不等式的证明.ppt

不等式的证明,松北高级中学吴宏亮,【例1】已知a0，b0，求证：a3+b3a2b+ab2.(课本P12例3),即a3+b3a2b+ab2.,证明一：比较法（作差）,（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）+（b3-ab2）,=a2(a-b)+b2(b-a),a0，b0，,(a-b)2(a+b)0.,故（a3+b3）-（a2b+ab2）0,a+b0，而(a-b)20.,=(a-b)2(a+b).,=(a-b)(a2-b2),故a3+b3a2b+ab2.,证明二：比较法（作商）,a2+b22ab，,又a0，b0，所以ab0，,所以有a3+b3a2b+ab2.,证明三：分析法,欲证a3+b3a2b+ab2，,只需证明(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).,由于a0，b0，,所以a+b0，,故只要证明a2+b2-abab即可。,即证明a2+b22ab.,而a2+b22ab显然是成立的,即a3+b3a2b+ab2.,证明四：综合法,a2+b22ab，,a2+b2-abab.,又a0，b0，,a+b0，,故(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).,【例2】已知a0，b0，求证：,证明一：比较法（作差）,证明二：比较法（作商）,而a0，b0，所以a+b0.,证明四:综合法,a1a2a3an,b1b2b3bn,a1bn+a2bn-1+an-1b2+anb1.,a1b2+a2b3+an-1bn+anb1,则a1b1+a2b2+a3b3+anbn,【例3】求证:(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).,证明一：(比较法),(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2),(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).,=2abcd-a2d2-b2c2,=(a2c2+b2d2+2abcd)-(a2c2+b2d2+a2d2+b2c2),=-(ad-bc)2,0.,证明二：(分析法),证明三：(综合法),一般地,对任意实数ai,bi(i=1,2,3,n),都有:(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2.(柯西不等式),【例4】设-1a1,-1b1,求证:.,证明一:比较法(作差),-1a1,-10,1-b20,1-ab0.,所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)0,证明二:分析法,证明三:综合法,a2+b22ab,-a2-b2-2ab.,从而00.,证明四:换元法,设a=sin,b=sin,则,思考,2+2ab+2a2b2+,=2(1+ab+a2b2+),【例5】设a0,b0,且a+b=1,求证：,证明一(分析法),(4a+1)(4b+1)9,16ab+4a+4b+19,证明二(综合法),因为a0,b0,且a+b=1,所以,从而+.,【例6】已知m0,求证:m+3.,证明一(比较法),m+-3=,m+,3,证明二(综合法),m+=,证明三(函数思想),设f(x)=x+,则f(x)=1-,令f(x)=0,得:x=2.,当02时,f(x)0.,所以当x=2时,f(x)取到最大值3,故当m0时,有m+3.,=3,已知二次函数f(x)=