《机械优化设计》复习题-答案

机械优化设计复习题解答一、填空问题在用最佳下降法求出1，f(X)=100(x2- x12) 2 (1- x1) 2最佳解的情况下，设x (0)=-0.5，0.5 t，第一步骤反复的搜索方向为-47，-50T .2、机械优化设计采用数学规划法，其核心是寻找探索方向，二是计算最佳步骤。3 .当优化问题是凸规划时，任何局部最优解都是全局最优解。4、当应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三个点是搜索区间的起点、中间点和终点，它们的函数值形成高-低-高趋势。包括5，n个设计变量的优化问题称为n维优化问题。6 .函数的梯度为b。设7、g为nn对称正则矩阵，在n维空间有2个非零向量d0、d1，若满足(d0)TGd1=0，则在d0、d1之间存在共轭关系。8、设计变量、目标函数、约束条件是优化设计问题数学模型的基本要素。9 .对于不受约束的二元函数，如果在点处取最小值，则该必要条件为f(x10，x20)=0，并且充分条件为2f (X10，x20)=0。10，K-T条件可以描述为目标函数梯度在极值点处起作用的每个约束函数梯度的非线性组合。11、用黄金分割法求出一元函数的极小点，初始搜索区间是第一次区间消去得到的新区间是-2.36 10。12 .优化设计问题的数学模型的基本要素包括设计变量、目标函数和约束条件。13 .牛顿法的搜索方向dk=，其计算量大，要求初始点在极小点附近。14 .函数f(X)=x12 x22-x1x2-10x1-4x2 60表示为格式12x1x22-1-12x1x2 -10-4x1x2 60。15 .存在矩阵h、向量d1和向量d2且满足d1THd2=0时，对于h共轭向量d1和向量d2。16、用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转换为外点形式时引入的惩罚因子r序列具有单调递增的特征。17 .使用数学规划法求出多变量函数的极值点时，需要基于反复式进行一维探索，即求出最佳步骤。二、选择问题1、以下c方法要求海赛矩阵：a、最速降法b、共轭梯度法c、牛顿法d、DFP法2 .关于制约问题根据目标函数的等值线和约束曲线判断。 d.da .内点b .外点外点c .内点外点d .外点内点3、内点罚函数法可用于求解b优化问题。a无约束优化问题b只包括不等式约束的优化问题c只包括方程的优化问题d包括不等式和等式约束的优化问题4 .根据一维搜索，由于搜索间隔是a，b，其中插入了两个点a-1、b-1和a1，所以它们继续重复搜索。第一个重复步骤完成。2 .试验牛顿法求出f(X )=(x1-2)2 (x1-2x2)2的最佳解，设初始点x (0)= 2，1 t。解1:(注：题目出题不合适，初期点最好，解2是修正题目后的解法。 中所述情节，对概念设计中的量体体积进行分析牛顿法的搜索方向为S(k)=-2f-1(f )，因此首先求出当前的反复点x(0)的梯度向量、海色矩阵及其逆矩阵f=4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1f(x(0)=002f=4-4-482f-1=S(k)=-2f-1f=00不用搜索，现在的积分是最好的。解2 :因为上述解法不是典型的牛顿法，主题的初始点的选择是不恰当的。 以下，为了表现牛顿法的典型顺序，修正解决问题的初始点。以非最佳点x (0)= 1，2 t为初始点，用牛顿法重新计算牛顿法的搜索方向为S(k)=-2f-1(f )，因此首先求出当前的反复点x(0)的梯度向量及海色矩阵及其逆矩阵梯度函数：f=4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1初始点梯度向量：f(x(0)=-812海色矩阵：2f=4-4-48海色矩阵逆矩阵：2f-1=当前步骤的搜索方向如下S(k)=-2f-1(f)=- -812=-11新的迭代点位于当前搜索方向X(k 1)=X(k) S(k)=X(0) S(0)=12 -11=1-2 当将新的迭代点引入目标函数中时，目标函数变为与单个变量相关的函数F()fXk 1=f1-2 =( 1)2 (3 3)2=F()设dF()d=20 20=0，则可以求出当前搜索方向的最佳步骤=-1新的迭代点是x (1)=x (0)s (0)=12- 11=21以当前梯度向量的长度f=12x12 8x8=14.4222继续迭代。第2重复步骤：f=4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1f(x(1)=00f=0因此，不需要继续计算，第一步的重复已经达到了最优点。这就是牛顿法的二次收敛性。 对于正定二次函数，牛顿法可以进一步求得最佳优点。3、设置函数f(X)=x12 2x22-2x1x2-4x1，试着利用极值条件求出极值点和极值。解：首先利用极值的必要条件要查找f=00可能的极值点：令f=2*x1 - 2*x2 - 4 4*x2 - 2*x1=00可求出x1x2=42的极值点。在充分的条件下以2f正定(或负定)确认极值点。2f=2-2-242=202-2-24=8-4=40因此，2f正定，X*=x1x2=42是极小点，极值为f(X*)=-84 .求出目标函数f(x)=x12x1x2x22x1x6x10的极值和极值点。解法同上5、试验证明函数f (x )=2x 12 x 22 x 32 x2x3x1-6x 23在点 1，1，-2T处具有最小值。解：必要条件：f=4* x12 * x310 * x2 * x3-62 * x12 * x2 * x3如果将点 1，1，-2T带入上式f=000充分的条件2f=4=4040010=400=80-40-16=240正定2f。因此，函数在点 1，1，-2T处具有最小值6 .给定的约束优化问题min f(X)=(x1-3)2 (x2-2)2s.t. g1(X)=-x12-x22 50g2(X)=-x1-2x2 40g3(X)=x10g4(X)=x20通过点Kuhn-Tucker验证条件成立。解：首先，找到在点上工作的约束g1(X)=0g2(X)=0g3(X)=2g4(X)=1因此，作用制约为g1(X )、g2(X ) .然后计算目标函数、作用约束函数的梯度，并检查目标函数的梯度是否可以表示为作用约束函数的梯度的非负线性组合。f=2*x1 - 6 2*x2 - 4=-2-2g1=-2*x1 -2*x2=-4-2，g2=-1 -2求出线性耦合系数f=1g12g2-2-2=1-4-2 2-1 -2得到1=13、2=23，均大于0因此在点Kuhn-Tucker条件成立7 .设置非线性规划问题用K-T条件进行验证是制约的最优点。解法同上8、已知的目标函数由f(X)=x1 x2来约束g1(X)=-x12 x20g2(X)=x10写内点罚则函数。解答：内点罚函数的一般公式其中，r (1)-r (2)-r (3)-r (k )-0是递减的正数列r(k)=Cr(k-1 )、0C1罚函数如下所示：x，rk=x1 x2 rk(1-x12 x2 1x1 )9 .已知目标函数是f(X)=(x1-1)2 (x2 2)2限制为g1(X)=-x2-x1-10g2(X)=2-x1-x20g3(X)=x10g4(X)=x20让我们写一下内点罚函数。解法同上10、如图所示，有一边长为6m的正方形铝板，四角相等的边长为x的四角，折弯，做成没有盖子的箱子，如何切(x取什么值)才能得到最大的容器箱子。 试制了该最优化问题