01 比例线段12015年寒假 初二数学竞赛进阶进度一班教师

第一讲 比例线段（1）1. 比例线段：四条线段中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段2. 比例的合分比性质如果，那么3. 比例的等比性质如果，那么（）等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形例如：如果，那么（）4. 平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的对应线段成比例定理2：平行于三角形一边，且和其他两边（或延长线）相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例定理3：【平行线分线段成比例定理】两条直线被三条平行直线所截，截得的对应线段成比例（逆命题为假命题）5. 黄金分割点：线段上一点把线段分成两段，若较长的线段与较短线段之比等于原线段长度与较长线段之比，（即较长的线段长度是较短线段长度和原线段长度的比例中项），则这样的分割叫做黄金分割，这一点称为线段的黄金分割点点P称为线段AB的黄金分割点结合上图，有（1）；（2）【公式记忆】（1），；（2），6. 黄金三角形：顶角为36的等腰三角形7. 角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例8. 三角形一边的平行线的判定：如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边【例题1】 如图，在ABC中，DE/BC，求DE的长解：【例题2】 如图，已知DB平分，DEBC，则_答案：2【例题3】 如图，AD是ABC的中线，BE交AD于点G，则_答案：【例题4】 如图，分别为的三等分点，DFEGBC，若，则_，_ 【例题5】 如图：ABCD，则_，_答案：4，7.5【例题6】 如图，ABCD中，E是BC中点，F是BE中点，AE和DF相交于H，则_答案：【例题7】 在ABCD中，点E在DC上，若，则_答案：【例题8】 如图，求DF的长解：，【例题9】 在梯形ABCD中，ADEFBC，求EF的长解：延长BA，CD交于G，则有GA/AD=GB/BC设GA=x，解得x=10/3同理GA/AD=GE/EF得到EF=3.2【例题10】 如图，AD、AE分别是ABC的A的内角平分线和外角平分线，分别交BC和BC的延长线于点D、E，且求的值【例题11】 已知线段AB的长为4cm，P是线段AB的黄金分割点，则线段BP的长为多少cm？解：当BPAP时，由黄金分割含义得由于AB=4cm，所以AP=4-BP，因为（不合题意，舍去）当BPAP时，由于所以所以BP长为【例题12】 如图ABC为等腰三角形，且顶角A为36求的值【例题13】 如图，ABC中，E、F为BC边上的点，且，EG/AB交AC于点G，FH/AC交AB于点H，连HG求证：HG/BC【例题14】 如图，E、F分别在边AB、AC上，且EF/BC，D为BC的中点，ED、FD分别交AC、AB的延长线于H、G，连HG求证：EF/GH【例题15】 如图，ABC中，DE/BC，P为BC上一点，F是AP延长线上一点，FD、FE分别交BC于点G、H.求证：【例题16】 如图，F为底边AB上一点，（m、）取CF中点D，连AD并延长交BC于E（1）求的值；（2）若，则直线CF与边AB有怎样的位置关系？并证明之【例题17】 如图，P是ABC内一点，等长的三条线段DE，FG，HI分别平行于边AB，BC，CA，并且都过点P已知，求AI：IF：FB的值【作业1】 如图，AD是BAC的平分线，点E在AD上，点F在AD的延长线上，且求证：BE/FC【作业2】已知在中，平分交于，过作交于，作平分交于，过作交于，则线段的长度为_.解：根据黄金三角形的定义，为黄金三角形，即，可证得，在黄金三角形中，将代入得，又可证得