衍射习题解答

衍 射91 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长1和2，并垂直入射于单缝上假如1的第一级衍射极小与2的第三级衍射极小相重合，试问：（1）这两种波长之间有什么关系；（2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？解答（1）单缝衍射的暗条纹形成条件是 = asin = k，(k = 1,2,3,)，k1 = 1和k2 = 3的条纹重合时，它们对应同一衍射角，由于因此1 = 32（2）当其他极小重合时，必有k11 = k22，所以 k2 = 3k1，当k1 = 2时k2 = 6，可见：还有其他极小重合92 单缝的宽度a = 0.40mm，以波长 = 589nm的单色光垂直照射，设透镜的焦距f = 1.0m求：（1）第一暗纹距中心的距离；（2）第二明纹的宽度；（3）如单色光以入射角i = 30斜射到单缝上，则上述结果有何变动？解答（1）单缝衍射的暗条纹分布规律是，(k = 1,2,3,)，当k = 1时，y1 = f/a = 1.4725(mm)（2）除中央明纹外，第二级明纹和其他明纹的宽度为y = yk+1 - yk = f/a = 1.4725(mm)（3）当入射光斜射时，光程差为 = asin asin = k，(k = 1,2,3,)当k = 1时，可得sin1 = sin /a = 0.5015和0.4985，cos1 = (1 sin21)1/2 = 0.8652和0.8669两条一级暗纹到中心的距离分别为y1 = ftan1 = 579.6(mm)和575.1(mm)当k = 2时，可得sin2 =asin 2/a = 0.5029和0.4971，cos2 = (1 sin22)1/2 = 0.8642和0.8677两条二级暗纹距中心的距离分别为y2 = ftan2 = 581.9(mm)和572.8(mm)第二明纹的宽度都为y = y2 y1 = 2.3(mm)，比原来的条纹加宽了aO93 一单色平行光垂直入射于一单缝，若其第三级衍射明纹位置正好和波长为600 nm的单色光垂直入射该缝时的第二级衍射明纹位置一样，求该单色光的波长解答除了中央明纹之外，单缝衍射的条纹形成的条件是，(k = 1,2,3,)当条纹重合时，它们对应同一衍射角，因此(2k1 + 1)1 = (2k2 + 1)2，解得此单色光的波长为= 428.6(nm)94 以某放电管发出的光垂直照射到一个光栅上，测得波长1 = 669nm的谱线的衍射角 = 30如果在同样的角处出现波长2 = 446nm的更高级次的谱线，那么光栅常数最小为多少？解答根据光栅方程得(a + b)sin = k11，和 (a + b)sin= k22，可得 k11 = k22，因此k2/k1 = 1/2 = 3/2，可见：k1最小取2，k2最小取3因此最小光栅常数为a + b = k11/sin = 2676(nm)这个最小光珊常数也可以下式计算： a + b = k22/sin95 一衍射光栅，每厘米有400条刻痕，刻痕宽为1.510-5m，光栅后放一焦距为1m的的凸透镜，现以 = 500nm的单色光垂直照射光栅，求：（1）透光缝宽为多少？透光缝的单缝衍射中央明纹宽度为多少？（2）在该宽度内，有几条光栅衍射主极大明纹？解答（1）光栅常数为a + b = 0.01/400 = 2.510-5(m)，由于刻痕宽为b = 1.510-5m，所以透光缝宽为a = (a + b) b = 1.010-5(m)对于宽度为a的单缝来说，暗纹形成的条件是asin = 2k(/2) = k，当很小时， = sin = tan = y/f，因此暗纹的位置是，(k = 1,2,3,)，取k = 1，得一级暗纹的位置 y1 = f/a = 50(mm)因此中央明纹的宽度为y0 = 2y1 = 2f/a = 100(mm)（2）对于光珊来说，形成明纹的必要条件是 (a + b)sin = k，在衍射的中央明纹范围内，光珊衍射的最高级数为=2.5，取整数2，可知光珊衍射在单缝衍射中央有 k = 0, 1, 2共5条主极大明纹另外，根据缺级条件k/k = (a + b)/a = 2.5 = 5/2，可知：光栅干涉的第5级明纹出现在单缝衍射的第2级暗纹处，因而缺级；其他4根条纹近似等角度分布，各有两根在单缝衍射的中央明纹和一级明纹中根据对称性，一级干涉明纹有两条，二级干涉明纹也有两条，包括中央明纹，共有5条干涉主极大明纹在单缝衍射的中央明纹宽度内96 波长为600 nm的单色光垂直入射在一光栅上，第二、第三级主极大明纹分别出现在sin = 0.2及sin = 0.3处，第四级缺级，求：（1）光栅常数；（2）光栅上狭缝的宽度；（3）屏上一共能观察到多少根主极大明纹解答（1）（2）根据缺级条件(a + b)/a = k/k，由题意得k = 1，k = 4解得b = 3a再根据光栅方程(a + b)sin = k，可得狭缝的宽度为a = k/4sin，将k = 2，sin = 0.2或将k = 3，sin = 0.3代入上式，可得a = 1500(nm)刻痕的宽度为b = 3a = 4500(nm)，光栅常数为a + b = 6000(nm)（3）在光栅方程中 (a + b)sin = k，令sin =1，得k =(a + b)/ = 10由于 = 90的条纹是观察不到的，所以明条纹的最高级数为9又由于缺了4和8级明条纹，所以在屏上能够观察到27+1 = 15条明纹97 以氢放电管发出的光垂直照射在某光栅上，在衍射角 = 41的方向上看到1 = 656.2nm和2 = 410.1nm的谱线重合，求光栅常数的最小值是多少？二级光谱三级光谱400507nm600760nm760nm400nm解答 根据光栅方程得(a + b)sin = k11，和 (a + b)sin= k22，因此k2/k1 = 1/2 = 1.6 = 16/10 = 8/5，可见：k1最小取5，k2最小取8因此最小光栅常数为a + b = k11/sin = 5000(nm)此题与第四题的解法相同98 白光中包含了波长从400nm到760nm之间的所有可见光谱，用白光垂直照射一光栅，每一级衍射光谱是否仍只有一条谱线？第一级衍射光谱和第二级衍射光谱是否有重叠？第二级和第三级情况如何？解答 由于白光是连续光谱，经过光栅衍射之后仍然是连续光谱，所以每一级衍射光谱都是一条光谱带，而不是一条光谱线根据光栅方程(a + b)sin = k，如果两种不同级的单色光重叠，它们的衍射角应该相同假设某波长可见光的2级衍射谱线与波长最长的可见光的一级谱线重叠，即2 = 1760，可得 = 380nm，由于该波长比波长最短的可见光的波长400nm还要短，可知：第一级衍射光谱和第二级衍射光谱没有重叠假设某波长可见光的3级衍射谱线与波长最长的可见光的二级谱线重叠，即3 = 2760，可得 = 507nm，该波长在可见光的波长之内，可知：第二级衍射光谱和第三级衍射光谱有重叠反过来，假设波长最短的可见光的3级衍射谱线与某波长的可见光的二级谱线重叠，即3400 = 2，可得 = 600nm，可知：第二级衍射光谱在600760nm的波长范围与第三级衍射光谱在400507nm波长范围有重叠99 迎面开来的汽车，其两车灯相距为1m，汽车离人多远时，两灯刚能为人眼所分辨？（假定人眼瞳孔直径d为3 mm，光在空气中的有效波长为 = 500nm）解答人眼的最小分辨角为0 = 1.22/D = 2.03310-4(rad)，当车很远时0 = w/l，所以距离为l = w/0 = 4918(m)910 在X射线衍射实验中，用波长从0.095nm到0.130nm连续的X射线以30角入射到晶体表面若晶体的晶格常数d = 0.275nm，则在反射方向上有哪