数if(k0.5)x0(i)=1;elsex0(i)=-1;end,.,end,棋子颜色问题,x0%初始棋子颜色构造完毕fori=1:timesi%显示迭代次数fork=1:n-1x1(k)=x0(k)*x0(k+1);endx1(n)=x0(n)*x0(1);x1%显示第i次迭代结果x0=x1;%初始状态更新end,.,铺瓷砖问题,要用40块方形瓷砖铺下图所示的地面，当时市场上只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块。有人买了20快长方形瓷砖，试着铺地面，结果弄来弄去始终无法铺好。试问是这人的功夫不到家还是这个问题根本无解呢？,.,铺瓷砖问题,解：将相邻的方块，一个画上阴影，一个保留空白，则共有21个阴影方块和19个空白方块。因为一块长方形砖一次只能覆盖一个阴影方块和一个空白方块，故多余的两块阴影方块无法覆盖，本问题本身无解。,.,课堂练习跑步问题,有人在任何一个5min时间区内跑不到500m，问此人10min有没有可能恰好跑完1000m？,建模提示：设S(t)表示t（min)（t0,5）跑完的路程。构造f(t)=s(t+5)-s(t)-500,利用闭区间上连续函数的性质,.,设S(t)表示t（min)跑完的路程。构造f(t)=s(t+2)-s(t)-200,则f(0)=s(2)-s(0)-200（s(0)=0)f(2)=s(4)-s(2)-200f(4)=s(6)-s(4)-200f(6)=s(8)-s(6)-200f(8)=s(10)-s(8)-200若10min恰好跑完1000m,则f(8)=800-s(8)f(0)+f(2)+f(4)+f(6)=s(8)-800由连续函数性质，存在