数学北师大版高中二年级选修2 1.2四种命题

1.2四种命题,1四种命题(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”,(2)对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好为另一个命题的条件的否定和结论的否定，把这样的两个命题叫做互否命题如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的否命题也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若綈p，则綈q”,(3)对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，则另一个命题叫做原命题的逆否命题也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题是“若綈q，则綈p”,2(1)四种命题间的相互关系,(2)一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：,尝试应用1若xy，则x2y2的否命题是()A若xy，则x2y2B若xy，则x2y2C若xy，则x2y2D若xy，则x2y2答案：C,2命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A逆命题B否命题C逆否命题D无关命题答案：A,3命题“若ab0，则a0”与命题“若a0，则ab0”是_命题解析：两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念答案：互逆,4命题“若，则sinsin”的等价命题是_答案：若sinsin，则,5把命题“当x2时，x23x20”写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假解：原命题：若x2，则x23x20，真命题逆命题：若x23x20，则x2，假命题否命题：若x2，则x23x20，假命题逆否命题：若x23x20，则x2，真命题,典例精析类型一四种命题之间的转换例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)垂直于同一平面的两直线平行(2)若mn0，则mn0.逆否命题：若mn0，则m0或n0.,类型二四种命题真假判断例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假：(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧,解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数真命题否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数真命题逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数真命题,(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高真命题否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等真命题逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高假命题,(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线真命题否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧真命题逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线真命题,练习2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断其真假：(1)若x3或x7，则(x3)(x7)0；(2)若a、b都是奇数，则ab必是奇数,解：(1)逆命题：若(x3)(x7)0，则x3或x7；(真)否命题：若x3且x7，则(x3)(x7)0；(真)逆否命题：若(x3)(x7)0，则x3且x7.(真)(2)逆命题：若ab是奇数，则a、b都是奇数；(真)否命题：若a、b不都是奇数，则ab不是奇数；(真)逆否命题：若ab不是奇数，则a、b不都是奇数(真),类型三四种命题的相互关系例3若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的逆命题的()A原命题B逆命题C否命题D逆否命题,分析由题目可获取以下主要信息：p与q互为否命题；q与r互为逆命题解答本题可利用四种命题之间的关系来寻找,解析设命题p为“若k，则s”；则其否命题q是“若綈k，则綈s”；则命题q的逆命题r是“若綈s，则綈k”，而p的逆命题为“若s，则k”，故r是p的逆命题的否命题答案C,注意：(1)四种命题的结构分别为：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若綈p，则綈q；逆否命题：若綈q，则綈p.,(2)在四种命题中，原命题和逆命题，否命题和逆否命题互为逆命题；原命题和否命题，逆命题和逆否命题互为否命题；原命题和逆否命题，否命题和逆命题互为逆否命题(3)解决此类问题应正确区分好四种命题之间的关系,练习3(1)与命题“若mM，则nM”等价的命题是()A若mM，则nMB若nM，则mMC若mM，则nMD若nM，则mM(2)给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若ab，cd，则acbd”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题的个数是(),A0B2C3D4解析：(1)原命题与逆否命题等价(2)因为原命题为真，逆命题为假答案：(1)D(2)B,类型四等价命题的应用例4判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，则a1”的逆否命题的真假,分析由题目可以获取以下主要信息：所给命题涉及到一元二次不等式的解集；判断逆否命题的真假解答本题可先根据已知的命题利用判别式求出a的范围，再去判断命题的真假,解方法1：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集判断真假如下：抛物线yx2(2a1)xa22开口向上，判别式(2a1)24(a22)4a7.,因为a0，12m0，12m40.方程x22x3m0的判别式12m40.原命题“若m0，则方程x22x3m0有实数根”为真又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m0，则方程x22x3m0有实数根”的逆否命题也为真,思悟升华1正确写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，因此，若原命题为：若p，则q，则其逆命题为：若q，则p；否命题为：若綈p，则綈q；逆否命题为：若綈q，则綈p.,为便于书写各种命题，当原命题不是“若p，则q”的形式时，应先将命题写成规范形式“若p，则q”，然后再进行书写其他三种命题(2)在将一个命题改写为“若p，则q”的形式时，写法不是惟一的如：命题“负数的平方是正数”可写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”，其对应的逆命题、否命题、逆否命题分别为：,逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数也可写成“若一个数是负数的平方，则这个数是正数”，则其对应的逆命题、否命题、逆否命题相应变为：,逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方；否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数；逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方,2四种命题之间关系：(1)一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：,由于逆命题与否命题也是互为逆否命题，因此这