03梅涅劳斯定理教师版初二自招进度一

第第 03 讲讲 梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理 1. 梅涅劳斯定理 梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的他指出：如果一 条 直 线 与 ABC 的 三 边 AB、 BC、 CA 或 其 延 长 线 交 于 F、 D、 E 点 ， 那 么 1 EA CE DC BD FB AF 2. 梅涅劳斯定理的逆定理 若有三点 F、D、E 分别在ABC 的边 AB、BC、CA 或其延长线上，且满足 1 EA CE DC BD FB AF ，则 F、D、E 三点共线利用这个逆定理，可以判断三点 共线 【以下为教师参考资料】 证明一： 过点 A 作 AGBC 交 DF 的延长线于 G， 则 AG DC EA CE DC BD DC BD BD AG FB AF ， 三式相乘得： 1 AG DC DC BD BD AG EA CE DC BD FB AF 证明二： 过点 C 作 CPDF 交 AB 于 P，则 AF PF EA CE PF FB DC BD ， 所以有1 AF PF PF FB FB AF EA CE DC BD FB AF 它的逆定理也成立：若有三点 F、D、E 分别在ABC 的边 AB、BC、CA 或其延 长线上，且满足1 EA CE DC BD FB AF ，则 F、D、E 三点共线利用这个逆 定理，可以判断三点共线 证明三： 过 ABC 三点向三边引垂线 AABBCC， F E D C B A 所以 AD：DB=AA：BB，BE：EC=BB：CC，CF：FA=CC：AA 所以1 EA CE DC BD FB AF 【数学意义】 使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算， 其逆定理还是可以用来解决 三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理， 具有重要的作用梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理 【例题精讲】 【例题【例题1】已知 O 是平行四边形 ABCD 内的任意一点，过点 O 作 EFAB，分别交 AD，BC 于 E，F，又过 O 作 GHBC，分别交 AB，CD 于 G，H；连结 BE，交 GH 于 P；连结 DG，交 EF 于 Q如果OPOQ ，求证：平行四边形 ABCD 是菱形 证明：EF EFCD OQGO HDGH OQ GHGO HD POBF POEO BFEF PO EFEO BF OP=OQ,GO=EF,HD=EO GH=EF 平行四边形 ABCD 是菱形 【例题【例题2】如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，在 AD 上截取 1 2 AFFD ，EF 交 AC 于点 G.求 AG GC 的值 解：作/ /EEBC，得EE交AC于O 易证O为AC中点， 11 22 EOBCAD :1:2AF FD， 1 3 AFAD :2:3AG GOAF EO :2:5:1:4AG AOAG GC 【例题【例题3】如图 1-15(a)所示，在ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作 PMAC交AB于点M，作PNAB交AC于点N，回答下列问题. （1）若点D是BC的中点，且:2:1AP PD，求:AM AB的值. （2）若点D是BC的中点，求证： AMAN ABAC . （3） 若点D是BC上任意一点，求证： AMANAP ABACAD . 解：作DEMP交AB于点E，见图 1-15(b)，易证DE为中位线， 故:1:3AM AB . 取AB、AC的中点E、F，连接DE，DF，易证 APAMAN ADAEAF 又因E、F为 中点，故 AMAN ABAC . 过点D作DEPM交AB于点E， 所以 AMAP AEAD ， 又因为PMAC， 所以DE AC，则 AECD ABBC ，因此 AMAMAEAP CD ABAEABAD BC . 同理可得 ANAP BD ACAD BC ，所以() AMANAPCDBDAP ABACADBCBCAD . G F E D C B A 【例题【例题4】如图 1-16(a)所示，AM是ABC的中线，交BC于点M，任意作一条直线分别 交AB、AC于点P、Q.求证： 2ABACAM APAQAN . 证法一：如图 1-16(b)所示，作SCPQ，BRPQ， 则有 ABAR APAN ， ACAS AQAN ， +，得 2()2ABACARASASSMAM APAQANANANAN .(其中BRMCSM) 证法二： 如图 1-16(c)所示， 延长补形， 则由平行线定理得 ABBE APDE ，AC CE AQDE ， +，得 222ABACBECECEBCMEAM APAQDEDEDEDEAN ，故得证. 证法三： 如图 1-16(d)所示，作辅助线， 由于点M是BC的中点， 则MN是梯形BEFC 的中位线，则2BEFCMN. 因 BPBE PANA ， 则 A BB E A N A PA N ； 因 CQCF QANA ， 则 A CC FA N A QA N ， +， 得 22()2ABACBECFANMNANAM APAQANANAN . 技巧贴士 以上三种方法都很典型， 其基本要领是通过添加平行线构造两个基本图形， 分别表达出 AB AP 、 AC AQ ，且两个部分的分母都相同，通过运算得到 2AM AN .要注意，证法一主要是“中 线倍长”，证法二和证法三主要是“补形”，通过添加辅助线使MN为梯形的中位线. 【例题【例题5】已知在ABC中，2BEEC，2AFFC，且 ABC Sa ，求阴影部分的面积 解： 过点F作FGBC交AE于点G， 如图 121(b)所示 由FGBC得 2 3 GFAF ECAC ， 则 1 3 GFGFEC BEECBE 又因为 GFFD BEDB ，所以 1 3 FD DB 因为2 BEAF ECFC ，所以 2 3 ABEABF SSa 由于 2 3 ABF Sa ，故 1 21 4 36 ADF Saa 所以S四边形DECF 211 366 ABCABEADF SSSaaaa 技巧贴士技巧贴士 本题的另外一种解法是连接CD，令 C D F Sx ， CDE Sy ，故2 A D F Sx ，2 BDF Sy ， 在AEC中，3 3 a xy；在BCF中，3 3 a yx，易解得x和y 【例题【例题6】如图，点 D 在ABC的 AC 边上，E 在 CB 的延长线上，且 AD=BE，求证： EF BCAC FD 证：在EDC中，由梅氏定理 1 BE CB AC AD FD EF 及BEAD ACFDBCEF 【例题【例题7】如图，D、F 分别是ABC边 AB、AC 上的点，且 3 2 FA CF DB AD ，DF 交 BC 边 的延长线于 E 点，求 EF：FD 的值 解：1 DB AD AF CF CE BE 即1 3 2 3 2 CE BE 4 9 CE BE 1 CE BC AB AD DF EF 即1 4 5 5 2 DF EF 1 2 DF EF 【例题【例题8】已知如图，ABC中，BD：DC=CE：EA=2：1，AD 和 BE 交于 F，求 AF：FD 的值 【例题【例题9】如图，已知 AD 是ABC 的 BC 边上的中线， F 为 AB 上一点， CF 交 AD 于点 E 求证： FB AF ED AE2 【例题【例题10】如图，D、E、F 分别是ABC的边 BC、CA、AB 的三等分点中靠近 B、C、A 的 一个分点，且 AD、BE、CF 交成LMN，求证： 7 1 ABC LMN S S 1 BM EM AE AC DC BD 即1 2 3 2 1 BM EM 3 4 BM EM 设 ABC Ss sS ABE 3 2 ssS ABM 7 2 3 2 7 3 sssS LMN 7 1 7 2 3 E F D C B A 【例题【例题11】如图，D、E 为 BC 的三等分点，F 为 AC 的中点求：BP：PQ：QF 【例题【例题12】如图，P 为ABC 内任一点，过 P 作 AD，BE，CF 分别与 BC，AC，AB 交于点 D，E，F.求证： （1）1 PDPEPF ADBECF ； （2）2 APBPCP ADBECF 【课后作业】 【作业1】设等腰直角三角形 ABC，90A，E 是 AC 中点，D 在 BC 上，BEAD ， 求证：CEDAEB （试用梅氏定理证明