结构化学第一章课后习题答案

4. 对一运动速度 vc 的自由电子，有人作了如下推导： 1 2 hhE mpm = 结果是1=1/2，错在何处，请说明理由。 解：正确过程应为： hhE mp u = 第一处错误： u是微粒的传播速度，它既不等于光速c，也不等于微粒的运动速度，所以在公式推导中此处应用u 表示。要理解物质波的意义。 第二处错误： 2 1 2 m=T这仅仅是动能的表达，不能用T来代表E。如果是探讨一维势箱模型中的电子运动，则该式 成立。 所以上述推导过程是错误的。 9. 金属钾的临阈频率为5.4641014 S-1，用它做光电池的负极，当用波长为300 nm的紫外光照射该电池 时，发射的光电子的最大速度是多少？其动量和德布罗意波长为多大？ 解： 2 0 2 0 8 343414312 9 51 1 2 1 2 3.0 101 6.626 106.626 105.464 109.109 10 300 102 8.12 10 hhm c hhm m S =+ =+ =+ = 2 0 0 8 313414 9 251 1 2 22() 3.0 10 2 9.109 106.626 10(5.464 10 ) 300 10 7.40 10 Tmhvhv pmmTmh vv J S m = = = =? ? 34 10 25 6.626 10 8.95 10 7.40 10 h m p = 13. 在电视机显像管中运动的电子，假定加速电压为1000 V，电子运动速度的不确定量为的10%， 判断电子的波动性对荧光屏上成像有无影响？ 解：根据不确定关系： x xph ? 2 34 1931 10 10% 1 2 2/ 6.626 10 10%2 10%2 1.60 101000 9.109 10 3.88 10 x xx x mh hh x mm meU eU m h x eUm m = = = = = ? ? Q 这坐标不确定度对于电视机于荧光屏的大小(电子的运动范围)来说 ，完全可以忽略。人的眼睛分辨不 出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。 14. 下列函数，哪个是算符 2 2 d dx 的本征函数？若是，求出相应的本征值。 22 sin() imxx exxya + x e 解： ()() 2 2 2 2 2 222 2222 222 2 2 sincossin ()2 2 imximximx xx dd eimem e dxdx dd xxx dxdx ddd 2 2 2 d xyxy dxdxdxdx d ax eaxe dx = = +=+=+ =+ y 所以前两者是该算符的本征函数，本征值分别为-m2和-1。后两者不是该算符的本征函数。 注意：在本证值的表达形式中，不能带有虚数 i 15. 2 ax xe =是算符 2 22 2 4 d a x dx 的本征函数，求本征值。 解：应用到的数学知识 22 1 () 2 kxkx nn axax d uvudvvdu dekxedx dxnxdx deae dx =+ = = = 22222 222 22222 2 2 2222 2 23 223232 44 ( 2)4 (1 2)4( 4)244 66 axaxaxaxax axaxax axaxaxaxaxax ax ddd xea x xexeea x xe dxdxdx d xax eea x e dx d axea x eeaxaxea x ea x e dx axea =+ =+ =+ = = ? ? 2 3 所以本征值为-6a 17. 试求在长度 l =200 pm 的一维势箱中运动的电子， （1）n = 2 跃迁到 n = 1 时发射电子的能量、波长和波数； （2）n = 3 时，电子的 22 x xxpp、 、与值。 解： （1） 2 1 2 2342 18 231122 348 8 18 71 E(21) 8 33 (6.626 10) 4.52 10 88 9.109 10(200 10) c E=hv=h 6.626 103.0 10 4.40 10 E4.52 10 1 2.27 10 nn h EEn ml h J ml hc m m + =+ = = =% （2） 222 00 3242 282 22 0 2 sin 2222 sinsinsinsin 113(2 10 ) (1 cos2)()1.33 10 3233 ll l n x ll n xn xn xn x xxdxxd llllllll n xll x xdxm llln = = = = ? ? ? 此处应用到的积分公式为： 22 23 122 cossincossinxaxdxxaxxaxaxC aaa =+ + 0 2 0 22 sinsin 121 (1 cos)100 22 l l n xn x xxdx llll n xll xdxpm lll = = = ? ? 0 0 22 sinsin 22 sin()sin0 2 l xx l n xn x pp llll n xih dn x dx lldxll = = ? ? dx = 22 2 22 2222 2 2222 22 2 222342 24 2102 4 2 ( )( )sin 44 ( ) 4 3(6.626 10) 2.47 10 44 (2 10) x xnn n x hd p dx hdhdn x pxx dxdxll n h x l n h 7222 pJSm l = = = = = ? 18. 三维势箱中运动的电子，其薛定谔方程的解为： 8 ( , , )sinsinsin xyz y xz n n n ny nxnz x y z abcabc = （1） 试证明波函数已归一化； （2） 在a=b=c=100 pm的条件下， 试求坐标为x=20 pm， y=30 pm， z=50 pm处边长为x=y=z=0.1 pm 微体积元中发现电子分别处于211与112时的概率。 （3） 在立方势箱中试求能量最低的前 5 个能量值，计算每个能级的简并度。 解： （1） * 0 0 0 222 0 0 0 000 ( , , )( , , ) 8 sin() sin() sin() 1 cos21 cos21 cos2 8 222 8 1 222 xyzxyz a b c n n nn n n a b c y xz xx abc x y zx y z d ny nxnz dxdydz abcabc nxnynz aaa dxdydz abc abc abc = = = ? x （2） a=b=c 此时，方程变为 3 8 ( , , )sinsinsin xyz y xz n n n ny nxnz x y z aaaa = 211 3 *222 211211 3 3 82 ( , , )sinsinsin 82 ( , , )( , , )(sin)(sin)(sin) 84 ()42 ()22 () sinsinsinsinsinsin 288244244 xyz x y z aaaa xyz x y zx y z d aaaa xaxxaxyayyayzazza aaaaaa 2 = = + =+ ? z a 112 3 *222 112112 3 3 82 ( , , )sinsinsin 82 ( , , )( , , )(sin)(sin)(sin) 82 ()22 ()24 () sinsinsinsinsinsin 244244288 xyz x y z aaaa xyz x y zx y z d aaaa xaxxaxyayyayzazza aaaaaa 4 = = + =+ ? z a 代入