1.3.2利用导数研究函数的极值.ppt

中国人民大学附属中学,1.3.2利用导数研究函数的极值,一、复习与引入:,上节课,我们讲了利用函数的导数来研究函数y=f(x)的单调性这个问题.其基本的步骤为:,求函数的定义域;,求函数的导数f(x);,解不等式f(x)0得f(x)的单调递增区间;解不等式f(x)f(x1).,(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.,在上节课中,我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的.下面我们利用函数的导数来研究函数的极值问题.,由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有f(x)=0.但反过来不一定.如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小.假设x0使f(x)=0.那么在什么情况下x0是f(x)的极值点呢？,如上图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0).因此,x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即f(x)0;x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即f(x)0,右侧f(x)0,那么,f(x0)是极大值;,(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,那么,f(x0)是极小值.,如何求函数的最大（小）值呢？,假设y=f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在a，b一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点取得。由于可导函数在区间(a，b)内的极值只可能在使f(x)=0的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使f(x)=0的点的值作比较，最大者必为函数在a，b上的最大值，最小者必为最小值。,求函数y=f(x)在a，b的最大（小）值步骤如下：（1）求函数f(x)在开区间(a，b)内所有使f(x)=0的点；（2）计算函数f(x)在区间内使f(x)=0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。,例1已知函数y=x34x+4，（1）求函数的极值，并画出函数的大致图象；（2）求函数在区间3，4上的最大值和最小值,解：（1）y=(x34x+4)=x24=(x+2)(x2),令y=0，解得x1=2，x2=2,当x变化时，y，y的变化情况如下表:,当x=2时，y有极大值且y极大值=,当x=2时，y有极小值且y极小值=,（2）f(3)=7，f(4)=9=，,与极值点的函数值比较得到该函数在区间3，4上最大值是9，最小值是,例2求y=(x21)3+1的极值.,解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2令y=0解得x1=1，x2=0，x3=1.当x变化时，y，y的变化情况如下表:,当x=0时，y有极小值且y极小值=0,例3求函数y=x42x2+5在区间2，2上的最大值与最小值,解：先求导数，得y=4x34x,令y=0即4x34x=0，,解得x1=1，x2=0，x3=1.导数y的正负以及f(2)，f(2)如下表：,从上表知:当x=2时，函数有最大值13，当x=1时，函数有最小值4,例4已知,(0,+).是否存在实数,使f(x)同时满足下列两个条件：（1）f(x)在(0，1)上是减函数，在1，+)上是增函数；（2）f(x)的最小值是1，若存在，求出a,b，若不存在，说明理由.,解：设g(x)=,f(x)在(0，1)上是减函数，在1,+)上是增函数g(x)在(0，1)上是减函数，在1,+)上是增函数.,所以,即,解得,经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.,练习题,1函数y=1+3xx3有()(A)极小值1，极大值1(B)极小值2，极大值3(C)极小值2，极大值2(D)极小值1，极大值3,D,2函数y(x21)31的极值点是()(A)极大值点x=1(B)极大值点x=0(C)极小值点x=0(D)极小值点x=1,C,3函数f(x)=x的极值情况是()(A)当x=1时取极小值2，但无极大值(B)当x=1时取极大值2，但无极小值(C)当x=1时取极小值2，当x=1时取极大值2(D)当x=1时取极大值2，当x=1时取极小值2,D,4若函数y=x3+ax2bx27在x=3时有极大值，在x=1时有极小值，则a=；b=.,3,9,5函数y=348xx3的极大值是,极小值是,y|x=4=125