《矩阵的秩的等式及不等式的证明》

摘 要矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题. 目 录第一章 绪论1第二章 预备知识2第三章 用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式3第四章 用线性空间的理论证明秩的等式和不等式6第五章 用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式10第六章 用矩阵分块法证明秩的等式和不等式15第七章 小结23参考文献24致 谢25第一章 绪论矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论，并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法，它有助于学习者加深对秩的理解和知识的运用，也方便教师教学.目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了，但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念，它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在矩阵论（科学出版社、2006年5月出版）中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的高等代数（高等教育出版社,2003年7月出版）也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散，不全面也没有系统化，不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩的等式和不等式进行一个归总，便于学习和掌握.本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.第二章 预备知识定义1矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩；矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩.定义2如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.定义3 数域上的矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：（1）以数域中的一个非零数乘以矩阵的某一行（列）；（2）把矩阵的某一行（列）的倍加到另一行（列）；（3）互换矩阵中两行（列）的位置.定义4在一个矩阵中任意选定行和列，位于这些选定的行列交叉点上的个元素按原来的次序组成的级行列式称为的一个级子式.定义5设为矩阵,称线性方程组的解空间为的零空间(即核空间)，记作,即.引理11 矩阵的行秩等于列秩.引理21 任意两个等价的向量组必有相同的秩.引理3 阶方阵可逆.证明:充分性:当由知可逆，且必要性:如果可逆，那么有使两边取列式，得，因而.引理41 矩阵的秩是的充要条件为矩阵中有一个级子式不为0，同时所有的级子式全为0.引理51 如果向量组可以由向量组线性表出，那么的秩不超过的秩.证明：根据已知可知向量组极大线性无关组可由的极大线性无关组线性表出，根据向量组的基本性质(见参考文献1)可得，向量组极大线性无关组的向量个数不超过的极大线性无关组的向量个数，即的秩不超过的秩.引理61 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数为，这里表示系数矩阵的秩，也是自由未知量的个数.第三章 用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式 本章主要是利用矩阵已知的秩的理论证明秩的等式和不等式问题，例如行秩等于列秩，秩为的充要条件，常见的秩的不等式等等.要掌握并且灵活运用这些知识才能证明下面的命题.这些命题都是一些基本的命题.命题3.1 证明：由矩阵转置的定义,的行向量组就是的列向量组，因此的行秩就是的列秩，又由引理1知，命题证毕.命题3.2 （其中）.证明：的行向量组可由的行向量组线性表出，的行向量组也可由的行向量组线性表出，因此的行向量组与的行向量组等价.由引理2它们的秩相等，再由秩的定义知与的秩相等,命题证毕. 命题3.3 是一个矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵，那么. 证明：令,由矩阵乘积的秩不超过各因子的秩可知,但是由，又有所以.另一个等式可以同样地证明,命题证毕.命题3.42 设是一个阶方阵，则.证明：若，由引理3，知可逆，可逆，故若，由引理4，存在阶子式不为0，因此,，又因为，有，即，从而若，则由引理4，存在阶子式全为0，于是，即命题证毕.从这个命题可以得出的结论.命题3.5 设是一个矩阵，任取的行列,交叉处的个元素按原来的相对位置构成子矩阵，则 证明:设为的行所构成的子矩阵，它由所在的行确定.设.则的任意一个大于阶的子式必须至少有行出现在中.根据行列式的性质，对这个子式按出现在中的那些行进行拉普拉斯展开，则可以看出，这个可以表示成的一些k阶子式的线性组合，其中为某个大于的数.由引理3这些子式全为零.因此任意一个大于阶子式必须等于零.由秩的定义,.由行与列的对称性类似地可推出,两式相加即可得到，命题证毕.命题3.6 设都是阶矩阵,证明:.证明:，命题证毕.例3.1 设为阶方阵，求证必存在正整数使得.证明:由于为阶方阵，则,其中为正整数,而是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，因而必存在正整数使得.例3.2设，都是阶方阵，是阶单位矩阵，证明.证明:因为,所以.命题3.7设为阶矩阵，证明:如果,那么.证明： 因为,由命题5.3知. 又 而，所以,即，. 因此. 由， 可得.例3.35 设,为阶方阵,且则.证明:因为所以.由命题3.7知 (1)由 , (2)由(1),(2)知有成立.例3.4设为阶矩阵,且,证明.证明：由，可得 . 又因为和 有相同的秩,所以 由， 可得.第四章 用线性空间的理论证明秩的等式和不等式本章主要是利用线性空间的维数公式，同构，直和分解，核与值域的一些性质和定理来证明矩阵的一些秩的等式和不等式命题.线性空间和线性变换的知识本来就比较抽象，还要和矩阵的联系起来，是有一定的难度的.这其中要构造一些映射命题4.1 设为阶方阵，如果的列向量所生成的的子空间与的零空间（即核空间）的直和为，则.证明:根据引理6，要证，只要证与同解的解显然为方程组的解.下面我们用反证法证明的任一解同时也是的解.若，因,故. 另一方面，其中，,从而 ,这与矛盾,所以的任一解同时也是的解,于是它们同解,故.命题4.2 设为矩阵，为矩阵，证明Sylrester公式：.证明:设为矩阵，为矩阵,考虑，, 方程组 , 设（1）（2）（3）的解空间分别为，则，将三者联系起来，作，则它为的子空间，从而，又为的子空间，作：一方面下证 定义 易知这个映射是单满的，并且满足线性运算条件，所以它是同构映射.但上面：.因此 ，即 命题4.3 设为，为矩阵，证证明:设分别为,行空间,那么, , 由于,并由维数公式得:即得: (1)由于的行向量是的行向量的线性组合,所以有,又,所以有,因此有,所以有 (2).将(2)代入(1)即得: .命题4.4 若，证明.证明：设方程组与的解空间分别为，.若，则根据引理6知 又因为满足解向量也满足,所以 由 可推出.要证，只要证与同解.设方程组与的解空间分别为，.显然,只要证.由知,即，因此，命题得证.此例是一个有价值的结论.例4.1 阶矩阵满足当且仅当.证明：先证明必要性.由知相似于形如的对角阵，其中1的个数为,又与相似，从而有相同的秩，而，其中0的个数为的秩，1的个数.所以.充分性.只要证明对任意均有即可.由说明,的解空间与的解空间满足,从而对任意存在唯一分解其中,所以综上即证.命题4.5设分别是矩阵，,证明证明：设，则 因为为可逆矩阵，秩为，故可将看做维线性空间的一组基，则在这组基下的坐标向量分别为.作，在这两个线性空间中构造映射，将中的每个向量映射到在基下的坐标向量，这个映射是一个同构映射，因此这两个线性空间同构，所以，而.所以同理可证明,这章主要是利用线性空间和线性变换的一些知识来证明矩阵的秩的等式和不等式命题，难点在于要好好理解线性空间和线性变换的一些知识，重要定理和性质，再把握它们同矩阵的联系.第五章 用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式本章主要利用向量组的秩和极大线性无关组的一些知识，以及线性方程组的解空间的维数和系数矩阵的秩的关系来证明秩的等式和不等式.命题5.1设是矩阵，是矩阵,则或.证明：列向量组向量的个数比和多，所以或下面证明.不妨设与分别是与的列向量组的极大线性无关组,则的每个列向量均可用向量组线性表出,根据引理5可知.命题证毕.命题5.2设,是矩阵，.证明：先证明.设,则.不妨设与分别是与的列向量组的极大线性无关组，则有即的列向量可以由线性表出，由引理5知.再证明.由刚证明的结论可知,移项得到,同理可得,因此.综上所述我们证明了，对于，只要把以上证明过程的改成即可得证，命题证毕.由命题3.1,命题3.2（其中）和本命题可推知（其中）.例5.1设,是矩阵,证明:.证明:先证明.设 ,则 .不妨设与分别是与的列向量组的极大线性无关组，则有即的列向量可以由线性表出,由于也是来自于的列向量组的向量,所以的列向量也可以由的列向量组线性表出,根据引理5可知.对于, 只要把以上证明过程的改成即可得证，命题证毕.命题5.3设是矩阵，是矩阵，如果，则.证明：设 ，则.故有,即齐次方程组有个解.若，则根据引理6,可由个解向量组成的基础解系线性表出.根据引理5有,命题证毕.例5.2 是矩阵，则.证明：由命题3.1知.下面我们先证明.只要证明与同解便可得到.一方面，满足解向量也满足；另一方面，由两边同时左乘得到，即，设,那么,所以，满足的解也满足综上所述与同解,解空间的维数相等，由系数矩阵的秩与线性方程解空间的维数之间的关系可知，.对证明过程与此类似，所以，命题证毕.例5.3 证明：若线性方程组的解均为的解，则.证明：设方程组与的解空间分别为,，若线性方程组的解均为的解，则,根据引理6有,即，命题得证. 例5.4设为矩阵，为矩阵，证明与同解的充分必要条件为.证明：设方程组,解空间分别为,.必要性：若，,根据引理6可知,可以推出.充分性：若，则根据引理6知 又因为满足解向量也满足,所以 由 可推出.命题证毕.命题5.4设是数域上矩阵，是数域上矩阵，证明即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.证明: 构造齐次线性方程组与,设方程组与的解空间分别为,.显然，满足解向量也满足,所以, 根据引理6知. 再构造齐次线性方程组与，同理可得,即.综上所述.此命题用归纳法可以推广为：如果那么.例5.4 如果方程组的解为方程的解，其中，求证.证明：由已知可知与同解，根据引理6它们的系数矩阵的秩相等,所以 .第六章 用矩阵分块法证明秩的等式和不等式本章主要是利用矩阵分块的方法来证明矩阵的秩的等式和不等式，也包括矩阵分解的方法证明秩的等式和不等式，涉及到了矩阵的广义初等变换和广义初等矩阵.例6.14 设是数域上矩阵，是数域上矩阵，求证,即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩 证明：设， 令表示的行向量，表示的行向量。由于的第个分量和的第个分量都等于，因而,即矩阵的行向量组可经的行向量组线性表出,所以的秩不超过的秩，即.同样，令表示的列向量，表示的列向量，则有.的列向量组可经矩阵的列向量组线性表出，所以，也就是.例6.2设，都是阶方阵，是阶单位矩阵，求证.证明:因为,故.因此.命题6.1设，是矩阵，则.证明：构造分块矩阵，对其施行用广义初等变换可得.根据初等变换不改变矩阵的秩可以推出 又由于 由,即得 .命题6.22 设，分别为,矩阵,则.证明:由，且，可逆可推出.但,即.所以.这个公式代数里称为Sylverster(薛尔佛斯特)公式. 命题6.3设，分别为,矩阵,则的充要条件为 .证明:由，根据矩阵秩的性质，可以得到等式 而 充分性：若，由 可知，即.必要性：若则, 由 可知.综上所述,命题得证.例6.3 设，分别为,矩阵,则的充分必要条件为存在矩阵，使得.证明：由上一个命题可知的充要条件为 ，那么我们只要证明的充要条件为存在矩阵，使得，即可完成本命题的证明.下面就此进行证明.充分性.可知当时，.再根据命题6.3可推出等式.必要性.设 ,其中,均为可逆矩阵. 对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去，.若，根据命题6.3有，因此式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去，时也消去了，对式（2）右端分块记 其中， ，.于是上述消去的行变换相当于,消去其余有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵，使+=, ，进行变形整理,从而有.令,，便得到，命题得证.命题6.4设都是阶矩阵，.证明:这个矩阵秩之和不大于.这个矩阵秩之和不大于.证明：由命题6.2的Sylverster(薛尔佛斯特)公式可得 ,移项即得.例6.4设,，依次为，的矩阵,证明.证明:设,那么存在阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，使得 把，适当分块,，其中为矩阵,为矩阵由式有.所以,再由命题6.2的Sylverster(薛尔佛斯特)公式可得,从而,命题得证.这个公式也称为Frobenius(佛罗扁尼斯)公式.例6.5 设为矩阵，为秩为的的列满秩矩阵,为秩为的的行满秩矩阵,证明: 证明:先证明.因为,所以存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得,即,再根据矩阵乘以可逆矩阵不改变秩的大小可得.同理可证.因此有,命题得证.命题6.5设,，分别为，矩阵,而的一个满秩分解是，即是列满秩矩阵,是行满秩矩阵,则的充要条件是存在矩阵,使得.证明：因为是满秩分解,是列满秩矩阵, 是行满秩矩阵,所以根据例题6.5有和,则.又由例题6.3得矩阵,使得 ,命题得证.这是例题6.4 Frobenius(佛罗扁尼斯)公式等号成立的充要条件.例6.6证明:.证明:由例题6.4的Sylverster(薛尔佛斯特)公式可知.移项即得,命题得证.例6.7设，均为矩阵，均为矩阵，证明.证明：根据分块矩阵的乘法可知由此易知,从而得到,命题得证.例6.8设,都是矩阵，如果，则.证明:构造分块矩阵，对其做初等变换可推出,但,所以.这个命题的一般形式为：设是矩阵，是矩阵，如果，则,已经在命题5.3中用线性方程组的解空间的维数与系数矩阵的秩的关系方法证明了.本命题只是它的特殊形式.例6.9设为阶方阵，为非负整数，则（1）（2）证明：（1）设由佛罗扁尼斯（Frobenius）不等式，即得：（2）设由佛罗扁尼斯（Frobenius）不等式，即得：.命题6.6设为s矩阵，则. 证明: 由命题3.3，则.同理.所以 .矩阵的分块是种有效的解决矩阵有关问题的方法，值得好好体会.尤其是有些难题，矩阵分块是简便分方法.本章利用矩阵分块的方法证明了一些典型的矩阵等式和不等式命题，很有借鉴意义.第七章 小结矩阵的秩的等式、不等式的证明及它应用非常广泛。在本文中，主要讨论了矩阵的秩，以及它的等式及不等式命题的证明方法，较之前的研究，更加全面。文中讨论了利用线性空间同构、向量组维数理论及矩阵分块等一些理论来证明了矩阵的秩的等式、不等式的相关命题。运用这些方法，我们可以更加快捷的判断矩阵的秩是否相等，或者证明不同矩阵的秩之间的联系