常微分方程初值问题数值解法.

常微分方程初值问题的数值解法朱正辉(浙江海洋研究所数学信息来源，浙江舟山316004)摘要:在常微分方程过程中讨论的是寻找一些典型方程的解决方法。但是在生产实践和科学研究中出现的问题往往很复杂，很多情况下不能提供解决的分析式。本文详细介绍了常微分方程初值问题的几种数值方法，并推导了几种数值方法。欧拉方法、改进的欧拉方法、Runge-Kutta方法和线性多级Adams表示隐式公式和预测校正公式，并对稳定性和收敛性进行理论分析。最后给出了数值例子，分别用不同的方法计算近似值，并从结果比较了各种方法的优缺点。关键词:常微分方程；初始值问题；数值方法；收敛；收敛。稳定性误差估计numerical method for initial-value problems主油画(school of mathematics，physics，and information science，Zhejectiang ocean university，Zhoushan，zhejectiang 316004)abstract: in The course about ordinary differential equations，The methods for analytic solutions of Some typical equations arethe stability and convergence about the methods are presnted . some numerial examples are give to demonstrate the effectiveness and accuracy of theooskeywords: ordinary differential equation；initial-value problem；Numerical methodConvergence可用性；Error estimate1前言自然界和工程技术的许多现象，例如自动控制系统的运行、飞机的运行、化学反应的过程、生态平衡的特定问题等，都可以抽象为常微分方程的超值问题。其真相通常很难通过分析方法得到，到目前为止，很多种类的微分方程还没有给出答案。一般只以数字方式计算。对这个问题的研究已经从18世纪开始了。特别是在计算机的一般应用中，许多微分方程问题得到了数值解法，使人们知道解法的不同性质和数值特性，并为工程技术等实际问题提供了定量依据。关于常微分方程初值问题的数值计算方法，很多学者已经作出了很大的努力。1768年，欧拉提出了常微分方程初值问题的方法，1840年，柯西仔细分析了初值问题。早期常微分方程的数值解法源于天体力学。1846年，亚当斯还是学生的时候，和Le Verrier一起预测了出现在天王星轨道上的自己的位置。1883年，Adams 1 Adams forth和Adams 1 alpontin方法学。Rull(1895年)、Heun(1900年)和Kutta(1901年)Runge。提出了Kutta方法。20世纪50年代，Dahlquist建立了常微分方程数值解的稳定性理论，线性多阶段方法是常微分方程初值问题的数值方法。由于一般的数值方法，绝对稳定区域是有限的，不适用于刚度常微分求解的初值问题。刚性微分方程在与航空、航空、热核反应、自动控制、电子网络和化学动力学等一系列国防和现代化密切相关的高新技术领域具有不容置疑的重要性。因此，刚度微分方程的研究从20世纪50年代到1965年在爱丁堡举行的IFIP会议后，进一步了解刚度方程的普遍性和重要性。从20世纪60年代初开始，很多数值分析人士为了探讨刚度问题的数值方法及其理论，关注了强度问题对传统数值积分方法的挑战。在此期间，人们的研究主要集中在算法的线性稳定性上，即基于测试方程数值解法的稳定性研究上。在这个领域发表了很多论文，1963年Dahlquist依次提出了稳定性理论，1967年Widlund提出了稳定性理论，1969年Gear提出了稳定性弱化，刚度稳定性理论，k阶段的刚度稳定性方法，得到了以下几个重要的理论结果。1969年，Dill找到了刚度稳定的第7和第8次，1970年Jain找到了刚度稳定的第9到第11次，但没有对可用性进行测试。这种稳定性理论和概念从严格的数学意义上说，仅适用于常数系数线性自治系统，这是在在线考试方程的框架下推导出来的。但是从实用的角度来看，这种理论一定是合理的，是必要的。刚性问题的算法设计具有重要的指导意义。国内也有一些学者研究了线性理论，主要包括经课、陈高梁、项目虚拟、李秀佛、黄胜明、李庆阳、费警报等。线性理论对一般问题起着指导作用，但不能成为非线性刚度问题算法稳定性理论研究的基础。为了将线性理论扩大到非线性问题，开始了对非线性模型问题的研究，但早期文献主要致力于数值方法基于经典liptz条件的经典收敛理论。如果认为稳定性好，具有经典兼容性和经典兼容性，就可以充分说明方法的整体误差状态。到1974年，Prothero和Robinson首先注意到，算法的经典误差被强度问题的大参数严重扭曲，产生了阶数减少现象，从而认识到非线性刚度问题和线性模型的经典收敛理论的不足。1975年，Dahlquist和Butcher分别提出了单方法和线性多级方法的g-1稳定概念和b稳定性概念。这两个概念填充了非线性稳定性分析理论，引起了计算数学家的极大关注。基于此理论，从1975年到1979年，Burrage和Butcher提出了AN-1稳定性和BN-1稳定性概念。据此，建立了基本b-1稳定及代数稳定理论。从1981年到1985年，Frank，schneid，ueberhuber建立了Runge一次通过方法的b-1收敛理论。b稳定性和b收敛理论统称b-理论，是常微分方程数值解法研究领域的一大成就，是刚性问题算法理论的突破性进展。刚性问题的研究标志着从线性到非线性情况的深化发展。国内也有很多学者致力于b-1理论的研究，例如李秀伯、曹年级等。1989年，李秀伯将Dahlquist的g-1稳定概念扩大到更一般的(C，P，Q)代数稳定，g的稳定线性多阶段不能超过二次极限。对于一般线性方法，李苏伯建立了一般线性方法的(K，P，Q)稳定性理论和(K，P，Q)弱代数稳定性标准和多级Runge-Kutta方法的一系列代数标准。此外，Dahquist、Butcher和Hairer分别具有单个方法、常规线性方法和Runge。深刻阐明了Kutta方法的线性和非线性稳定性之间的本质关系。为了求解刚性微分方程，有很多文献构造了包含稳定参数的线性多层次方法，适当地选择稳定参数，扩大方法的稳定区域。构建所有改进思想、特定明确或隐含的线性多层次方法，以获得更多的稳定区域，或增加稳定角度。80年代成为国内外学者研究的课题。学者主要有罗大伯和汤普生、芬伯格、李王尧、李首富、宝松、徐宏义、刘巴王、羌训、项家尚书、蒋信、李清彦目前国内外研究刚性问题的主要趋势之一是在b-1理论的指导下寻找更有效的新算法。另一个发展趋势是克服单边rip shutz常数和内部产品标准的局限性，建立比b-1理论更普遍的定量分析收敛理论。近年来刚性滞后系统的算法研究成为刚性问题的另一个热点研究领域。张承健将伯拉建立的刚度常微分系统的b理论扩展到非线性刚度时滞系统。常微分方程的数值算法是基于线性多层次方法、长1库塔方法和基于此开发的单方法、分块方法、循环方法、外推、混合方法、二阶微分法和各种常见估计修正算法开发的。其中，常用的线性多级公式包括欧拉公式、Heun公式、中点公式、Milne公式、Adams公式、Simpson公式、Gear方法、Adams估计精度、Mile估计汉明修正公式等，Burage是迄今已查明的众多新公式本文详细介绍了常微分方程初值问题的一些数值方法，并给出了欧拉方法、改进的欧拉方法、显式长格-库塔方法、隐式长格-库塔方法、线性多阶段方法的Adams显式隐式公式和预测校正公式，以及对其稳定性和收敛性的理论分析。最后，介绍了计算机程序算法的分析与实现，以及通过计算机速度优势弥补计算不足的几种数值方法。从结果比较了几种方法的优缺点。2常微分方程初值问题的数值解法2.1数值方法的基本思路考虑一阶常微分方程的初值问题(2.1)的数字解决方案。其中是和的已知函数，是指定的初始值。常微分方程的初值问题(2.1)数值解法是计算区间内精确离散节点范围的函数值，的近似值，两个相邻节点的间距称为步长，此时节点也是。数值解法可能表明，为了得到不连续节点的数值解法，连续性问题需要离散化。一般微分方程初值问题(2.1)的数值方法可分为两类：(1)在第一阶段-中计算的值仅取决于该变量及其派生值。(2)多级-要计算值，变量及其派生项需要来自以前多个网络节点的值。2.2欧拉方法2.2.1欧拉公式使用两点表达式替换点的函数导数而且，用近似值替换时，初始值问题(2.1)(2.2)(2.2)风格是著名的欧拉公式。2.2.2梯形公式欧拉方法的简单精度低，为了提高精度，方程式的两端在区间上积分(2.3)相反，使用梯形方法计算积分项。梯形公式可以用赋值(2.3)和近似值替代格式获得(2.4)数值积分的梯形公式比矩形公式精度高，因此梯形公式(2.4)是比欧拉公式(2.2)精度高的数值方法。表达式(2.4)的右端包含未知的内容，这是的函数方程，这种方法称为隐式方法。2.2.3改进的欧拉公式梯形公式实际上重复多次，计算得更多。实际上，梯形公式(2.4)仅重复一次。也就是说，通过Euler公式计算的估计值，梯形公式(2.4)重复一次来校正值(2.5)2.2.4欧拉方法的局部切割误差测量解析公式好坏的主要标准是解析公式的精度，因此引入了部分截断误差和阶数概念。定义2.1在正确的前提下，用该数值方法计算的误差称为用该数值方法计算的局部截断误差。对于Euler公式，假定然后按二次泰勒展开样式。所以有如果定义2.2数值方法的局部裁剪误差为，则该数值方法的阶数p .步长(h1)越小，p越高，局部裁剪误差越小，计算精度越高。2.3 Runge-Kutta方法2.3.1 Runge-Kutta方法的基本思路Euler公式可替换为中的表达式与中的Taylor展开模式的前两个条目相同。也就是说，部分切割错误是。改进的Euler公式可以重写为.上述两组公式中，形式上的一个共同点：是在特定点使用值的线性组合获得的近似值，随着计算次数的增加，修剪误差的阶数增加。每个步骤计算一次的值(例如Euler公式)是主方法。改进的欧拉公式用二次方法计算了两次。局部修剪误差为：因此，要构造近似公式，可以在多个点使用函数值的线性组合。也就是说，可以将具有近似公式的泰勒展开表达式和对此解决的泰勒展开方程前面的项目相匹配，使近似公式