Chapter-9常微分方程数值解法 1

第九章常微分方程数值解法/*NumericalMethodforOrdinaryDifferentialEquations*/,本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的数值解法。,初值问题及其数值解的概念,1引言,常用的一些解析解法：,一阶常微分方程初值问题：,初值问题的解析解及其数值解的几何意义：,初值问题的解表示过点的一条曲线,初值问题的数值解表示一组离散点列,积分曲线,2Euler方法,Euler方法的导出,将在点处进行Taylor展开,略去项：,然后用代替，即得,称上述公式为向前Euler公式。,若将在点处进行Taylor展开,称上述公式为向后Euler公式。,略去高阶项，即得,向前Euler公式：,向后Euler公式：,具体计算结果见教材表9.2.1。,解：本题,常微分方程数值解法的稳定性,例如，对于向前Euler法：,将其应用于实验方程,当时，误差将逐步减弱，故此时方法稳定。,向前Euler法绝对稳定区间：,当因有误差变为时，则有,单步方法的局部误差和阶,单步法的一般形式,通常称为增量函数,如向前Euler方法的局部截断误差(Taylor展开),一阶方法,Euler方法的误差分析,对初值问题中的微分方程两端在区间上积分,如果用左矩形公式计算右端积分，并令,其中,上述等式中如果用代替，即得向前Euler格式。,其局部截断误差为,其中,而整体截断误差为,注意到,一、Runge-Kutta方法的基本思想,3龙格-库塔（Runge-Kutta）方法,显式单步法的一般形式：,二阶Runge-Kutta方法,将在点展开，有,从而,比较两式的相同项得,方程组有无穷多解,另一方面，由Taylor展开,若取其一组解,则得到改进的Euler公式（二阶方法）,若取其另一组解,则得到二阶的Heun（休恩）公式（见教材）。,二、显式Runge-Kutta方法及其稳定性,其中,类似前面的处理方法，可以得到四级方法：m=4,局部截断误差,最常用的一种四阶方法：经典显式Runge-Kutta公式,解：,经典的四阶Runge-Kutta公式：,注：对于显式N级R-K方法，最多只能得到N阶方法。,上述构造方法的缺陷：计算非常复杂。,可通过积分方法确定参数。,解：,对微分方程两边积分得,采用Simpson公式计算上式右端积分项,可设参数,令，则局部截断误差,I,对（I）式第一项在处Taylor展开，即,比较取并将上式第一项,在处Taylor展开，得,上式中划线处分别在处Taylor展开,取,再利用Taylor展开,利用Taylor展开，,代入,当时，,例3：求经典四阶的R-K方法的绝对稳定域。,解：,其绝对稳定域为,一、k步线性多步法,4线性多步法与预估-校正格式/*LinearMutistepMethodandPredictor-CorrectorFormat*/,所谓的线性多步法，指的是某一步解的公式不仅与前一步的值有关，而且与前面若干步解的值有关的方法。,对初值问题两边积分得,将换为节点,取节点，构造的q+1个点的Lagrange插值多项式：,多步显式公式,其中,记,若函数值已知，则得r+1步显式方法,如时，可得二步显式阿达姆斯（Adams）格式,Adams显式公式的局部截断误差：,由Lagrange插值余项知,其中,（积分第一中值定理）,q+1阶方法,令,取节点，构造的q+1个点的Lagrange插值多项式：,多步隐式公式,其中,记,则得到r+1步q+1阶的隐式方法,如时，可得二阶隐式阿