2017_18学年高中数学第二章2.5夹角的计算2.5.1直线间的夹角2.5.2平面间的夹角课件.pptx

2.5.1直线间的夹角2.5.2平面间的夹角,1.掌握两直线的夹角的概念、范围,能够用向量法计算两直线的夹角.2.掌握平面间的夹角的概念,能够用向量法计算平面间的夹角.,1.直线间的夹角(1)如图所示,当两条直线l1与l2共面时,我们把两条直线交角中,范围在内的角叫作两直线的夹角.,(2)如图所示,当直线l1与l2是异面直线时,在直线l1上任取一点A作ABl2,我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角.,说明:用方向向量所成的角表示异面直线所成角的大小时,若向量夹角为锐角(或直角),则等于异面直线所成的角;若向量夹角为钝角,则它的补角等于异面直线所成的角.,(3)空间直线由一点和一个方向确定,所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定.如图所示,已知直线l1与l2的方向向量分别为s1,s2,当0时,直线l1与l2的夹角等于;当时,直线l1与l2的夹角等于-.,2.平面间的夹角(1)如图所示,平面1与2相交于直线l,R为直线l上任意一点,过点R在平面1上作直线l1l,在平面2上作直线l2l,则l1l2=R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面1与2的夹角.,(2)如图所示,平面1和2的法向量分别为n1和n2,=MRN为两个平面的夹角,它由确定.,说明:用法向量求两个平面的夹角时,应结合图形来判断求出的是两个平面的夹角还是它的补角.,【做一做2】已知三条射线PA,PB,PC的两两夹角都是60,则平面ABP与平面BCP夹角的余弦值为()答案:A,题型一,题型二,题型三,【例1】如图所示,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1平面OAB,O1OB=60,AOB=90,且OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值.分析:先建立空间直角坐标系,求出点A1,B,A,O1的坐标,进而求得的坐标,再利用向量的夹角公式计算即可.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,【例2】如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,D为CC1的中点,求平面AA1D与平面BA1D的夹角的余弦值.分析:求平面AA1D与平面BA1D的夹角,可以先建立空间直角坐标系,求出平面AA1D和平面BA1D的法向量,再利用向量的夹角公式计算.,题型一,题型二,题型三,解:如图所示,取BC的中点O,连接AO.ABC是等边三角形,AOBC.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为坐标原点,以直线OB,OO1,OA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思求两平面夹角的大小时,既可以作出平面角,利用解三角形的知识求解,也可以用向量知识求解.在用向量法求解时,应注意两个问题:一是建系后两个平面的法向量求解要正确;二是求出了两法向量的夹角后,应判断求出的是两平面夹角的大小,还是它的补角的大小.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求平面SCD与平面SBA的夹角的正切值.分析:可建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,通过法向量的夹角进行求解.,题型一,题型二,题型三,解:如图所示,以A为坐标原点,直线AD,AB,AS分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,易错点忽略向量的夹角与所求角的关系导致出现错误【例3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角A-BD1-C的大小.错解:以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则由题意可知D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1).,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】在一个二面角的两个面内各有一个与二面角的棱垂直的向量n1=(0,-1,3)和n2=(2,2,4),则这个二面角的余弦值为.,12345,12345,2.如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则A1E与BD所成角的余弦值为(),12345,解析:如图所示,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A1(1,0,2),E(0,2,1),B(1,2,0),D(0,0,0),答案:B,12345,3.自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线,则它们所成的角与这个二面角的平面角()A.互补B.互余C.相等D.无法确定答案:A,12345,4.如图所示,过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA平面ABCD,若EA=1,则平面ADE与平面BCE夹角的大小是()A.30B.45C.90