08四边形巩固加深1教师初一寒假竞赛超常班

四边形巩固加深四边形巩固加深 1 / 9 第八讲 四边形巩固加深 1. 如图如图，在菱形在菱形ABCD中中，110A，E，F分别是边分别是边AB和和BC的中点的中点，EPCD于点于点P，求求 FPC的的度数度数 答案答案：取取EP中点中点O，联结联结FO，55BEFBFE， BFFC ，EOOP ，FOEP，EFFP ， FEPFPE，909055FPCFPEFEPBEF 2. 如图如图，ABC中中，3AB ，4AC ，5BC ，ABD、ACE、BCF都是等边三角形都是等边三角形，则则 四边形四边形AEFD的面积为的面积为_ 答案答案：3ADEF，4AEDF，150DAE，6 AEFD S 四四边边形形 A D E P C B F 四边形巩固加深四边形巩固加深 2 / 9 3. 如图如图，在在ABC中中，点点O是是AC边上的一个动点边上的一个动点，过点过点O作直线作直线MNBC，设设MN交交BCA 的角平分线于点的角平分线于点E，交交BCA的外角的外角ACG平分线于点平分线于点F （1） 试说明试说明EOFO ； （2） 当点当点O运动到何处时运动到何处时，四边形四边形AECF是矩形？并说明理由是矩形？并说明理由 （3） 当点当点O运动到何处运动到何处，且且ABC满足什么条件时满足什么条件时，四边形四边形AECF是正方形？并说是正方形？并说明理由明理由 答案答案： （1）MNBC， OECBCE ，OFCGCF ， 又又CE平分平分BCO，CF平分平分GCO， OCEBCE ，OCFGCF ， OCEOEC ，OCFOFC ， EOCO ，FOCO ， EOFO （2）当点当点O运动到运动到AC的中点时的中点时，四边形四边形AECF是矩形是矩形 当点当点O运动到运动到AC的中点时的中点时，AOCO ， 又又EOFO ， 四边形四边形AECF是平行四边形是平行四边形， FOCO ， AOCOEOFO， AOCOEOFO，即即ACEF ， 四边形四边形AECF是矩形是矩形 （3）当点当点O运动到运动到AC的中点时的中点时，且且ABC满足满足ACB为直角的直角三角形时为直角的直角三角形时，四边形四边形AECF是是 正方形正方形 由由（2）知知，当点当点O运动到运动到AC的中点时的中点时，四边形四边形AECF是矩形是矩形， 已知已知MNBC，当当90ACB，则则90AOFCOECOFAOE， ACEF，四边形四边形AECF是正方形是正方形 4. 如图所示如图所示，RtABC中中，90BAC，ADBC于于D，BG平分平分ABC，EFBC且交且交AC 于于F求证求证：AECF 四边形巩固加深四边形巩固加深 3 / 9 答案答案：作作GHBC于于H，联结联结EH BG是是ABH的平分线的平分线，GABA，GAGH ， ABGHBG（A.A.S） ，） ，ABHB 在在ABE及及HBE中中，ABECBE ，BEBE ， ABEHBE（S.A.S） ，AEEH ，BEABEH ADGH，AEGBGH， 又又AEGGEH ，AGBBGH ，AGBGEH EHAC，由已知由已知EFHC，EHCF是平行四边形是平行四边形， FCEHAE 5. RtABC中中，90ABC，60C，2BC ，D是是AC的中点的中点，从从D作作DEAC与与CB 的延长线交于点的延长线交于点E，以以AB、BE为邻边作矩形为邻边作矩形ABEF，连结连结DF，则则DF的长的长 F E D C B A 答案答案：DECBAC，即即ABDE ，30DEB，60FED， EFAB ，EFDE ，DEF为等边三角形为等边三角形，即即DFAB ， 22 2 3ABACBC 6. 如图如图，矩形矩形ABCD中中，60AOB，DE平分平分ADC，交交BC于于E，求求OED度数度数 D CB A E O 答案答案：四边形四边形ABCD是矩形是矩形，AOCOBOOD， 60AOB，60COD， AOB和和COD为等为等45EDC边三角形边三角形， 60BAC，CDOC ，则则30ACB， DE平分平分ADC， 可得可得DCE为等腰直角三角形为等腰直角三角形，CDEC ， ECOC ，COECEO ，75COE 四边形巩固加深四边形巩固加深 4 / 9 7. 如图如图，平行四边形平行四边形ABCD中中，E、F分别为分别为AD、AB上的点上的点，且且BEDF ，BE、DF交于点交于点 O，求证求证：OC平分平分BOD A BC D E F O 答案答案：联结联结CE和和CF， 1 2 BCEABCD SS 平平行行四四边边形形 ， 1 2 CDFABCD SS 平平行行四四边边形形 ， BCECDF SS 则则 1 2 BCE SBE高高（即点即点C到到BE的距离的距离） 1 2 CDF SDF高高（即点即点C到到DF的距离的距离） BEDF ，点点C到到BE的距离的距离 点点C到到DF的距离的距离 CO是是BOD的平分线的平分线，即即BOCDOC 8. 如图如图，四边形四边形ABCD中中，对角线对角线AC、BD相交于相交于O，M、N分别为分别为AD、BC的中点的中点，MN交交 AC、BD于于E、F求证求证：BD OEAC OF 答案答案：如图如图，取取AB的中点的中点G 连接连接GM，GN， 因为因为M、N分别为分别为AD，BC中点中点， 所以所以GMBD， 1 2 GMBD ， GNAC， 1 2 GNAC ， 所以所以GMNOFE ，GNMOEF ， 所以所以GMNOFE， 所以所以 GMGN OFOE ， 即即 11 22 BDAC OFOE ， 四边形巩固加深四边形巩固加深 5 / 9 所以所以BD OEAC OF 9. 如图如图，在平行四边形在平行四边形ABCD中中，E是是AB的中点的中点，CE和和BD交于点交于点O，OEB的面积为的面积为5， 求求OCD的面积的面积 答案答案：44 5 OCDOEB SS 10. 如图如图，在四边形在四边形ABCD中中，F为对角线为对角线AC上任一点上任一点，直线直线BF交交CD所在直线于点所在直线于点E，直线直线 DF交交BC所在直线于点所在直线于点GP为为AC上任一点上任一点，直线直线PG交交AB所在直线于所在直线于R，PD交交AE所在所在 直线于点直线于点H求证求证：R、F、H三点共线三点共线 四边形巩固加深四边形巩固加深 6 / 9 11. 如图如图，四边形四边形ABCD的对角线分四边形所得的的对角线分四边形所得的4个三角形面积为个三角形面积为52 AOB S ，26 BOC S ， 34 COD S ，68 DOA S 又又E、F、G、H分别是边分别是边AB、BC、CD、DA上第上第1个个二二等分点等分点， 三三等分点等分点，四四等分点和等分点和五五等分点等分点，则则 EFGH S 四四边边形形 _ 12. 若凸四边形若凸四边形ABCD四边长分别为四边长分别为a、b、c、d，且对角线所夹锐角为且对角线所夹锐角为45 求证求证： 2222 1 4 ABCD Sabcd 四边形巩固加深四边形巩固加深 7 / 9 1. 如图如图，把一张长方形纸片对折把一张长方形纸片对折，折痕为折痕为AB，再以再以AB的中点的中点O为顶点把平角为顶点把平角AOB三等分三等分，沿沿 平角的三等分线折叠平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角那么剪出的等腰三角 形全部展开铺平后得到的平面图形一定是形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ） A、正三角形正三角形 B、正方形正方形 C、正五边形正五边形 D、正六边形正六边形 答案答案：中心角中心角是是60，D 2. 将矩形纸片将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠按如图所示的方式折叠， 得到菱形得到菱形AECF 若 若3AB ， 则则BC的长为的长为 （ ） A1 B2 C2 D3 四边形巩固加深四边形巩固加深 8 / 9 答案答案：30CAB，D 3. ABC中中，分别以分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形为斜边作等腰直角三角形ABM和和CAN，P是是BC的中点的中点，求证求证： PMPN 答案答案：取取AB、AC的中点的中点D、E，联结联结MD、DP、NE、EP 则则DPAC， 1 2 DPACNE，PEAB， 1 2 PEABMD， BDPMDBPECNEC，即即MDPNEP， 所以所以MDPNEP 4. 如图如图，ABCD中中，DEAB于于E，BMMCDC求证求证：3EMCBEM 答案答案：延长延长EM交交DC的延长线于的延长线于F，连接连接DM CMBM ，FBEM ，MCFB ， MCFMBE（A.A.S） ，） ， M是是EF的中点由于的