3.1.1数系的扩充和复数的概念40938ppt课件

.,第三章数系的扩充与复数的引入,.1数系的扩充和复数的概念,.,人类在社会发展中，逐步学会了以对应的方法来计算事物的个数，如“屈指”计数，“结绳”计数，“堆石子”计数等。经过长期的实践，把表示事物的个数：“一个”、“二个”、“三个”，；或把表示事物的次序：“第一”、“第二”、“第三”，抽象出来的数1，2，3，4，叫做自然数。,.,公元前6世纪的巴比伦用空出一格来表示“零”。“0”是印度人的卓越发明。,我们知道“0”以前不属于自然数，零作为符号和作为数经历长期的发展过程。,.,刘徽说明：“今两数得失相反，要令正负以名之”数系也就由自然数系扩展为整数系。,从自然数到整数，自然数的加法仍是自然数，但相减呢不一定是自然数，于是有了负数.,.,记载分数最古老的典籍是约公元前1500年埃及Ahmes著的草纸书。欧洲在15世纪以后才逐渐形成现代分数的算法。,中国在秦始皇时期的历书（公元前246年）拟订一年的日数是天,整数集对于加、减、乘能保证其封闭性。但对于除法运算不是封闭的。这样产生了分数。,.,公元前5世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现边长为1的正方形的对角线与其一边不可公度。希腊人叫它“没有比”西方译为“irrationalnumber”我国的徐光启、李善兰把它译为“无理数”。,整数与分数构成了有理数集。,从有理数到实数经历了漫长的过程。从毕达哥拉斯学派发现与1不可公度，即不能表示成两个整数之比，到它的理论基本完成，经历了二个世纪。在数学史上是罕见的。,.,数系的扩充,用图形表示包含关系：,复习回顾,.,实数集的出现给了我们一个范围异常之广的数的家庭。那它是否是封闭的呢？,可以知道对于加、减、乘、除（除数不为零）以及乘方运算来说是封闭的。,但是对于乘方的逆运算开方来说就不是的。,.,知识引入,因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根。,这样我们有不得不重新考虑数集的扩展。,.,问1：引入一个新数c？,实际上，早在16世纪时期，数学家们就已经解决了这个矛盾，而且形成了一整套完整的理论。因为这个新数不是实的数，就称为虚数单位，英文译名为imaginarynumberunit.所以，用“i”来表示这个新数。,问2：引入的新数必须满足一定的条件，才能进行相关的运算，虚数单位i应满足什么条件呢？,引入一个新数：,探索研究：,如何解决“在实数范围中开方运算不总实施的矛盾”？,.,现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。,思考:,a+bi，aR，bR,在i规定下，i与实数加乘的结果形式如何？,复数有关概念,复数Z=a+bi(aR，bR)把实数a，b叫做复数的实部和虚部。,全体复数所组成的集合叫复数集，记作C。,注意:复数通常用字母z表示，即复数a+bi（aR，bR)可记作:z=a+bi（aR，bR），把这一表示形式叫做复数的代数形式。,请同学观察复数的代数形式会发现什么?,.,复数的代数形式：,通常用字母z表示，即,其中称为虚数单位。,复数a+bi,.,i为-1的一个、-1的另一个;,一般地，a(a0)的平方根为、,平方根,平方根为-i,-a(a0)的平方根为,复数z=a+bi,(a、bR),(b=0),分数,不循环小数,虚数,(b0),特别的当a=0时,纯虚数,a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的条件.,必要但不充分,.,复数a+bi,2.复数的分类：,复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？,思考？,复数集,虚数集,实数集,纯虚数集,.,练一练：,1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。,5+8,0,2、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数,.,例1实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？,解:（1）当，即时，复数z是实数,（2）当，即时，复数z是虚数,（3）当,即时，复数z是纯虚数,练习:当m为何实数时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数,.,点拔：,利用复数代数形式确定复数是实数、虚数、还是纯虚数，只需根据复数的分类与实部、虚部的关系列出方程，解方程求参数。,注意：当为纯虚数时，既要考虑实部为零，虚部不为零，两者缺一不可。,.,思考：,如何定义两个复数的相等？,注意：一般对两个复数只能说相等或不相等。,0,0,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等,不全为实数的两个复数不能比较大小。,.,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等,例2已知，其中求,解：根据复数相等的定义，得方程组,解得,.,点拔：,求解复数方程方法：,1、由复数相等的条件，由此可获得一个方程组，再解方程组求得问题；,2、复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法。,.,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等,.,探究：,方法二：利用等比数列求和公式,性质1:,性质2:,具有周期性,复数的虚数单位的性质,方法一：利用同期性,.,B,练习：,0,方法一：利用同期性,方法二：利用错位相减法求和,复数的发展史在19世纪可没那么简单第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字虚数但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表