讲义1电磁场与电磁波电子科技大学中山学院

- 1 - 教教 案案 时间 安排 第 1 次课/总共 24 次课 章节 名称 电磁学的发展史、课程内容及学时分配、参考书籍、课程考试、场的基本概念。 教学 目的 了解电磁理论发展过程中的主要事件和主要贡献者的生平简介。 教学 重点 与 难点 场的基本概念。 教 学 内 容 与 过 程 设 计 绪 论 一、课程的性质和任务一、课程的性质和任务 “电磁场与电磁波”是高等学校电子信息类专业本科生必修的一门技术基础课， 课程涵盖的内容是合格的电子信息类专业本科学生所应具备的知识结构的重要组成 部分。近代科学的发展表明，电磁场与电磁波基本理论又是一些交叉学科的生长点 和新兴边缘学科发展的基础，而且对完善自身素质、增强适应能力和创造能力长远 地发挥作用。 本课程将在“大学物理（电磁学） ”的基础上，进一步研究宏观电磁现象和电磁 过程的基本规律及其分析计算方法。通过课程的学习，掌握基本的宏观电磁理论， 具备分析和解决电磁场工程问题的能力。 二二、电磁场与电磁波的工程应用、电磁场与电磁波的工程应用 当今世界，电子信息系统不论是通信、雷达、广播、电视，还是导航、遥 控遥测都是通过电磁波传递信息来进行工作的。因此，以宏观电磁理论为基础， 电磁信息的传输和转换为核心的电磁场与电磁波工程技术将充分发挥其重要作用。 要分析天线发射和接收电磁波的机理和性能，了解构成导波系统的元件和器件 的原理，探知电磁波在卫星与地面之间、大气中等的传播特性，必须掌握电磁场与 电磁波的基本理论。 总之， 一切无线电工程系统， 如移动通信、 卫星通信、 雷达、 电视、 微波遥感， 都包含许多电磁场与电磁波的理论问题，而且不断地对以电磁场与电磁波为基础的 - 2 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 微波技术与天线提出新的课题。因而电磁场与电磁波基础理论将始终发挥着重要作 用，并不断扩充其应用领域。 三三、电磁学发展史、电磁学发展史 1. 最早的记载：公元前 600 年左右。 2. 1745 年， 荷兰莱顿大学教授马森布罗克制成了莱顿瓶， 可以将电荷储存起来， 供电学实验使用，为电学研究打下了基础。 3. 1752 年 7 月，美国著名的科学家、文学家、政治家富兰克林的风筝试验，证 实了闪电式放电现象，从此拉开了人们研究电学的序幕。 4. 1753 年，俄国著名的电学家利赫曼在验证富兰克林的实验时，被雷电击中， 为科学探索献出了宝贵的生命。 5. 1638 年，在我国的某些建筑学的书籍中就有关于避雷的记载：屋顶的四角都 被雕饰成龙头的形状，仰头、张口，在它们的舌头上有一根金属芯子，其末端伸到 地下，如有雷电击中房顶，会顺着龙舌引入地下，不会对房屋造成危险。 6. 17711773 年间，英国科学家卡文迪什进行了大量的静电试验，证明在静 电情况下，导体上的电荷只分布在导体表面上。 7. 1785 年，法国科学家库仑在实验规律的基础上，提出了第一个电学定律：库 仑定律。使电学研究走上了理论研究的道路。 8. 1820 年， 由丹麦的科学家奥斯特在课堂上的一次试验中， 发现了电的磁效应， 从此将电和磁联系在一起 。 生平简介：奥斯特(Hans Christian Oersted,17771851年)丹麦物理学家、化 学家。1777年8月14日生于丹麦的路克宾。1794年他进入哥本哈根大学学习医学和 自然科学，1799年获得博士学位。18011803年他旅游德国、法国等地，于1804 年回国。1806年被聘为哥本哈根大学物理、化学教授，研究电流和声等课题。1824 年倡仪成立丹麦自然科学促进会，1829年出任哥本哈根理工学院院长，直到1851 年3月9日在哥本哈根逝世。 - 3 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 9. 1822 年， 法国科学家安培提出了安培环路定律， 将奥斯特的发现上升为理论。 10. 1825 年，德国科学家欧姆得出了第一个电路定律：欧姆定律。 11. 1831 年，英国实验物理学家法拉第发现了电磁感应定律 ，并设计了世界上 第一台感应发电机。 生平简介：法拉第，出身贫寒，小学未毕业，但天生好学。11 岁做报童。16 岁做书籍装订工。这些工作让他有机会接触和学习很多知识。他酷爱听各种科学讲 座， 使他有并成为戴维实验助手，从此他在实验科学方面做出卓有成效的工作。 1821年（30岁）成为英国皇家学院实验室负责人。1824年（33岁）成为英国皇家 学会会员。 12、1840 年，英国科学家焦耳提出了焦耳定律，揭示了电磁现象的能量特性。 13、1848 年 ，德国科学家基尔霍夫提出了基尔霍夫电路理论，使电路理论趋于 完善。 14、 1873 年，英国物理学家麦克斯韦（18311879）提出了麦克斯韦方程组 用最完美的数学形式表达了宏观电磁学的全部内容 ， 麦克斯韦从理论上预言了电 磁波的存在。 生平简介：麦克斯韦出生时，是法拉第发现电磁感应后2个多月。神童，10岁进 爱 丁堡学院学习 ，15岁在“爱丁堡皇家学报”发表论文，卡文迪什试验室首任主任。 - 4 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 死于癌症。虽然只活了49 岁，但他却写了100多篇有价值的论文。是一位与牛顿、 爱因斯坦相提幵 论的科学家。 15. 1876 年，美国贝尔发明了电话，实现了电声通信。 16. 1879 年，美国发明家爱迪生发明了电灯，使电进入了人们的日常生活。 17. 1887 年，德国的物理学家赫兹首次用人工的方法产生了电磁波，1890 年赫 兹又给出了麦克斯韦方程的最简洁形式，一直沿用至今。 海因里希 鲁道夫 赫兹(Heinrich Rudolf Hertz,1857年2月22日1894年1月1 日),德国物理学家，生于汉堡。早在少年时代就被光学和力学实验所吸引。十九岁入 德累斯顿工学院学工程，由于对自然科学的爱好，次年转入柏林大学，在物理学教 授亥姆霍兹指导下学习。1885年任卡尔鲁厄大学物理学教授。1889年，接替克劳修 斯担任波恩大学物理学教授，直到逝世。 赫兹对人类最伟大的贡献是用实验证实了电磁波的存在。正当人们对他寄以更 大期望时，他却于1894年元旦因血中毒逝世，年仅36岁。为了纪念他的功绩，人们 用他的名字来命名各种波动频率的单位，简称“赫”。 18. 随之，意大利的马可尼和俄国的波波夫，利用电磁波通信获得成功，开创 了人类无线通信的新时代。 马可尼以其在无线电报等领域的成就， 获得 1909 年的诺 贝尔奖奖。 - 5 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 四四、课程内容及学时分配、课程内容及学时分配 第 1 章：矢量分析（8 学时） 第 2 章：电磁场的基本规律（10 学时） 第 3 章：静态电磁场及其边值问题的解（6 学时） 3.1.5、3.3.5、3.5.3、3.5.4、3.6、3.7 不讲。 第 4 章：时变电磁场（6 学时） 第 5 章：均匀平面波在无界空间中的传播（6 学时） 5.4、5.5 不讲。 第 6 章：均匀平面波的反射与折射（6 学时） 6.2 不讲。 第 8 章：电磁辐射（2 学时） 只讲滞后位（8.1） 、电偶极子辐射（8.2）两节。 复习 4 学时。 重点教学内容：第 2 章、第 4 章、第 5 章、第 6 章。 五五、参考书籍、参考书籍 1. 倪光正主编，工程电磁场原理，北京: 高等教育出版社 2. 杨儒贵，电磁场与电磁波（第二版） ，北京: 高等教育出版社 3. 杨儒贵等，高等电磁理论，北京: 高等教育出版社 4. 龚中麟，近代电磁理论（第二版） ，北京：北京大学出版社 注：后两本书是研究生学习参考用书。 六六、课程考试、课程考试 平时考勤：20%；作业：20%；期末考试：60%。 七、七、场的基本概念场的基本概念 1. 什么是场？ a从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一 个特定量的特性。比如：温度 T温度场；电场强度 E电场。 b从物理角度：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种 物理效应的特殊的物质，场是具有能量的，如温度场、重力场、电磁场、。 2. 场的分类 - 6 - a按物理量的性质分 标量场：描述场的物理量是标量；矢量场：描述场的物理量是矢量。 b按场量与时间的关系分 静态场：场量不随时间发生变化的场；动态场或时变场：场量随时间的变化而 变化的场。 教 学 后 记 * 不知为什么？今天上课特别地激动。尽管我深知这门课是学生的拦路虎，会有 很多难题困扰着同学们，甚至本人也会因一些细节而心存不惑。但电磁理论的优美 与严谨却深深的感染了我，我是那么深切的热爱她，也为之付出了多少青春和汗水。 同学们，让我们认真努力地学习这一 19 世纪最伟大的科学成就吧，使自己成为一名 有一定学术水平的电子信息类专业的技术人才打下坚实的理论基础。 - 7 - 教教 案案 时间 安排 第 2 次课/总共 24 次课 章节 名称 第 1 章 矢量分析 1.1 矢量代数矢量代数 1.2三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系 教学 目的 掌握矢量间的加减与乘法运算，熟悉电磁场分析中三种常用的正交坐标 系，为学习本课程打下基础。 教学 重点 与 难点 圆柱坐标系和球坐标系。 教 学 内 容 与 过 程 设 计 第一章 矢量分析 1.1 矢量代数矢量代数 1. 标量和矢量 标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示。 矢量的代数表示：AeA A 矢量的大小或模：AA 矢量的单位矢量： A A eA 常矢量：大小和方向均不变的矢量。 注意：单位矢量不一定是常矢量。 2. 矢量的代数运算 （1）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线，如下图所 - 8 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 示。 矢量的加减符合交换律和结合律： ABBA 交换律 CBACBA结合律 （2）标量乘矢量 一个标量k与一个矢量A的乘积Ak 仍为一个矢量，其大小为Ak |，若0k， 则Ak与A同方向；若0k，则Ak与A反方向。 （3）矢量的标积（点积） cosABBA ABBA 交换律 CABACBA分配律 0BABA （4）矢量的矢积（叉积） ：sinABeBA n ABBA 不服从交换律 CABACBA分配律 若BA，则ABBA 若BA/，则0BA （5）矢量的混合运算 )()()(BACACBCBA 标量三重积 记忆图： - 9 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 CBABCACBA )()()( 矢量三重积 1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系 1、直角坐标系 坐标变量:x，y，z 变量范围: z y x 坐标单位矢量: zyx eee , 0 xzzyyx eeeeee 1 zzyyxx eeeeee zyxeee，xzyeee，yxzeee 位置矢量: zeyexer zyx 线元矢量： zeyexel zyx dddd 面元矢量： zyelleS xzyxx ddddd - 10 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 zxelleS yzxyy ddddd yxelleS zyxzz ddddd 体积元： dxdydzdV 矢量用坐标分量表示： zzyyxx AeAeAeA cos cos cos AA AA AA z y x )coscoscos( zyx eeeAA coscoscos zyxA eeee 矢量运算： )()()( zzzyyyxxx BAeBAeBAeBA zzyyxx BABABABA zyx zyx zyx BBB AAA eee BA 2、圆柱面坐标系 坐标变量：z , 变量范围： - 11 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 z 20 0 坐标单位矢量： z eee , 0 ee，0zee，0eez 1 ee，1ee，1zzee zeee，eeez，eeez 位置矢量：zeer z 线元矢量：zeeel zd ddd 面元矢量： ddddd dddd ddddd zzz z z elleS zelleSd zelleS 体积元： zVdddd - 12 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 直角坐标与圆柱坐标系的关系： zz y x sin cos ， zz x y yx arctan 22 单位矢量之间的关系： x e y e z e e cos sin 0 e sin cos 0 z e 0 0 1 矢量用坐标分量表示 zzA eAeAeA 矢量运算 )()()( zzz BAeBAeBAeBA zzB ABABABA ， z z z BBB AAA eee BA 3、球面坐标系 坐标变量：, r 变量范围： 20 0 0r 坐标单位矢量： eeer, 0eer，0 ee，0ree 1r ree，1ee，1ee eeer，reee，eeer - 13 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 位置矢量：rer r 线元矢量： drerdedreldrsin 面元矢量： ddsinddd 2 relleS rrr drdredldleSd r sin dddddrrelleS r 体积元：dddsind 2 rrV 与柱坐标系变量间的关系： cos sin rz r ， z zr arctan 22 单位矢量之间的关系： e e ze re sin 0 cos e cos 0 sin e 0 1 0 与直角坐标系变量间的关系： cos sinsin cossin rz ry rx ， x y z yx zyxr arctan arctan 22 222 - 14 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 单位矢量之间的关系 xe ye ze re cossin sinsin cos e coscos sincos sin e sin cos 0 矢量用坐标分量表示 AeAeAeA rr 矢量运算 )()()( BAeBAeBAeBA rrr BABABABA rr BBB AAA eee BA r r r 教 学 后 记 * 要注意坐标单位矢量不一定是常矢， 并且要求学生掌握圆柱坐标系和 球坐标系单位矢量与直角坐标系单位矢量间的关系。 - 15 - 教教 案案 时间 安排 第 3 次课/总共 24 次课 章节 名称 第 1 章 矢量分析 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 教学 目的 掌握标量场梯度、矢量场散度的定义和计算公式，了解各自的物理意义以 及散度定理。 教学 重点 与 难点 梯度的物理意义；散度定理。 教 学 内 容 与 过 程 设 计 1.3 标量场的梯度 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：静态的标量场和矢量场可分别表 示为：),(zyxu、),(zyxF；时变的标量场和矢量场可分别表示为：),(tzyxu、 ),(tzyxF。 1. 标量场的等值面标量场的等值面 等值面: 标量场取同一数值的点在空间形成的曲 面。 意义: 形象直观地描述了物理量在空间的分布状 态。 等值面方程：Czyxu),( 等值面的特点： 常数 C 取一系列不同的值， 就得到一系列不同的 等值面，形成等值面族； 标量场的等值面充满场所在的整个空间； 标量场的等值面互不相交。 - 16 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 2. 方向导数方向导数 定义： l MuMu l u l M )()( lim 0 0 0 若0 l u ，)(Mu沿l方向增加； 若0 l u ，)(Mu沿l方向减少； 若0 l u ，)(Mu沿l方向无变化。 计算公式： dl dz z u dl dy y u dl dx x u l u 设l的方向余弦是cos、cos、cos，即 dl dx cos， dl dy cos， dl dz cos 则 coscoscos z u y u x u l u 意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。 特点：方向性导数既与点 M0有关，也与l方向有关。 问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ 3、标量场的梯度、标量场的梯度 定义： max l u eugrad n ，其中ne是 l u 取最大值的方向。 意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向。 梯度的计算公式：若令 z u e y u e x u eG zyx 、coscoscos zyxleeee 则 ll zyxzyx eGGeG eee z u e y u e x u e l u ,cos coscoscos - 17 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 显然，当方向l与G的方向一致时，方向导数取值最大，且就等于G。因此，在直 角坐标系中梯度的表达式为 z u e y u e x u eugrad zyx 引入哈密顿算符（读作“del” ） ： z e y e x e zyx 则梯度可表示为 uu z e y e x eugrad zyx 在圆柱面坐标系和球面坐标系中，梯度的计算式分别是 z u e u e u eu z 1 u r e u r e r u eu r sin 11 梯度运算的基本公式： uufuf uvvuuv vuvu uCCu C )()( )( )( )( 0 / 梯度的性质：梯度的性质： 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大的方向 （增大增大！ ） ，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率； 标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影； leu l u 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面） 。 - 18 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 例 131 已知)()()( / zzeyyexxeR zyx ，RR 。证明： R R R ； 3 1 R R R ；)()( / RfRf。 证明：因为 2 / 2 / 2 / zzyyxxR，则 2/2/2/ / )()()(zzyyxx xx x R 2/2/2/ / 2/2/2/ / )()()( )()()( zzyyxx zz z R zzyyxx yy y R 所以 R R zzyyxx zzeyyexxe z R e y R e x R eR zyx zyx 2/2/2/ / )()()( )()()( 因为 2/1 2 / 2 / 2 / 1 zzyyxx R ，则 3 / / 2/3 2 / 2 / 2 / )(2 2 11 R xx xxzzyyxx Rx 3 / / 2/3 2 / 2 / 2 / )(2 2 11 R yy yyzzyyxx Ry 3 / / 2/3 2 / 2 / 2 / )(2 2 11 R zz zzzzyyxx Rz 所以 33 / )()()( 1111 R R R zzeyyexxe Rz e Ry e Rx e R zyx zyx R R Rf z R e y R e x R eRf z R Rfe y R Rfe x R Rfe z Rf e y Rf e x Rf eRf zyx zyx zyx )()( )()()( )()()( )( / / R R Rf z R e y R e x R eRf z R Rfe y R Rfe x R Rfe z Rf e y Rf e x Rf eRf zyx zyx zyx )()( )()()( )()()( )( / / / / / / / / / / / - 19 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 故得 )()( / RfRf 例 1.3.2 设一标量函数zyxzyx 22 ),(描述了空间标量场。试求： 该函数 在点 P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量； 求该函数 沿单位矢量 000 60cos45cos60cos zyxleeee 的方向导数， 并以点 P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。 解：梯度 P zyx P zyx z e y e x e )( 22 zyx P zyxeeeeyexe2222 该梯度方向的单位矢量是 zyx P eeee 22 3 1 2 1 2 ) 2 1 2 2 2 1 ()22( yx eeeeyexee l zyxzyxl 因此 2 1 2 2 1 21 P l 而该点的梯度值为3 P 显然，梯度大小 P 描述了 P 点处标量函数 的最大变化率，即最大的方向 导数，故 P P l 恒成立。 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1、矢量线 概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。 意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。 矢量线方程： ),( d ),( d ),( d zyxF z zyxF y zyxF x zyx - 20 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 2、矢量场的通量 通量的概念： S n S dSeFSdF 其中，dSeSd n面元矢量；ne面积元的 单位法向矢量；dSeFSdFd n穿过面 积元Sd的通量。 如果 S 是一闭合曲面，则 s n s dSeFSdF 通量的物理意义: 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 （闭合曲面有净的矢量线穿出） （有净的矢量线进入） （进入与穿出闭合曲面的矢 量线相等） 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量 场的源的关系。 3、矢量场的散度、矢量场的散度 在矢量场F中的任一点处， 作一个包围该点的任意闭合曲面S， 当SS所限 定的体积V以任意方式趋近于 0 时，则比值 V SdF S V 0 lim的极限称为矢量场F在 点 M 处的散度，并记作Fdiv，即 - 21 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 V SdF Fdiv S V 0 lim 直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导（可以不讲）（可以不讲） ： 不失一般性，以点),(zyxP为中心作一很小的直角 六面体，如右图所示，其各边的长度分别为x、y 和z，各面依次与对应的坐标面平行。矢量F穿出 该六面体表面 S 的通量为 SdFSdF S 下上右左后前 其中 zyzy x xFSdF x , 2 前 ， zyzy x xFSdF x , 2 - 后 zyx x F zy x x F zyxF x x F zyxF zyzy x xFzy x xFSdFSdF M x M x x M x x xx 2 , 2 , , 2 , 2 后前 同理 zyx y F SdFSdF M y 右左 ， zyx z F SdFSdF M z 下上 故 zyx z F y F x F SdF z y x S 因此 F z F y F x F V SdF Fdiv z y xS V 0 lim 在柱面坐标系和球面坐标系中散度的计算公式分别为 z F FF F z ) ( )( sin 1 )(sin sin 1 )( 1 2 2 F r F r Fr rr F r - 22 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 散度的有关公式： GFGF fFFfFf kFkFk fCfC CC )( )( 0 为常量 为常矢量 4、散度定理、散度定理 矢量场在空间任意闭合曲面的通 量等于该闭合曲面所包含体积中矢量 场散度的体积分，即 VS VFSFdd 。 散度定理是闭合曲面积分与体积 分之间的一个变换关系， 在电磁理论中 有着广泛的应用。 教 学 后 记 * 在本次课的教学中，感觉学生们对偏导数的计算不是很熟练。另外， 教材中对散度计算公式的推导有不恰当的地方，一定要给学生们讲清楚！ - 23 - 教教 案案 时间 安排 第 4 次课/总共 24 次课 章节 名称 第一章 矢量分析 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 格林定理 1.8 亥姆霍茲定理 教学 目的 掌握矢量场旋度的定义、物理意义和计算方法，了解无旋场与无散场的内 涵及有关性质，理解亥姆霍茲定理的意义。 教学 重点 与 难点 散度的计算方法，亥姆霍茲定理。 教 学 内 容 与 过 程 设 计 1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 1. 环流的概念环流的概念 矢量场 F 对于闭合曲线 C 的环流定义为该矢量对闭合曲线 C 的线积分，即 C ldF 如果矢量场的任意任意闭合回路的环流恒为零，称 该矢量场为无旋场，又称为保守场；如果矢量场对 于闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量 场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源，如电流 是磁场的旋涡源。 2、矢量场的旋度、矢量场的旋度 （1）环流面密度 过点 M 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为 C，曲面的法线方向 n 与曲线的 绕向成右手螺旋关系。当 S0 时，极限 CS n lF S Frot d 1 lim 0 称为矢量场在点 M 处沿方向 n 的环流面密度。 特点：其值与点 M 处的方向 n 有关。 - 24 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 （2）矢量场的旋度）矢量场的旋度 概念：矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为 M 点的环流面密度最大值， 而方向为取得环流面密度最大值时面积元的法线方向，即 max FroteFrot n n 物理意义：旋涡源密度（矢量） 。 显然，沿方向 n 的环流面密度是此处旋度在该方向的投影，即 FroteFrot n n 。 旋度的计算公式旋度的计算公式（不讲）（不讲）: 以点),(zyxM为中心， 取一个平行于 yz 面的矩形面元， 则面元矢量为zyeSe x x x，则矢量 z z y y x xFeFeFeF沿此面元的回路 C 积分为 zy z F y F z y y F zyxFy z z F zyxF z y y F zyxFy z z F zyxF zz y yxFy z zyxFzz y yxFy z zyxFldF M y z M z z M y y M z z M y y zyzy C 2 ),( 2 ),( 2 ),( 2 ),( , 2 , 2 , 2 , 2 , 故 Frot z F y F S SdF x y z x S Sx 0 lim 同理 x F z F S SdF Frot zx y S S y y 0 lim， y F x F S SdF Frot x y z S S z z 0 lim 所以 y F x F e x F z F e z F y F eFrot x y z zx y y z x 亦即 FFeFeFe z e y e x eFrot z z y y x xzyx - 25 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 旋度的计算公式: zyx zyx FFF zyx eee F 直角坐标系 z z FFF z eee F 1 圆柱面坐标系 FrrFF r erere r F r r sin sin sin 1 2 球面坐标系 旋度的有关公式： 0 0 )( )( )( )( 0 u F GFFGGF GFGF FfFfFf CffC C 由上面最后两个公式可知：矢量场的旋度的散度恒为零；标量场的梯度的旋度恒为 零。 3、斯托克斯（、斯托克斯（Stokes）定理）定理 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任 意闭合曲线的环流等于该矢量的旋度穿过该闭 合曲线所围曲面的通量，即 SC SFlF dd Stokes 定理是闭合曲线积分与曲面积分之 间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛 的应用。 - 26 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 4、散度和旋度的区别、散度和旋度的区别 0 F，0 F 0 F，0 F 0 F，0 F 0 F，0 F 1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场 1. 无旋场 如果一个矢量场的旋度处处为零，即0 F，则称该矢量场为无旋场。 无旋场可以用标量场的梯度表示为 uF u是标量位函数！ 性质：0 C ldF线积分与路径无关，是保守场。 )()(QuPududl l u lduldF Q P Q P Q P Q P 或 )()(QuldFPu Q P 例如：静电场EE0 - 27 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 2. 无散场 如果一个矢量场 F 的散度处处为零，即0 F，则称该矢量场为无散场。 性质：0d V S dVFSF 无散场可以表示为另一个矢量场的旋度： AF 例如，恒定磁场 0B AB 3. 无旋、无散场（源在所讨论的区域之外） uFF0 000 2 uuF 4. 有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分。 )(（无散场无旋场） AuFFFCl 1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1. 拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算：uu 2 ， 2 拉普拉斯算符 计算公式： 直角坐标系 2 2 2 2 2 2 2 z u y u x u u 圆柱坐标系 2 2 2 2 2 2 11 z uuu u 球坐标系 2 2 222 2 2 2 sin 1 sin sin 11 u r u rr u r rr u 矢量拉普拉斯运算：)()( 2 FFF - 28 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 在直角坐标系中： z z y y x xFeFeFeF 2222 注意：对于非直角分量， ii FF 22 ，如 FF 22 。 2. 格林定理 （可以只给出结果！可以只给出结果！ ） 在散度定理 SSV eFSFVFdSdd n 中，令F，则有 SSV dS n SddV 由于 2 所以 SV dS n dV 2 格林第一恒等式 交换上式中的、，则有 SV dS n dV 2 两式相减，可求得 SV dS nn dV 22 格林第二恒等式 1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 可以证明：在有界区域 V 内，任意矢量场由它的散度、旋度和 边界面 S 上的矢量场分布惟一确定，且可表示为 )()()(rArurF 式中 S n V dS rr rFe dV rr rF ru / / / / / / / )( 4 1)( 4 1 )( S n V dS rr rFe dV rr rF rA / / / / / / / )( 4 1)( 4 1 )( - 29 - 教 学 内 容 与 过 程 设 计 几点结论： 矢量场 F 可以用一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和表示。 此标 量函数由 F 的散度和 F 在边界 S 上的法向分量确定；而矢量函数则由 F 的旋度和 F 在边界 S 上的切向分量确定。 由于0)(ru、0)(rA，因而一个矢量场可以表示为一个 无旋场与无散场之和，即 )(（无散场无旋场） ClFFF 其中 0l l F FF ， FF F C C0 如果在区域 V 内矢量场F的散度与旋