课件高代大一各科课件4-2

我们先看一个例子.,4.2线性方程组解的求法,上节给出了线性方程组是否有解的判定定理,本节主要讨论有解线性方程组解的个数以及如何求解的问题.熟练掌握线性方程组的解法是本节学习的重点.,例4.2.1解线性方程组,，,，,解我们用通常的高斯消元法解这,将第一个方程的-2倍加到第二个方程上;将第一个方程加到第三个方程上;将第一个方程的-1倍加到第四个方程上，得到,个方程组.将第一、第二个方程互换，方程组变为,，,，,把第二个方程加到第三个方程上;第二个方程的-2倍加到第四个方程上,得,，,，,把第二个方程乘以1/2加到第一个方程上,再用-1/6去乘第二个方程，得到,具有上述形式的方程组称为阶梯形方程组.由此我们得到原方程组的同解方程组,，,，,在这个方程组的第二个方程中，任给,x4的一个值，可唯一得到,;任给,x2的一个值，连同x4一起代入第一个方程,可唯一的得到,.这样我们就,得到方程组得一组解,，,，,由于x2,x4可以任意给定,所以方程组有无穷多组解.这里x2,x4称为自由未知量.在解这个方程组的过程中,对方程组的化简反复使用了下面的三种运算：,（1）互换方程组中两个方程的位置；,（2）用一个非零常数k去乘方程组中某一个方程；,（3）把一个方程的k倍加到另一个方程上.,我们把这三种运算称为方程组的初等变换.,，,，,联系,如果把方程组和它的增广矩阵,起来,我们不难看出,对方程组进行初等变换化为阶梯形方程组的过程,实际上就是,对它的增广矩阵,进行初等行变换化为最,简阶梯形矩阵的过程.下面我们把例4.2.1的解题过程用矩阵的初等变换表示出来：,，,，,由最后的阶梯形矩阵，即可写出方程组的同解方程组，进而得到方程组的解.,，,，,下面研究一般线性方程组的解法.,设线性方程组,它的系数矩阵为A,增广矩阵为,R(A)=,.,（4.2.1）,，,经过行初等变换可化为,，,由于,则矩阵,则矩阵中至少,则矩阵中至少有一个r阶子式不为0,从而这个不为0的r阶子式所在的r个行向量线性无关.不失一般性,不妨设它位于,上角.于是矩阵,矩阵:,的左,对上述矩阵通过行初等变换进一步化简，可得如下最简阶梯形矩阵,下面分情况进行讨论,，,，,(1)当,时,（4.2.2）,式具有如下形式,，,，,这时方程组(4.2.1)有唯一解：,，,，,(2)当,时,由(4.2.2),可得方程组(4.2.1)的同解方程组,（4.2.3）,，,，,把（4.2.3）式中含有变元xr+1,xr+2,xn的项移到每个方程的右端，得到,（4.2.4）,，,，,给定xr+1,xr+2,xn的任意一组值,由(4.2.4)可得到方程组(4.2.1)的一个解,（4.2.5）,，,由(4.2.5)式,可得方程组解的向量形式)这里令)：,，,这里xr+1,xr+2,xn为自由未知量.由于xr+1,xr+2,xn可以任意选取，故方程组在,时有无穷多个解.(4.2.5),式称为方程组（4.2.1）的通解或一般解.,综上，我们得到如下定理.,定理4.2.1的推导过程，就是方程组的求解过程.,定理4.2.1对于线性方程组(4.2.1),有如下结果:,（1）当,时,方程组,有唯一解；,（2）当,时,方程组,有无穷多解.,，,，,例4.2.2,解对方程组的增广矩阵进行初等行变换,把其化为最简阶梯形矩阵，,解线性方程组,由于,从而方程组有无,穷多解,且原方程组的同解方程组为,，,，,取x2,x4为自由未知量,方程组的通解为,解的向量形式为,，,，,例4.2.3,有解,并求其解.,讨论取何值时,线性方程,组,方程组中含有参数，需要,对方程组的增广矩阵,作初等行变,换,化为最简阶梯形矩阵.,解法1,对的取值情况进行讨论.,，,下面对的取值情况进行讨论.,当,时,方程组有唯一解：,时,当,原方程组,的同解方程组为：,方程组的通解为,其中x2,x3为自由未知量.,解的向量形式为,当=-2时,由于,所以,此时方程组无解.,由于例4.2.3中未知量的个数与方程的个数相等,也可先求方程组的系数矩阵的A行列式,通过讨论参数的各种情况,确定方程组是否有解.,方程组的系数矩阵A的行列式,解法2,对分别对的取值情况进行讨论,，,，,(1)当1且2时,|A|0,由克莱姆法则,方程组有唯一解：,这时,原方程组有无穷多个,(2)当=1时,原方程组的三个方程相同,即,解:,，,，,显然,所以方程组无解.,(3)当=2时，通过初等行变换,，,，,立刻得到如下结果,把定理4.2.1应用到齐次线性方程组,（4.2.6）,定理4.2.2设A为齐次线性方程组(4.2.6)的系数矩阵，,如果,则齐次线性方程组只,唯一零解；,，,，,推论含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是它的系数行列式,如果R(A)=rn,则齐次线性方程组除零解外,还有无穷多个非零解.特别地,当方程的个数小于未知量个数,即mn时,齐次线性方程组必有无穷多个非零解.,，,，