2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

.2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、 填空题、若三位数是一个平方数，并且其数字和也是一个平方数，则称为超级平方数，这种超级平方数的个数是 、函数的最大值是 、直线过点，若它被两平行线与所截得的线段长为，则直线的方程为、 、满足的实数的取值范围是 、若实数，且，则的取值范围是 、在前一万个正整数构成的集合中，被除余，并且被除余，被除余的元素个数是 、如图，正四面体的各棱长皆为，分别是棱的中点，以为圆心，为半径，分别在面内作弧，并将两弧各分成五等分，分点顺次为以及，一只甲虫欲从点出发，沿四面体表面爬行至点，则其爬行的最短距离为 二、解答题、正整数数列满足：；证明：数列的任何两项皆互质 、（分）为锐角三角形的垂心，在线段上任取一点，延长到，使，作，其中为垂足，是线段的中点，分别为的外接圆圆心，的另一交点为；证明：、四点共圆； 、四点共圆；、对于任意给定的无理数及实数，证明：圆周上至多只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）、从集合中删去个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是的因数，求的最小值2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、 填空题、若三位数是一个平方数，并且其数字和也是一个平方数，则称为超级平方数，这种超级平方数的个数是 答案：个解：可顺次列举出：、函数的最大值是 答案：解：，其定义域为，当时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为、直线过点，若它被两平行线与所截得的线段长为，则直线的方程为答案：或者解：设的方程为，将此方程分别与及联立，解得交点坐标与，据，得，即，所以，分别代入所设方程，得到或者、 答案：解：、满足的实数的取值范围是 答案：解：用图像法：令，此为单位圆的上半圆，它与直线交点，半圆位于交点左侧的图像皆在直线上方；或者三角函数代换法：因，令，则，由条件式，平方得，则，又有，因此、若实数，且，则的取值范围是 答案：解：因，所以，则，因非负，于是，从而由知，得到，（当时取得等号）再由，则，所以，于是，（当时取得等号），所以、在前一万个正整数构成的集合中，被除余，并且被除余，被除余的元素个数是 答案：个解：对于每个满足条件的数，数应当被除皆余，且为偶数；因此，应当是的公倍数，且为奇数；即是的奇倍数，而当时，由于在中，共有个数是的倍数，其中的奇倍数恰有个、如图，正四面体的各棱长皆为，分别是棱的中点，以为圆心，为半径，分别在面内作弧，并将两弧各分成五等分，分点顺次为以及，一只甲虫欲从点出发，沿四面体表面爬行至点，则其爬行的最短距离为 答案：解：作两种展开，然后比较；由于被分成五段等弧，每段弧对应的中心角各为，被分成五段等弧，每段弧对应的中心角也各为，若将绕线段旋转，使之与共面，这两段弧均重合于以为圆心，半径为的圆周，对应的圆心角为，此时，点之间直线距离为，若将绕线段旋转，绕线段旋转，使之皆与共面，在所得图形中，对应的圆心角为，此时，点之间直线距离为，所以最短距离是二、解答题、正整数数列满足：；证明：数列的任何两项皆互质 证：改写条件为 ，从而，等等，据此迭代得，所以，因此当，、（分）为锐角三角形的垂心，在线段上任取一点，延长到，使，作，其中为垂足，是线段的中点，分别为的外接圆圆心，的另一交点为；证明：、四点共圆； 、四点共圆；证：、如图，设，连，则因，得，且，所以，与平行且相等，故，因此，四点共圆；、据，为的直径，作的直径，连，则，所以，故为平行四边形，进而得，与平行且相等，因此对角线与互相平分于，从而是三边的中点，而由，得，所以共线，因此，又由的中位线知，因此四边形是等腰梯形，其顶点共圆、对于任意给定的无理数及实数，证明：圆周上至多只有两个有理点（纵横坐标皆是有理数的点）证：对于点，用表示上述圆周上有理点的个数；首先，我们可以作一个合于条件的圆，其上至少有两个有理点，为此，取点，线段中垂线的方程为:,今在上取点，再取 ，则以为圆心、为半径的圆周上至少有这两个有理点；其次说明，对于任何无理点以及任意正实数，；为此，假设有无理点及正实数，在以为圆心，为半径的圆周上，至少有三个有理点，为有理数，则 据前一等号得 据后一等号得 记 ，则为有理数，若，则由，因为无理数，得，故共点，矛盾！同理，若，可得共点，矛盾！若，由、消去得，有理数，因为无理数，故得，所以 ，则 共线，这与共圆矛盾！因此所设不真，即这种圆上至多有两个有理点于是对于所有的无理点及所有正实数，的最大值为、从集合中删去个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不是的因数，求的最小值答案：解：因，中任两个元素之和不大于，由于不大于的正因数有，在的二元子集中，元素和为的有；元素和为的有；元素和为的有；元素和为的有；为直观起见，我们将其画成一个图，每条线段两端的数为上述一个二元子集，为了不构成这些和，每对数（每条线段）中至少要删去一个数；于是在