06二次函数根的分布教师版初一竞赛进度一

1 第第 06 讲讲 二次函数根的分布二次函数根的分布 【知识点【知识点】 1. 一元二次方程根的分布 （1）一元二次方程根的分布问题一般利用其相应的二次函数图像解决比较方便， 通常考察以下四点： 1）抛物线的开口方向；2）判别式的符号； 3）对称轴的位置； 4）区间端点值的符号。 （2）方程0)(xf在),(ba上有且只有一解的充要条件是0)()(bfaf。 有关根的分布的一些基本结论列表如下： )0(0 2 acbxax的根 图像 条件 一根比r大，一根比r小 （特例：一正一负根)0( r） o r y x 0)(rfa 两根都大于r （特例：两个正数或两个负数 )0( r） x y r o 0)( 2 0 rfa r a b 两根在区间(qp、)内 q x y po 0)( 0)( 2 0 qfa pfa q a b p 一根小于p，另一根大于q （qp ） qx y po 0)( 0)( qfa pfa 2 【例题精讲】【例题精讲】 【例题【例题1】（1）方程054) 1( 2 mxxm有一正一负根，求m的取值范围。 解：由题意知，函数mxxmy54) 1( 2 与x轴两交点位于原点两侧， 则0)5)(1()0() 1(mmfm，解得51m。 （2）关于x的一元二次方程02322 2 axax的一根大于1，另一根小于1，求a的取值范围。 0)4() 1 (aafa，即得04aa或。 3 【例题【例题2】方程02)13(7 22 kkxkx（k是常数）有两实根、，且 21 , 10，求k的取值范围。 【例题【例题3】方程0103 2 nxx有两个正根，求n的取值范围。 解：法一:由题意知，要使方程0103 2 nxx有两个正根则 0 3 0 3 10 01210 21 21 2 n xx xx n ， 解得 25 0 3 n； 法二：利用根的分布求解，要使方程0103 2 nxx有两个正根，则函数 nxxy103 2 图像与x轴交点在原点右侧，即 0)0( 0 6 10 0 nf ，同上解。 4 【例题【例题4】试确定实数m的值，使方程05)2(4 2 mxmx的根均为负数。 解：法一：由题意知，要使方程05)2(4 2 mxmx有负根则 0 4 5 0 4 2 0)5(16)2( 21 21 2 m xx m xx mm ，解得； 法二：利用根的分布求解，要使方程05)2(4 2 mxmx的根均为负，则函数 5)2(4 2 mxmxy图像与x轴交点在原点左侧，即 05)0( 0 8 2 0 mf m 同上解。 【例题【例题5】已知二次函数78) 1( 2 mxxmy （1）m在什么范围内时，它的图像与x轴有两个交点？ （2）同（1） ，但要求两个交点在原点的同一边（不包括原点）. 解： （1）由题意知 0)7)(1(464 01 mm m ，解得9111mm或。 （2）要使两交点在原点同一边，即可在左边和右边（不用考虑对称轴的位置） ， 则 0)0() 1( 0 fm ，解得 【例题【例题6】整系数方程0) 32() 3( 2 kxkx的两根异号且正根的绝对值小于负根的绝对值，求k的 值。 5 【例题【例题7】已知抛物线)6(2)4( 2 mxmxy，当抛物线与 x 轴的两个交点都位于点 （1，0）右侧时，求 m 的取值范围。 解： 由题意知 22 (4)8(6)(8)0 (1)(7)0 1 2 mmm fm b a ，解得7m且8m 。 【另解】 2 (4)2(6)(2)(6)yxmxmxxm， 所以与 x 轴两个交点为 )0 , 6(),0 , 2(m。则, 16 m且62,m 所以7m且8m 。 【例题【例题8】a取何值时，方程0122 2 aaxx在区间（0 , 4）中有两个不相等的实根。 解：由题意知函数122 2 aaxxy的图像开口向上，则 0)0( 0)4( 04 0 f f a ， 解得 6 17 21a。 【例题【例题9】已知关于x的方程0 4 1 2 mxx在11x范围内有两个根，求m的取值范围。 解：由题意知函数 4 1 2 mxxy的图像开口向上，则 0) 1 ( 0) 1( 1 2 1 0 f f m ， 解得 4 5 11 4 5 mm或。 6 【例题【例题10】设 二 次 方 程0 2 cbxax的 系 数cba、都 是 奇 数 ， 它 的 两 个 实 根 21 xx、满 足 1, 01 21 xx，若54 2 acb，求 21 xx、。 【例题【例题11】确定k的值，使抛物线)0( 1) 3( 2 kxkkxy与x轴的交点至少有一个在原点右侧（不 包括原点） 。 解：由题意知，要求至少有一个正根。则 两根都为正根： 0)0( 0 2 3 0 fk k k ，解得10 k；或 一正一负根：0)0( fk，解得0k； 综合知：。 7 【例题【例题12】确定k的最大的整数值，使二次方程0162 22 kxkx分别满足下列条件： （1）有一个实根比0大，另一个实根比3小； （2）有一个实根比1小，另一个实根比1大； （3）有一个实根比3小，另一个实根在0与1之间。 解：由于函数162 22 kxkxy图像开口向上，则 （1） 0)3( 0)0( f f ，解得 15 3 2 115 3 2 1 6 1 kk k 或 ，即15 3 2 1k 则最大整数为2k； （2）0) 1 (f，解得223223k，则最大整数为1k； （3） 0) 1 ( 0)0( 0)3( f f f ，解得223k，则最大整数为6k。 8 【课后作业】 【作业【作业1】m为何值时，关于x的方程0)12(2 2 mmxx两根均大于2？ 解：由