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文档简介

单(复)连通区域及其正向边界,单连通区域就是没有“洞”的区域.,Green公式及其应用,若区域(D)内任意一条简单闭曲线的内部全部属于(D),或者说(D)内任一闭曲线均可在(D)内连续变形缩小成(D)内的一点,则称(D)是一单连通域,否则称为复连通域。,Green公式是英国数学家、物理学家格林GeorgeGreen(1793-1841)在1825年发现的,是微积分基本公式在二重积分情形下的推广.,定理1(Green公式）,证:,注,2.Green公式的记法：,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,例5,解：,取足够小椭圆,使得l位于L内部。,l取顺时针方向。,由Green定理可知，,解,例6,平面曲线积分与路径无关的条件,曲线积分与路径无关是指：,对任意两条以A为起点,B为终点的曲线L1,L2,均有:,设P(x,y),Q(x,y)在单连通域D上有一阶连续偏导,则以下四个命题等价:,定理2,证明:,注:,1.若du=Pdx+Qdy,称u(x,y)为表达式Pdx+Qdy的原函数.,由Th2知:若P,Q在单连域D上有一阶连续偏导数,则Pdx+Qdy在D内存在原函数u,例7,解,解,解,对连续的向量场三者等价。,例8,解,全微分方程,此时，全微分方程的通解为：U(x,y)=C.由曲线积分与路径无关的等价命题知：,为全微分方程,且此时有,若存在二元函数U(x,y),使,为全微分方程,故方程为全微分方程。,于是方程通解为,解,例9,例10已知曲线积分,即,解由曲线积分与路径无关的等价条件可得：,与路径无关，且,作业习题6.8P.64-661.单号;2.;3
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