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每日一题677椭圆的“垂径定理” 已知椭圆()，为椭圆内不在坐标轴上一点过作不过原点的直线交椭圆于两点，恰为的中点，过作的垂线交椭圆于两点，为弦的中点记到直线的距离为，求的最大值分析与解不妨设，则根据椭圆的“垂径定理”，可得直线的斜率为，于是进而由，可得设，则由椭圆的“垂径定理”，有又于是因此记()，则等号当且仅当时取得因此所求的最大值为 我们都知道垂径定理是圆的重要性质，其内容为：已知圆中有一条非直径的弦，那么这条弦垂直于过其中点的直径 对于椭圆也有类似的性质，我们称之为椭圆的“垂径定理”，描述如下：已知不过原点OO 的直线与椭圆x2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1 交于AA 、BB 两点，MM 为弦ABAB 的中点，则直线ABAB 与直线OMOM 的斜率之积kABkOM=b2a2.kABkOM=b2a2.注一 当a=b=ra=b=r 时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；注二 这里并不要求abab ，也就是说此结论对焦点在xx 轴和焦点在yy 轴上的椭圆均适用；注三 双曲线x2a2y2b2=1x2a2y2b2=1 的垂径定理中的斜率之积kABkOM=b2a2.kABkOM=b2a2. 点差法是证明这一性质的最好方法：设A(x1,y1)A(x1,y1) ，B(x2,y2)B(x2,y2) ，则x21a2+y21b2=1x22a2+y22b2=1x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1两式相减，有x21x22a2+y21y22b2=0,x12x22a2+y12y22b2=0,两边同时除以x21x22x12x22 ，并化简可得y21y22x21x22=b2a2,y12y22x12x22=b2a2,利用平方差公式变形，有y1y2x1x2y1+y220x1+x220=b2a2,y1y2x1x2y1+y220x1+x220=b2a2,此即欲证性质 证明这一
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