2.3.1变量之间的相关关系 (2).ppt

2.3变量间的相关关系,问题提出,1.函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系.,函数关系：两个变量之间是一种确定的关系,2.在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？,由学习经验可知：物理成绩确实与数学成绩有一定的关系，除此之外，学习兴趣、学习时间、教学水平等，也是影响物理成绩的一些因素，但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系，我们称之为相关关系。有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义.,不是,知识探究（一）：变量之间的相关关系,思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？,均不是！,上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？,自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.,一、相关关系的概念,2、相关关系与函数关系的异同点,不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系。,相同点：均是指两个变量的关系,相关关系当自变量取值一定,因变量的取值带有一定的随机性（非确定性关系)函数关系-函数关系指的是自变量和因变量之间的关系是相互唯一确定的.,1、对相关关系的理解,1、探究下面变量间的关系:,1.球的体积与该球的半径;2.粮食的产量与施肥量;3.小麦的亩产量与光照;4.匀速行驶车辆的行驶距离与时间;5.角与它的正切值A,2、下列两变量中具有相关关系的是（）A、角度和它的余弦值B、正方形的边长和面积C、成人的身高和视力D、身高和体重,D,练习：,3.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C正边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高,D,在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用，变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断。,对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析,与以前一样，我们可以通过作统计图、表，使我们对两个变量之间的关系有一个直观的印象和判断.,知识探究（二）：散点图,【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：,其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数.,思考1：对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？,思考2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？,思考3：上图叫做散点图，你能描述一下散点图的含义吗？,在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.,散点图：用来判断两个变量是否具有相关关系.,思考4：观察散点图的大致趋势，人的年龄与人体脂肪含量具有什么相关关系？,在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.一般地，如果两个变量成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何？,思考6：如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？,正相关的特点：一个变量随另一个变量的变大而变大，散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域,负相关的特点：一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域,理论迁移,例1在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？正方形边长与面积之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；降雪量与交通事故的发生率之间的关系.,例2以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：,画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.,售价随房屋面积的变大而增加，散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域.,如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线就叫做回归直线。,这条回归直线的方程，简称为回归方程。,二、回归直线,三、如何具体的求出这个回归方程呢？,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与直线的偏差最小”。,设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）设所求的回归直线方程为其中a，b是待定的系数。当变量x取x1，x2，xn时，可以得到（i=1，2，n）它与实际收集得到的之间偏差是（i=1，2，n）,这样，用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。,我们可以用点（xi，yi）与这条直线上横坐标为xi的点之间的距离来刻画点（xi，yi）到直线的远近.,为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？,用这n个距离之和来刻画各点到直线的“整体距离”是比较合适的，即可以用,表示各点到直线的“整体距离”.,(x1,y1),(x2，y2),(xi，yi),(xn，yn),用这n个距离之和来刻画各点到直线的“整体距离”是比较合适的，即可以用,(x1,y1),(x2，y2),(xi，yi),(xn，yn),由于绝对值使得计算不方便，在实际应用中人们更喜欢用,(x1,y1),(x2，y2),(xi，yi),(xn，yn),这样，问题就归结为：当a，b取什么值时Q最小？即点到直线的“整体距离”最小.,这样，问题就归结为：当a，b取什么值时Q最小？即点到直线的“整体距离”最小.,这样通过求此式的最小值而得到回归直线的方法，即使得一半数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.,根据有关数学原理推导，a，b的值由下列公式给出,根据最小二乘法的思想和此公式，利用计算器或计算机可以方便的求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程.,小结,1、求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：,第一步，计算平均数,第二步，求和,第三步，计算,第四步，写出回归方程,2、回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.,3、对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.如果一组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.,四、利用回归直线方程对总体进行估计,练习：炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量X与冶炼时间y（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如下表所示：,（1）作出散点图，找规律。（2）求回归直线方程。（3）预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？,解:(1)作散点图.从图可以看出,各点分布在一条直线附近,即它们线形相关.,(2)列出下表,并计算,设所求的回归直线方程为,其中a,b的值使,的值最小.,所以回归直线的方程为=1.267x-30.51,(3)当x=160时,1.267.160-30.51=172,一、选择题（每题5分，共15分）1.下列关系中为相关关系的有()学生的学习态度和学习成绩之间的关系；教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；学生的身高与学生的学习成绩之间的关系;某个人的年龄与本人的知识水平之间的关系.(A)(B)(C)(D)【解析】选A.据相关性的定义可知为相关关系，无相关关系.,巩固练习,3.在下列各变量之间的关系中:汽车的重量和百公里耗油量.正n边形的边数与内角度数之和.一块农田的小麦产量与施肥量.家庭的经济条件与学生的学习成绩.是相关关系的有()(A)(B)(C)(D),二、填空题（每题5分，共10分）4.（2010广东高考）某市居民20052009年家庭平均收入x（单位：万元）与年平均支出y（单位：万元）的统计资料如表所示：,根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是_，家庭年平均收入与年平均支出有_的线性相关关系.（填“正相关”、“负相关”）【解析】收入数据按大小排列为：11.5、12.1、13、13.5、15,所以中位数为13.答案：13正相关,三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）6.某品牌服装的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下的对应数据：试画出散点图，并判断广告费x与销售额y是否具有线性相关关系.,【解析】根据题中数据画出散点图如下：观察散点图，可以发现5个样本点从整体上看大致在一条直线附近，所以变量x、y之间具有线性相关关系.,本节重点知识回顾,1、相关关系（1）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。（2）相关关系与函数关系的异同点。相同点：两者均是指两个变量间的关系。不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系；相关关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系（但可能是伴随关系）。（3）相关关系的分析方向。在收集大量数据的基础上，利用统计分析，发现规律，对它们的关系作出判断。,2、两个变量的线性相关,（1）回归分析对具有相关关系的两个变量